샘플에서 파형의 PDF 계산

얼마 전 저는 디지털 파형을 그리는 여러 가지 방법을 시도해 왔으며, 진폭 엔벌 로프의 표준 실루엣 대신 오실로스코프와 같이 더 많이 표시하는 방법 중 하나를 시도했습니다. 이것은 사인파와 구형파가 스코프에서 보이는 모습입니다.

이를 수행하는 순진한 방법은 다음과 같습니다.

1. 출력 이미지에서 오디오 파일을 수평 픽셀 당 하나의 청크로 나눕니다.
2. 각 청크에 대한 샘플 진폭의 히스토그램을 계산합니다
3. 히스토그램을 밝기로 픽셀 열로 플로팅

다음과 같이 생성됩니다.

청크 당 많은 샘플이 있고 신호의 주파수가 샘플링 주파수와 관련이없는 경우에는 잘 작동하지만 그렇지 않은 경우에는 그렇지 않습니다. 예를 들어, 신호 주파수가 샘플링 주파수의 정확한 하위 배수 인 경우, 샘플은 각 사이클에서 항상 정확히 동일한 진폭에서 발생하며 히스토그램은 실제로 재구성 된 신호가이 포인트들 사이에 존재하더라도 몇 포인트가됩니다. 이 사인 펄스는 위의 왼쪽만큼 매끄러 워야하지만 정확히 1kHz이기 때문에 샘플이 항상 같은 지점에서 발생하기 때문이 아닙니다.

포인트 수를 늘리기 위해 업 샘플링을 시도했지만 문제가 해결되지 않고 경우에 따라 부드럽게 처리하는 데 도움이됩니다.

제가 정말로 원하는 것은 디지털 샘플 (진폭 대 시간)에서 연속 재구성 된 신호 의 실제 PDF (확률 대 진폭) 를 계산하는 방법 입니다. 이 알고리즘을 사용할 알고리즘을 모르겠습니다. 일반적으로 함수의 PDF는 역함수 의 파생물입니다 .

sin (x)의 PDF :$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

그러나 역수가 다중 값 함수 인 파도에 대해 이것을 계산 하는 방법이나 빨리하는 방법을 모르겠습니다 . 그것을 가지 로 나누고 각각의 역수를 계산하고 미분을 취하여 모두 합산합니까? 그러나 그것은 매우 복잡하며 아마도 더 간단한 방법이있을 것입니다.

이 "보간 된 데이터의 PDF"는 GPS 트랙의 커널 밀도 추정을 시도한 시도에도 적용됩니다. 링 모양이어야하지만 샘플 만 보았고 샘플 간의 보간 점을 고려하지 않았기 때문에 KDE는 링보다 혹처럼 보였습니다. 샘플이 모두 알고 있다면 이것이 최선의 방법입니다. 그러나 샘플이 우리가 아는 전부는 아닙니다. 우리는 또한 샘플 사이에 경로가 있다는 것을 알고 있습니다. GPS의 경우 대역 제한 오디오와 같이 완벽한 Nyquist 재구성이 없지만 보간 기능에 약간의 추측이 있지만 기본 아이디어는 여전히 적용됩니다.

원래 속도의 몇 배로 보간합니다 (예 : 8x 오버 샘플링). 이를 통해 부분 선형 신호를 가정 할 수 있습니다. 이 신호는 무한 분해능, 파형의 연속 sin (x) / x 보간에 비해 오류가 거의 없습니다.

오버 샘플링 된 모든 값 쌍 에는 한 값에서 다음 값까지 연속적인 선이 있다고 가정합니다 . 사이의 모든 값을 사용하십시오 . 이것은 y1에서 y2까지 하나의 얇은 수평 슬라이스를 제공하여 임의의 해상도 PDF로 누적됩니다. 각각의 직사각형 확률 슬라이스는 1 / n 샘플 영역으로 스케일되어야합니다.

샘플 자체가 아닌 샘플 사이의 선을 사용하면 샘플링주기와 파형 사이에 근본적인 관계가있는 경우에도 "스파이 키"PDF를 방지 할 수 있습니다.

내가 함께 할 것은 본질적으로 Jason R의 "랜덤 리 샘플러"이며, 이는 결국 요다의 확률 적 샘플링의 사전 샘플링 된 신호 기반 구현입니다.

각 두 샘플 사이의 임의의 점에 간단한 입방 보간법을 사용했습니다. 프리미티브 신디사이저 사운드 (비 대역 포화 된 정사각형 신호 + 고조파에서 사인까지 감소)는 다음과 같습니다.

