카테고리와 세트의 의미상의 차이점은 정확히 무엇입니까?

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이 질문에서 set과 type의 차이점이 무엇인지 물었습니다 . 이 답변은 실제로 명확 해졌습니다 (예 : @AndrejBauer). 지식에 대한 갈증으로 카테고리에 대해 같은 것을 묻는 유혹에 복종합니다.

범주 이론에 대해 읽을 때마다 (비공식적 임), 이론이 이론과 어떻게 다른지 구체적으로 이해할 수는 없습니다 .

그래서 대부분의 콘크리트 정확히 무엇을 수행하는지는 가능한 방법, 의미 에 대해 $x$ 는 카테고리에 말할 $C$ , 말에 비해 $x\in S$ ? (예를 들어 $x$ 가 그룹이라고 말하는 것과 $x$ 가 카테고리 $\mathrm {Grp}$ ?에 있다고 말하는 것의 차이점은 무엇 입니까?)

비교를 가장 명확하게하는 카테고리와 세트를 선택할 수 있습니다.

sets category-theory

— 사용자
소스

이 질문이 잘 구성되어 있는지 잘 모르겠습니다. 먼저 'x는 카테고리 C에있다'와 'x는 세트에있다'는 것의 차이점이 무엇인지 묻습니다. 그러나 'x는 Grp 카테고리에 있습니다'와 'x는 그룹입니다'라고 묻는 예제를 제공합니다. 뭐? 그것은 당신의 질문의 예가 아닙니다. 귀하의 질문의 예는 'x는 Grp 카테고리에 있습니다'와 'x는 모든 그룹 세트에 있습니다'의 차이점을 묻는 것입니다. 그러나 카테고리와 세트의 차이점이 무엇인지 묻는 것이 실제로는 아닙니다.

— Miles Rout

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간단히 말해서 집합 이론은 구성원 자격에 관한 것이고 범주 이론은 구조 보존 변환에 관한 것입니다.

집합 이론 은 멤버십 (예 : 요소)과 그 관점으로 표현할 수있는 것 (예 : 하위 집합)에 관한 것입니다. 요소 또는 집합의 다른 속성과는 관련이 없습니다.

분류 이론은 특정 유형의 방법을 수학적 구조에 대해 이야기하는 방법입니다 ^(1)가 서로로 변환 될 수 ² 그 구조의 일부 측면을 보존 기능에 의해; 그 종류의 큰 범위의 말하기 위해 균일 한 언어를 제공 ^한 (! 그룹 오토마타, 벡터 공간, 세트, 위상 공간 ... 심지어 카테고리) 수학적 구조의 종류와 그 안에 매핑 ¹ . 구조 간 매핑 속성을 공식화하지만 (실제로는 구조가 적용된 집합 간) 맵과 구조의 추상 속성 만 다루어 형태 (또는 화살표 )와 객체라고합니다.; 그러한 구조화 된 집합의 요소는 범주 이론의 문제가 아니며 그러한 집합의 구조도 아니다. 당신은“ 이론이 무엇입니까? ”라고 묻습니다 . 그것은 임의의 유형 ¹ 의 수학적 객체의 구조 보존 매핑 이론이다 .

그러나 추상 범주 ³ 의 이론은 방금 언급했듯이 문제의 객체 의 구조 를 지정하는 세트, 연산, 관계 및 공리를 완전히 무시 하고 일부 구조를 유지하는 매핑에 대한 대화 언어를 제공합니다. 행동 : 어떤 구조가 보존되는지 모른 채, 그러한 두 맵의 조합도 구조를 보존한다는 것을 알고 있습니다. 이런 이유로, 범주 이론의 공리에는 형태에 대한 연관 구성법이 있어야하며, 마찬가지로 각 대상에서 그 자체로 정체성의 형태가 있어야한다. 그러나 모프가 실제로 는 세트 사이의 함수 라고 가정하지 않고 단지 세트 처럼 동작 한다고 가정 합니다.

