gmres 또는 bicgstab과 같은 방법에서는 다른 전제 조건으로 다른 krylov 방법을 사용하는 것이 좋습니다. 결국 매트릭스없는 방식과 병렬 환경에서 쉽게 구현할 수 있습니다. 예를 들어, 하나의 coul은 gmres 또는 다른 krylov 방법의 조합으로 사전 조건이 지정되지 않은 bigcstab을 몇 번 (~ 5 번) 반복합니다. 나는 문학에서 그러한 접근법에 대한 언급이 많지 않기 때문에 이것이 효과적이지 않기 때문이라고 생각합니다. 왜 그것이 효과적이지 않은지 이해하고 싶습니다. 좋은 선택이 필요한 경우가 있습니까?

내 연구에서 나는 병렬 (mpi) 환경에서 3D 타원 문제의 해결책에 관심이 있습니다.

어제 구현을 마쳤 기 때문에이 질문이 어제 왔음을 흥미롭게 생각합니다.

내 배경

시작으로, 교육 배경이 과학적 컴퓨팅에 관한 것이지만 현재 박사 학위를 포함하여 졸업 한 이후로 한 모든 일을 알려주십시오. 컴퓨터 전자기 분야에서 일하고 있습니다. 물리학을보고있는 것처럼 보이기 때문에 배경은 다소 비슷합니다.

FGMRES

우선, Guido Kanschat이 이미 주석에서 언급했듯이 찾고있는 것을 Flexible GMRES 또는 FGMRES라고합니다. 의사 코드를 포함한 참조는 [1]에 있습니다. 때로는 숫자 SIAM 논문을 읽기가 다소 어렵다는 것을 알지만 [1] (그리고 무료로 합법적으로 무료로 이용할 수있는 훌륭한 [B1]을 포함한 대부분의 Saad의 다른 작품들)는 다릅니다. 이 논문은 흥미롭게 읽히고 매우 명확하게 작성되었으며 응용에 대한 몇 가지 좋은 예와 제안이 있습니다.

FGMRES는 특히 이미 작동중인 올바른 사전 조건 GMRES가있는 경우 구현하기 쉽습니다. 키워드 바로 여기에 주목하십시오. LEFT 사전 조정 된 GMRES가있는 경우, 즉 MAx = Mb를 해결하는 데 익숙한 경우 몇 가지 수정해야합니다. pg에서 [B1, 알고리즘 9.4]을 비교하십시오. 282] ~ [B1, 알고리즘 9.5, pg. 284]. FGMRES는 [B1, Algorithm 9.6, pg. 287], 그러나 나는 당신이 짧고 잘 쓰여졌으며 여전히 많은 흥미로운 세부 사항들을 가지고 있기 때문에 [1]을 읽는 것이 좋습니다.

무엇을합니까

FGMRES는 기본적으로 원하는 경우 모든 반복에 대해 사전 조건을 전환 할 수 있습니다. 이를위한 응용 프로그램 중 하나는 솔루션에서 멀리 떨어져있을 때 매우 잘 작동하는 전제 조건을 사용하고 더 가까워지면 다른 조건으로 전환 할 수 있다는 것입니다. 내가 자세히 읽지 않은 [2]는 이와 비슷한 것을 논의하는 것으로 보인다.

그러나 필자의 경우 가장 흥미로운 응용 프로그램은 FGMRES의 전제 조건으로 (사전 조건) GMRES를 사용할 수 있다는 것입니다. 이것이 FGMRES의 일반적인 이름 인 "내부 GMRES"뒤에있는 이유입니다. 여기서 "외부"는 (전제 조건으로) "내부"솔버를 사용하는 FGMRES 솔버를 나타냅니다.

실제로 이것이 얼마나 좋은가요?

제 경우에는 이것이 절대적으로 훌륭했습니다. 내부 루프에서 저는 문제의 복잡성 감소 공식을 "해결"합니다. 자체적으로이 솔루션은 사용하기에는 너무 부정확하지만 전제 조건으로 절대적으로 효과적입니다. "solve"주위의 ""에 주목하십시오. 대략적인 근사값 만 찾고 있기 때문에 수렴을 위해 내부 솔버를 실행할 필요가 없습니다. 필자의 경우, 각각 64 초의 151 반복을 사용하여 79 초의 72 반복으로 사용했습니다 (내부 GMRES에서 고정 5 반복을 사용했습니다). 그것은 우리가 이미 재귀 적으로 작동하는 GMRES를 가지고 있었기 때문에 정확성의 손실과 코딩 작업이 거의없이 총 1 시간의 절약입니다.

이 기능의 일부 응용 프로그램에서 잠재적 인 성능을 입증하려면 [3] (실제로 3 단계 FGMRES를 사용하므로 FGMRES, 내부는 FGMRES, 내부는 내부 GMGM) 및 [4]를 참조하십시오. 용도에 따라 다르지만 몇 가지 흥미로운 테스트 사례가 포함되어 있습니다.

참고 문헌

[1] Y. Saad,“유연한 내부 외부 사전 조정 GMRES 알고리즘”SIAM J. Sci. Comp., vol. 14 번 2, pp. 461–469, 1993 년 3 월. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/PDF/umsi-91-279.pdf

[2] D.-Z. 딩, R.-S. Chen, Z. Fan, "개방형 물체의 산란에 대한 MLFMM 분석을위한 SSOR 사전 조건화 된 내부 외부 유연한 GMRES 방법"Progress In Electromagnetics Research, vol. 89, pp. 339–357, 2009. http://www.jpier.org/PIER/pier89/22.08112601.pdf

[3] TF Eibert,“일부 산란 결과는 표면 적분 방정식과 하이브리드 유한 요소 경계 적분 기술에 의해 계산되었으며, 다단계 고속 다중 극 방법에 의해 가속화되었습니다”IEEE 안테나 및 전파 잡지, vol. 49 번 2, pp. 61–69, 2007.

[4] Ö. Ergül, T. Malas 및 L. Gürel,“일반적이고 대략적인 다단계 고속 다중 극 알고리즘을 사용하는 반복적 인 내부 외부 체계를 사용하는 대규모 전자기 문제의 해결 방법”Progress In Electromagnetics Research, vol. 106, 203–223 페이지, 2010. http://www.jpier.org/PIER/pier106/13.10061711.pdf

[B1] Y. Saad, 희소 선형 시스템에 대한 반복 방법. SIAM, 2003. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/IterMethBook_2ndEd.pdf

이러한 중첩 된 Krylov 하위 공간 방법은 실제로는 잘 작동 할 수 있습니다. 다시 시작된 GMRES가 정체되고 다시 시작되지 않은 GMRES가 너무 비싸거나 너무 많은 메모리를 사용하는 비대칭 선형 시스템에 관심이있을 수 있습니다. 일부 문헌 :

1. GMRESR : 중첩 된 GMRES 메소드 제품군 , van der Vorst, Vuik
2. 유연한 내부 외부 Krylov 하위 공간 방법 , Simoncini, Szyld
3. 유연한 내부 외부 사전 조정 GMRES 알고리즘 인 Saad
4. GMRESR , Vuik에 대한 추가 경험