복잡한 지수가 LTI 시스템의 유일한 고유 함수입니까?

12

복잡한 지수 가 아닌 LTI (linear time invariant) 시스템의 고유 함수의 예가 있습니까? 저스틴 롬 베르그 (Justin Romberg)의 LTI 시스템 고유 기능에 따르면 이러한 고유 기능은 존재하지만 찾을 수 없습니다.

linear-systems theory eigendecomposition

— 비 노드
소스

9

LTI 시스템의 모든 고유 함수는 복소수 지수로 설명 될 수 있으며 복소수는 신호 공간의 완전한 기초를 형성합니다. 그러나 퇴행성 있는 시스템을 갖는 경우 , 치수가 1보다 큰 고유 부분 공간이 있음을 의미하면 해당 고유 값에 대한 고유 벡터는 모두 부분 공간의 벡터의 선형 조합입니다. 다른 주파수의 복잡한 지수의 선형 조합은 더 이상 복잡한 지수가 아닙니다.

아주 간단한 예 : LTI 시스템 인 아이덴티티 연산자 1은 전체 신호 공간을 고유 값 1의 고유 부분 공간으로 갖습니다. 이는 모든 함수가 고유 함수임을 의미합니다.

— 재즈 매니아
소스

1

물론 null 함수를 제외하고 :) 농담

— Laurent Duval

1

임의의 LTI 시스템의 경우 복잡한 지수는 내가 아는 한 유일하게 알려진 고유 신호입니다. 반면 이상적인 LPF를 고려하십시오. 함수 : 용이 고유 신호로 알 수있다. 이는 고유 지수 (이 경우 와 같이 복잡한 지수 이외의 신호를 갖는 LTI 시스템 (예 : 이상적인 LPF) 이 존재 함을 나타냅니다. $\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— CSR
소스

2

오히려 반대입니다. 규칙은 LTI 시스템이 고유 한 부분 공간을 생성하므로 복잡한 지수가 아닌 고유 벡터를 갖는 것입니다. 실제 출력 시스템을 고려하십시오. 그런 다음 입니다. 즉, 가 실수이고 이면 이미 2 차원 고유 공간이 있고 실제 사인은 고유 벡터라는 의미입니다. 이는 대해 의 배수가되는 위상 응답을 갖는 LTI 시스템이 자격을 합니다. 이것이 예외가 아닌 규칙입니다.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

1

실제로, 어떤 순수한 지수는 LTI 시스템에 고유 함수이다. 빠르게 접근하는 수량을 처리하는 데 신경 쓰지 않는다면 지수가 복잡하거나 실제적이어야한다는 이론적 요구 사항 이 없습니다 .

\infty

$\infty$

— robert bristow-johnson 2012

1

나는 (의미론으로보다 명확하고 정확하도록) 귀하의 답변을 편집했지만 귀하의 답변은 잘못되었습니다. 는 일반 LTI 시스템의 일반적인 고유 기능 이 아닙니다 . 그것은 인 이 특정 LTIs 대한 고유 함수 가 아닌 다른 사람.

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— robert bristow-johnson 2012

1

분명히 "당신은 수량이 빠르게 ∞ 접근을 다루는 괜찮다면" 과 동일하지 않습니다 "일반적으로 간주되는 신호 공간 ... 평방 적분 함수의 힐베르트 공간을 리깅." 모두 내가 말하는 것은 가 입력이면 는 출력입니다 (여기서 는 Laplace입니다) LTI 임펄스 응답 변환 . 나에게 고유 함수처럼 보인다. CSR의 사양에 대해서는 맞습니다.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— robert bristow-johnson

1

@ Fat32, 잘 작동하는 기능 공간을 요구하는 것은 안정성에 관한 것이 아니며 불필요하거나 임의적이지 않습니다. 신호 처리 이론에서 유용한 결과의 대부분은 올바르게 동작하는 신호 공간에 의존합니다. 스펙트럼 정리 ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ) 가 특히 유용 하며,이 정리에는 특정 함수 공간이 필요하며 그 중 를 선택할 수 있습니다. 이 수학적 프레임 워크를 적용하고 싶을 때 (나를 원한다면) 고유 신호로 제안한 신호를 받아 들일 수 없습니다.

L^{2}

$L^2$

— Jazzmaniac

0

나는 내 대답을 명확하게 말한 것으로 생각했다. 원래 질문은 "LTI 시스템의 복잡한 지수 외에 고유 신호가 있습니까?"였습니다. 답은 시스템이 LTI이지만 다른 것은 알려진 것이 없다면, 유일한 확인 된 전자 신호는 복잡한 지수입니다. 특정 경우 시스템에 고유 신호도 추가로있을 수 있습니다. 내가 준 예는 sinc가 고유 신호 인 이상적인 LPF입니다. sinc 함수는 임의의 LTI 시스템의 고유 신호가 아닙니다. 나는 사소하지 않은 경우를 지적하기 위해 LPF와 sinc를 예로 들었다. 복잡한 지수 외에도 고유 신호로 다른 신호를 갖는 다른 특정 비 사소한 예를 생각해 낼 수 있다고 확신합니다.

또한, cos와 sin은 일반적으로 고유 신호가 아닙니다. cos (wt)가 적용되고 출력이 A cos (wt + theta) 인 경우,이 출력은 입력의 상수 시간 (theta가 0 또는 pi 또는 A = 0 인 경우 제외)으로 표현 될 수 없습니다. 신호가 고유 신호가되어야합니다. cos와 sin이 고유 신호 인 조건이있을 수 있지만 특수한 경우이며 일반적인 것은 아닙니다.

CSR

— CSR
소스

다른 답변에 대한 내 의견을 이해 했습니까? 요점은 실제 LTI 시스템의 경우 고유 신호와 같은 실제 사인을 가질 것으로 예상된다는 것입니다. 그렇다고 모든 주파수의 모든 사인이 고유 신호임을 의미하지는 않습니다. 나는 구체적으로 그러한 조건을 정확하게 제시했으며 그 조건이 대부분의 LTI 시스템에서 충족되는 이유를 설명했습니다.

— Jazzmaniac

또한 의미를 약간 변경하기 위해 답을 편집했음을 잊지 마십시오. "합리적인 전달 함수의 경우 다른 고유 신호가 없습니다"에서 "임의의 시스템의 경우 일반적인. 그래서 사람들이 당신의 반응을 올바르게 이해하지 못하는 것처럼 두는 것은 약간입니다.

— Jazzmaniac

0

원형 대칭 렌즈와 같이 공간적으로 불변의 다차원 물체 일 수도 있습니다. 푸리에 베셀 확장이라고합니다. 시간에 대한 T는 없지만 컨볼 루션 주파수 도메인 관계는 유지됩니다.