더 높은 샘플링 버전과 비교해 봅시다.

샘플링 속도는 같지만 보간은없는 이상한 것입니다.

이 방법의 주목할만한 아티팩트는 정사각형 도메인의 오버 슈트이지만 실제로는 sinc 필터링 된 신호의 PDF (내 신호는 대역이 제한되지 않음)가 어떻게 보이고인지되는 음량을 훨씬 더 잘 나타냅니다. 오디오 신호 인 경우 피크보다

코드 (하스켈) :

cubInterpolate vll vl v vr vrr vrrr x
    = v*lSpline x + vr*rSpline x
      + ((vr-vl) - (vrr-vll)/4)*ldSpline x
      + ((vrr-v) - (vrrr-vl)/4)*rdSpline x
     where lSpline x = rSpline (1-x)
           rSpline x = x*x * (3-2*x)
           ldSpline x = x * (1 + x*(x-2))
           rdSpline x = -ldSpline (1-x)

                   --  rand list   IN samples  OUT samples
stochasticAntiAlias :: [Double] -> [Double] -> [Double]
stochasticAntiAlias rs (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:[]) = []
stochasticAntiAlias (r:rLst) (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)
    = ( cubInterpolate lsll lsl lsc lsr lsrr lsrrr r )
          : stochasticAntiAlias rLst (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)

rand list [0,1] 범위의 임의 변수 목록입니다.

귀하의 접근 방식은 이론적으로 정확하지만 (단조가 아닌 함수의 경우 약간 수정해야 함) 일반 함수의 역수를 계산하는 것은 매우 어렵습니다. 말할 수 있듯이 지점 지점 및 지점 컷을 처리해야하지만 가능한 지점은 아닙니다.

이미 언급했듯이, 정규 샘플링은 동일한 포인트 세트를 샘플링하므로 샘플링하지 않은 지역 (나일 퀴 스트 기준이 충족 되더라도)에서 좋지 않은 추정치에 매우 취약합니다. 이 경우 더 오랜 기간 동안 샘플링해도 도움이되지 않습니다.

일반적으로 확률 밀도 함수 및 히스토그램을 처리 할 때는 정규 샘플링보다 확률 적 샘플링의 관점에서 생각하는 것이 훨씬 좋습니다 (소개는 링크 된 답변 참조). 확률 적으로 샘플링하면 모든 포인트가 "적중"할 가능성이 동일하며 PDF를 훨씬 더 잘 평가할 수 있습니다.

$f(x)=\sin(20\pi x) + \sin(100\pi x)$$f_s=1000$$f_N=100$$1000$ 초당 샘플 (균일 분포) (다른 의미를 의미하기 때문에 Hz를 사용하지 않습니다)은 30 초 동안 오른쪽에 플롯을 표시합니다 (동일 비닝).

잡음이 있지만 오른쪽에있는 것보다 실제 PDF에 대한 근사치가 훨씬 낫다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 여러 간격에서 0을 표시하고 다른 경우에는 큰 오류를 표시합니다. 더 긴 관측 시간을 가짐으로써 오른쪽에있는 것의 차이를 줄일 수 있으며, 결국 큰 관측치의 한계에서 정확한 PDF (검은 점선)로 수렴됩니다.

커널 밀도 추정

파형의 PDF를 추정하는 한 가지 방법은 커널 밀도 추정기 를 사용하는 것 입니다.

이것은 모든 샘플 과 커널 함수 (예 : 가우시안), 를 가져 와서 (Dirac 델타) PDF의 추정치를 제공하기 위해 :$x(n)$$K(\mathrm{x})$$\delta(\mathrm{x} - x(n))$$\hat{P}$

업데이트 : 흥미로운 추가 정보.

대한 신호 이 있다고 가정하고 --- 말한 것처럼 --- 또한 ​​DFT 알 수 있습니다 .$x(n)$$n= 0,1,...,N-1$$X(k)$

따라서 는 의 계수입니다 .$X(k)$$e^{\jmath 2\pi n k /N}$

따라서 각 푸리에 구성 요소의 모든 PDF를 함께 모으는 것이 무엇인지 추측 하십시오.

그러나 이는 의 위상이 의 덧셈에 기여 하는 방식을 고려하지 않습니다 .x ( n $X(k)$$x(n)$

더 많은 생각이 필요했습니다!