해결하기 : 콘크리트 카테고리 는 '기본 카테고리'의 객체에 구조를 추가하는 아이디어를 모델링합니다. 이 때 우리가 한 세트로 그룹 조작 형 구조를 추가하는 상황을 가질 수있다. 이 경우 특정 기본 범주와 관련하여 구조가 추가되는 방법에 대해 더 많이 말할 수 있습니다. $\mathsf{Set}$

" 는 그룹", " 는 그룹 세트의 요소"(실제로 적절한 클래스 ) 또는 " 는 ( 의 대상) "이라는 공식 의 의미 에 대해 ( 또는 " object")는 논리적으로 동일한 의미를 갖지만 범주에 대해 이야기하면 그룹 동형화 ( ) 및 아마도 다른 형태와 공통적 인 것에 관심이 있음을 나타냅니다. 반면에 라고 말하면 $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ 그룹은 그룹의 구조 (곱셈 연산) 자체 또는 그룹이 다른 수학적 객체에 어떻게 작용하는지에 관심이 있다고 제안 할 수 있습니다. 관심이있는 특정 그룹 집합 에 대해 를 쉽게 작성할 수 있지만 그룹 집합에 속하는 에 대해 이야기 할 가능성은 없습니다 . $G$ $G ∈ S$ $S$

또한보십시오

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- 특히 /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
추상 및 콘크리트 카테고리 : Adámek, Herrlich 및 Strecker 의 고양이의 기쁨
https://ko.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{여기에서 그리고 난시 (passim) 는 유형 이론의 의미에서 유형을 언급하는 것이 아니라, 수학적 대상 / 구조에 요구되는 일련의 속성, 즉 그들이 만족하는 일련의 공리를 말한다. 세트의 경우 자체 (비록 이들이 일반적으로, 구조를 수행하기 위해 고려되는 요소 세트에 어떤 동작 또는 동작 관계를 설명하는 ) 세트 자신 외의 구조는 존재하지 않는다. 어쨌든 위에서 언급했듯이 범주 이론은이 구조의 세부 사항을 무시합니다. $\mathsf{Set}$}

² _{I 아마도 말해야 전체로 또는 부분적으로 서로 : 하나의 동형 허용 (정수) 로 주어진다 (유리수) $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ . $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{자격이 없으면 ' 범주 '는 일반적으로 1945 년 에 소개되어 1960 년대에 개발 된 '추상 카테고리'를 의미 하는 반면, 콘크리트 카테고리 는 1970 년대에 등장한 것으로 보입니다.}

— PJTraill
소스

그것이 수사적인 것인지 확실하지 않지만, 확실히 적절한 그룹의 그룹이 있습니다. 예를 들어, 모든 세트는 해당 세트를 포함하는 싱글 톤 세트에서 사소한 그룹을 생성합니다. 적절한 종류의 비 등방성 예제를 만들 수도 있습니다.

— Derek Elkins가 SE를

감사합니다. "임의의 유형 의 수학적 객체의 구조 보존 매핑의 이론"이라고 말할 때 , 유형 이론의 의미에서 또는 더 비공식적으로 "유형"을 의미합니까?

— user56834

@ Programmer2134 : 유형 이 혼란 스럽다면 미안합니다 . 나는 타입 이론 (내가 거의 아는 바 없음)을 언급하는 것이 아니라 주어진 유형의 수학적 객체 / 구조에 의해 특정 속성 세트 (즉, 특정 공리를 만족시키는)를 갖는 수학적 객체 / 구조를 의미했다 .

— PJTraill

그것은 명확합니다. 카테고리 이론은 또한 그러한 공리가 있다고 가정하고, 이러한 객체가 모두 그 공리를 만족 시키거나 카테고리를 정의하기 위해 사용하는 메타 기준일 뿐이라고 생각합니까 (즉, 카테고리 이론 프레임 워크의 메타)?

— user56834

@ Programmer2134 : 아닙니다. 카테고리 이론 은 공리를 완전히 무시 하고 그러한 구조를 보존하는 매핑에 대해 이야기 할 언어를 제공합니다. 어떤 구조가 보존되는지 모른 채 두 맵의 조합도 구조를 보존한다는 것을 알고 있습니다. 이러한 이유로, 카테고리 이론의 공리가 연관 될 것을 요구 조성 법 이 생길 수 있음을, 마찬가지로 morphisms과 신원 morphism에 자체에 각 개체에서. 그러나 모프가 실제로 는 세트 사이의 함수 라고 가정 하지 않고 단지 세트 처럼 동작 한다고 가정 합니다.

