"파동 방정식"에 대한 유한 차분 방식, 특성 방법

강제력 항이 ( 공식에 대해서는 아래의 편집 1 참조) 및 와 첫 번째 미분에 의존 할 수 있는 다음 문제 고려 하십시오 . 이것은 1 + 1 차원 파동 방정식입니다. 초기 데이터는 규정되어 있습니다.

여_{유 V} = 에프

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

I는 간격 의존성 도메인 내부의 용액에 관심이 과 같은 유한 차분 방식을 고려하고있다.

{유 + V = 0, 유 \in [- 유_{미디엄}, 유_{미디엄}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

목표는 를 및 유사하게 . 이 계획은 라는 의미에서 통합 가능합니다 $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $여 (유, V) + 여_{유} (유, V) + 여_{V} (유 + 1, V) = 여 (유 + 1, V + 1) = 여 (유, V) + 여_{V} (유, V) + 여_{유} (유, V + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ 따라서 위쪽으로 통합하여 초기 데이터에서 를 일관되게 계산할 수 있습니다 . 그러므로 나는 단지 와 대한 진화 방정식을 볼 필요가있다 . $W$ $W_v$ $W_u$
초기 데이터를 위해, 우리는 호환성 조건 필요 . 어느 I는 (순방향를 사용하여 초기 데이터를 산출 할 것을 제안 )의 유한 차분 소정의 값으로 초기 시간에 $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ 반정 수 지점에서 . $(u+0.5,v-0.5)$

질문 :

이것은 잘 알려진 계획입니까? 특히이 체계에 대한 분석을 어디에서 찾을 수 있습니까?
내가 조심해야 할 것이 있습니까?

배경 : 나는 아무 것도 아는 척하지 않는다 (아마도 나는 계산 기계를 조금 배우려고 노력하는 순수한 수학자이기 때문에 아마도 사실이다).

편집 1 : 명확히하기 위해 (일부 의견을 제시하기 위해) : 좌표 의 방정식은 이고 와 는 "null 좌표"로 주어집니다 (일부 정규화 계수 2까지) 및 . 따라서 의 초기 데이터는 실제로 입니다. $x$ $t$

여_{티 티} - 여_{엑스 엑스} = 에프

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

따라서 적응 된 메시 대신“ 45도 회전 된 적응 된 메시를 고려합니다 . 받는 비교 여기서 값 정수 가지고, 하나가 생각할 수있는 가산점 것으로 메쉬 모두 (그러나 단지 하나)은 와 반정 수 값을 취한다. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— 윌리 Wong
소스

나는 당신의 첨자에 약간 혼란 스럽지만, 이것은 일종의 유한 차분 시간 영역 공식 인 것처럼 보입니다 . . . 아마도 엇갈린 메쉬 공식 (반 지수)?

— meawoppl

@meawoppl : 그는 일반적으로 수행되는 것처럼 변수 대신

대신 변수

를 호출 합니다. (통상적으로

제제들은 또한 회전되고

대하여 시공간 평면에서

있지만, 별도의 문제이다.)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— 볼프강 Bangerth

나는 명확히하기 위해 편집했다 (Wolfgang Bangerth의 설명은 내가 염두에 둔 것이다).

— Willie Wong

답변:

이와 같은 체계에 대한 문헌이 분명히 있습니다. 두 개의 키워드는

특성의 수정 된 방법
라그랑 지아 제도

인터넷 검색 20 분 후 : 몇 가지 중요한 논문은 http://dx.doi.org/10.1137/0719063 및 http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (여기서 검색)입니다. 그것들은 아마도 가장 좋은 참고 자료 는 아니지만 올바른 문학을 접할 수있는 출발점이되어야합니다.

나는 이것을 차원 분할을 가진 회전 된 선의 방법이라고 생각합니다. 아마도 변환 하에서 방정식의 등가와 파동 방정식 의 일반적인 형태를 잘 알고있을 것입니다 저에게는이 전통적인 형태의 파동 방정식을 고려한 계획을 생각해 보는 것이 유용합니다. 체계가하는 일은 먼저 한 특성 집합을 따라 통합 한 다음 다른 특성 집합을 따라 통합하는 것입니다. 차원 분할 및 오일러 방법을 사용하여 통합이 수행됩니다.

여_{티 티} - 여_{엑스 엑스} = 에프

$W_{tt}-W_{xx} = F$

유 = 티 + 엑스, V = 티 - 엑스 .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ 둘 다 첫 번째 순서가 정확합니다.

물론 특성을 통합하기 때문에 경우 체계가 정확합니다 . 즉, 계획의 수치 오류는 수치 적분에만 기인합니다 (이것은 명백 할 수도 있지만 더 전통적인 수치 방법에 익숙한 사람들을 지적하는 데 유용 할 수 있습니다). 또한 경우 무조건 안정적입니다 . 일부 속성을 모르면 안정성에 대해 더 이상 말할 수있는 것이 없습니다 . 일반적으로이 계획은 유한 한 스텝 크기 제한 하에서 만 안정적입니다 (Euler의 방법이 명시 적이므로). 의 야곱 인 경우 $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ 순전히 상상의 고유 값이 있으면 체계가 불안정합니다.

PDE를 ODE 시스템으로 줄이는 일반적인 이산화 방법 (방법에서와 같이)을 회선 방법이라고합니다. 임의의 라인 방법 이산화와 마찬가지로, 고차 ODE 솔버를 사용하여 정확도를 높일 수 있으며 적절한 암시 적 ODE 솔버를 사용하여 안정성을 향상시킬 수 있습니다 (수반 당 계산 비용이 증가 함).

— 데이비드 케 치슨
소스

"하지만 Google이 더 많은 도움을 드릴 것입니다"사실 그것은 큰 문제 중 하나입니다. Google에 무엇 을 정확히 제공해야할지 잘 모르겠습니다 (숫자 문헌은 순수 문헌과 다른 용어를 사용할 수 있습니다). 검색해야 할 키워드를 제안 해 주시면 감사하겠습니다. (예를 들어, "라인 방식"은 정말 풍부한 정보를 지적하고 있습니다. 아마도 아마 필터를 통해 필터링 할 수있을 것입니다.)

— Willie Wong

@WillieWong-일반적으로 인용하는 쌍곡선 방정식에 대한 하나의 참조는 쌍곡선 문제에 대한 LeVeque의 유한 체적 방법입니다 . 이것이 당신이 시작하기에 적합한 참조인지 확실하지 않지만, 최소한 해당 분야의 용어와 기술에 대한 소개를 제공 할 것입니다.

— Aron Ahmadia

좋아, 키워드와 참조를 추가했습니다. 나는 그들이 도움이되기를 바랍니다.

— David Ketcheson

참조 해 주셔서 감사합니다! 좋은 출발을 얻었습니다.

— Willie Wong

David Ketcheson이 자신의 답변에서 나를 떠난 곳에서 시작하여 조금 더 많은 검색을 통해 역사적인 기록이 드러났습니다.

위에서 설명한 체계는 1900 년 J. Massau에 의해 이미 Mémoire sur l' intégration graphique des équations aux dérivées partielles 에서 다시 고려 된 것 입니다. 이 작품은 1952 년 Mons의 G. Delporte에 의해 재발행되었습니다.

Courant, Friedrichs 및 Lewy 's는 수렴에 대한 최초의 (간결한) 현대 분석을 수학의 고전 1928 년 논문에서 제공했습니다. 앤

— 윌리 Wong
소스

와우, 나는 이것이 이것이 CFL 논문에 있다는 것을 몰랐다는 것을 믿을 수 없다 ...

— David Ketcheson