귀하의 의견 중 하나에서 지적했듯이, 대역 제한 신호를 보간하는 sinc 함수의 샘플과 PDF 만 사용하여 재구성 된 신호의 히스토그램을 계산할 수 있다는 것이 매력적입니다. 불행하게도, sinc의 히스토그램에 신호 자체에있는 모든 정보가 없기 때문에 이것이 가능하지 않다고 생각합니다. 각 값이있는 시간 영역 위치에 대한 모든 정보가 손실됩니다. 이것은 스케일 및 시간 지연 버전의 sinc가 어떻게 합쳐 지는지를 모델링하는 것을 불가능하게합니다. 업 샘플링.

보간법이 최선의 선택이라고 생각합니다. 당신은 당신이 이것을하고 싶지 않은 몇 가지 문제를 지적했습니다.

• 계산 비용 : 이것은 물론 사용하려는 특정 응용 프로그램에 따라 항상 상대적 관심사입니다. 수집 한 렌더링 갤러리에 게시 한 링크를 기반으로 오디오 신호를 시각화하기 위해이 작업을 수행하려고한다고 가정합니다. 실시간 또는 오프라인 응용 프로그램에 관심이 있는지 여부에 관계없이 효율적인 보간기를 프로토 타입하고 비용이 너무 많이 드는지 확인하는 것이 좋습니다. 다상 리샘플링 은 유연한 방법으로이 작업을 수행하는 좋은 방법입니다 (이성적인 요소를 사용할 수 있음).

• 샘플링 주파수와 합리적으로 관련된 주기적 구성 요소에 대한 바이어스 : 이를 완전히 제거 할 수는 없지만 "이상한"요인으로 보간하여 다소 완화 할 수 있어야합니다. 4로 업 샘플링하는 대신 71/18 ( 예). 다소 복잡한 구조이지만 여전히 효율적으로 구현할 수 있습니다. 이렇게하면 샘플 속도와 관련된 주파수를 가진 구성 요소의 기간에 걸쳐보다 균일 한 샘플 분포가 제공됩니다. 또는 임의의 리샘플링 비율을 선택한 다음 와 같은 (대략) 비합리적인 숫자로 리샘플링 할 수있는 리샘플링 구성표를 사용하십시오 . 이것은 다항식 보간을 사용 하는 Farrow 보간기를 사용하여 효율적으로 수행 할 수 있습니다 .$\pi$

히스토그램을 부드럽게해야합니다 (커널 방법을 사용하는 것과 비슷한 결과가 나타남). 스무딩을 정확히 수행하는 방법은 실험이 필요합니다. 아마도 보간에 의해 수행 될 수도 있습니다. 스무딩 외에도 샘플링 주파수가 입력에서 가장 높은 주파수보다 '상당히 더 높은'방식으로 파형을 업 샘플링하면 개선 된 결과를 얻을 수 있다고 생각합니다. 이는 사인파가 샘플링 주파수와 관련이있는 '까다로운'경우에 도움이되며 히스토그램의 일부 빈만 채워집니다. 충분히 높은 샘플링 속도로 촬영하면 스무딩없이 멋진 플롯을 얻을 수 있습니다. 따라서 어떤 종류의 스무딩과 결합 된 업 샘플링은 더 나은 플롯을 생성합니다.

플롯이 예상과 다른 1kHz 톤의 예를 제공합니다. 여기 내 제안이 있습니다 (Matlab / Octave 코드)

pixels_vertical = 100;
% This needs to be tuned to your configuration and acceptance
upsampling_factor = 16*(pixels_vertical/100); 
fs_original = 48000;
fsine = 1000; % in Hz
fs_up = upsampling_factor*fs_original;
duration = 1; % in seconds
x = sin(2*pi*fsine*[0:duration*fs_up]/fs_up);
period_in_samples = fs_up/fsine;
hist_points = linspace(-1,1,pixels_vertical);
istart = 1;
iend   = period_in_samples;
pixel_values = hist(x(istart:iend), hist_points);
% smooth pixel values
[b,a] = butter(2,0.2);
pixel_values_smooth = filtfilt(b,a,pixel_values);
figure;hold on;
plot(hist_points, pixel_values);
plot(hist_points, pixel_values_smooth,'r');

1000Hz 톤의 경우

upsampling_factor 표현식을 원하는대로 조정하십시오.

여전히 귀하의 요구 사항이 정확히 100 % 확실하지 않습니다. 그러나 위의 업 샘플링 및 스무딩 원리를 사용하면 1kHz 톤 (Matlab으로 제작)에이를 얻을 수 있습니다. 원시 히스토그램에는 적중 횟수가 0 인 빈이 많이 있습니다.