— PJTraill 11

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범주 이론은 어떤 의미에서는 집합 이론의 일반화입니다. 범주 는 집합의 범주이거나 다른 것일 수 있습니다. 따라서 가 세트 라는 것을 배우는 것보다 가 지정되지 않은 범주의 객체 라는 것을 배우면 덜 배우게 됩니다 (후자의 경우 는 특히 세트 카테고리의 객체 이기 때문에 ). 당신이 배울 경우 A의 목적은 특정 (세트의 범주가 아닌) 특정 카테고리, 당신이 배울하는 것을 배우고 다른 집합 (즉, 세트의 범주에있는 개체) 어느 쪽도 상대방을 암시하지 않습니다. $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

가 그룹이라고 말하는 것과 가 Grp 카테고리의 객체 라고 말하는 것에는 차이가 없습니다 . 이 두 문장은 동일합니다. $x$ $x$

참고 : 가 Grp 범주에 있다고 말하지는 않습니다 . 는 Grp 카테고리 의 객체 라고 말합니다 . 카테고리에는 객체와 화살표가 모두 있습니다. 당신은 당신이 말하는 것을 지정해야합니다. $x$ $x$

— DW
소스

@AndrejBrauer가 다른 질문에 대한 답변에서했던 것처럼 카테고리를 세트 및 유형과 비교해 보겠습니다. 세트는 객체 컬렉션의 개념을 공식화합니다. 유형은 객체 구성의 개념을 공식화합니다. "범주"는 어떤 개념을 공식화합니까? 카테고리 이론은 이론 어떤 수학적 프로세스 / 구조 의 ?

— user56834

"그러면 배우면 덜 배웁니다

당신이 배울 것보다 일부 지정되지 않은 카테고리의 객체 인

집합입니다". "세트입니다"를 "지정되지 않은 일부 세트의 멤버"로 바꾸면 해당 명령문이 어떻게 변경됩니까? 우리는 부과 마십시오어떤에 제한

가 지정되지 않은 범주의 목적은 말로? 분명히 우리는 그

가 유일한 객체 인범주를 형성 할 수있습니까?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134, 좋은 지적입니다. 맞는 말이다. 나는 당신의 요점을 받아들입니다.

— DW

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DW의 설명에 대한 추가 사항

가 그룹이라고 말하는 것과 가 범주의 객체 라고 말하는 것 사이에는 차이가 없습니다 . 이 두 문장은 동일합니다. $x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

더 강력한 진술을하고 싶습니다 :

개념은 카테고리로 정의됩니다

그의 개념을 설명하고자하는 발명가의 생각에서 그것을 생각하십시오. 새로운 개념이 이라고 가정하십시오 . 먼저 이있을 수있는 인스턴스의 변형 수를 지정해야 할 수 있습니다. 인스턴스 호출합니다 . $M$ $M$ $M_0$

이제 이라는 많은 것들이 있다고 말 했으므로 , 각각이 서로 비교 / 관련되어 있음을 설명해야합니다. 왜 그것들이 다른 인스턴스라고 생각하는지 설명 합니다. 을 와 비교할 수있는 여러 가지 방법이있을 수도 있습니다. $M$ $M$ $A \in M_0$ 서로. 또는 어떤 경우에는 그것들을 전혀 비교할 방법이 없을 수도 있습니다. 와 를 로비교 방법 모음을 나타냅니다. $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

아마도 은 객체의 집합을 형성하고 는 범주의 집합입니다. 카테고리 이론의 법칙은 '비교'의 예상되는 행동을 제시합니다. $M_0$ $M(A,B)$

일단 당신이 그것을 가지면, 범주는 당신에게 개념의 많은 기본 속성을 제공합니다. 예의 범위는

"어떤 인스턴스는 본질적으로 동일한 동 형사상",
"이 두 인스턴스 중 더 많고 적은 섹션 --- 후퇴 쌍입니다",
"이 인스턴스 내에 몇 개의 기본 요소가 있습니까? --- 터미널 객체에서 homset"

등등.

코멘트로 질문하는 질문은

카테고리 이론은 어떤 수학적 프로세스 / 구조입니까?

이제 드릴에 대해 알게되었습니다. 개념이 실제로 무엇인지 알고 싶습니까? 카테고리를보십시오. 이 경우, 소분류 그들 사이 펑의 범주. $\mathsf{Cat}$

— 아피 왓 찬타 위불
소스

흠. 구조의 범주를 알고 있다면 그 구조에 대한 모든 것을 알고 있습니다. 우리는 구조가 만족하는 공리를 알지 못합니까?

— user56834

@ Programmer2134 Tom Leinster (Lawver의 작업 요약)에 의한 재고 이론 을 다시 생각 하는 것이 좋은 예입니다. 이 연구는 세트 범주에 대한 기존의 가정에 접근하기 위해 어떤 객체에 '내부'에 액세스하지 않고 세트 범주의 속성을 정의함으로써 세트 이론 자체를 정의합니다.

— Apiwat Chantawibul

당신은 집합의 범주를 고려하면서 공리를 잊어 버려서 집합 이론에 관한 어떤 정보도 잃어 버리지 않는다고 말하는가?

— user56834

@ Programmer2134 그렇습니다. 사실 ZFC 세트 이론을 정의하는 공리와 유사하게 순수한 형태의 속성으로 변환되었습니다. 따라서 우리가 주장하는 범주는 형태에 대한 몇 가지 속성이 있으며, 집합 이론을 정의합니다.

— Apiwat Chantawibul

카테고리 이론에 대한이 요점을 명확하게 설명하는 텍스트를 알고 있습니까?

— user56834

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세트

엑스 \in ㅏ

$x\in A$

다른 개념. 함수는 의 집합 로 멤버십 관계로 설명됩니다. $f$

(엑스, 와이) \in 에프 과 (엑스, 지) \in 에프 \Rightarrow 와이 = 지

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

철학. 세트는 내부 구조를 가지고 있으며 요소에 의해 완전히 결정됩니다.

말. 세트 이론가들이 널리 사용하는 공리 시스템은 ZFC입니다. 장점은 단순성입니다. 세트와 멤버십 관계 만 있습니다. 반면에 많은 수학자들은 이것이 세트에 대한 이해와 사용에서 벗어난 세트 개념으로 이어진다 고 생각합니다 ( Leinster 아래 비교 ). 실제로 대다수의 수학자 (집단 이론가 제외)는 ZFC 공리를 사용하지 않는 것 같습니다. 그러나 세트 가 반드시 ZFC를 참조 할 필요는 없습니다 (아래 카테고리 및 ETCS 참조 ).

카테고리

ㅏ \to 비

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

엑스 : 1 \to ㅏ

$x:1\rightarrow A$

철학. 범주의 객체는 우선적으로 내부 구조가 없습니다. 그들은 단지 다른 물체와의 관계 (형태)로 특징 지어집니다.

말. 범주의 기본 개념은 기능 이며, 이는 대부분의 수학자들이 사용하는 세트와 일치합니다. 따라서 범주가 매우 다른 분야의 (대부분의) 수학자들이 일상 업무에서 세트를 사용하는 방식을 개념적으로 일반화 한 것으로 볼 수 있습니다. 일반화로서 범주 (및 목표) 외에도 axiomatizing 세트 인 axiomatic 시스템 ETCS를 살펴볼 수 있습니다 ( Leinster 아래 비교). 및 Lawvere ).

질문. x가 그룹이라고 말하는 것과 x가 카테고리 Grp에 있다고 말하는 것의 차이점은 무엇입니까?

$x$ $x$

비평가

ZFC와 ETCS의 경우, ETCS는 ZFC보다 약하지만 대부분의 수학을 다루는 것처럼 보이지만 이러한 접근 방식은 서로 변환 될 수 있습니다 (MathStackExchange 및 Leinster 참조). 원칙적으로 (ETCS 확장을 사용하여) 두 가지 방법으로 동일한 결과를 입증 할 수 있습니다. 따라서 위에서 언급 한 두 개념의 철학은 표현할 수있는 것과 결과를 입증 할 수있는 근본적인 차이점을 주장하지 않습니다.

ZFC 의 표현 세트 와 멤버쉽 은 카테고리 또는 다른 공리 시스템의 개념과 같은 추상적 개념이며 무엇이든 의미 할 수 있습니다. 따라서 이러한 공식적인 관점에서 ZFC는 세트 의 내부 구조 와 관련이 있고 카테고리는 외부를 처리 한다고 주장 합니다. 는 서로에 대한 객체 관계를 것이 부적절하다고 생각합니다. 다른 한편으로 이것은 관련 이론의 철학이나 직관 인 것처럼 보입니다.

그러나 실제로는 명확성 또는 단순성을 위해 또는 일부 개념이나 다른 영역과의 연결이 다른 곳보다 자연스럽게 진화하기 때문에 특정 접근 방식을 선호합니다.

참고 문헌

과학자를위한 Spivak.Category 이론

Leinster. 세트 이론을 다시 생각하기

Lawvere. 세트 범주의 기본 이론

집합이없는 MathStackExchange.Category 이론

— FWE
소스