확률 과정은 시간이 지남에 따라 진화하는 과정이므로 실제로 "시계열"이라고 말하는 더 환상적인 방법입니까?

의견과 답변에 많은 불일치가 나타나기 때문에 일부 당국을 참조하십시오.

제임스 해밀턴도 시계열을 정의하지는 않지만 시계열이 무엇인지 분명합니다.

...이 숫자 세트 는 데이터를 생성 한 기본 확률 적 프로세스의 가능한 결과 중 하나 일뿐입니다. 실제로 프로세스가 무한정 진행되었다고 상상하더라도 시퀀스에 도달하면 무한 시퀀스 것 여전히 시계열 프로세스에서 단일 실현으로 간주됩니다. ...{ y t } ∞ t = ∞ = { … , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , … , y T , y T + 1 , y T + 2 , … , } , { y t } ∞ t = $T$

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

의 전지를 상상해 컴퓨터 시퀀스를 생성 ... 각 날짜 에서 날짜 와 관련된 관측치를 선택하는 것이 순서 : 이것은 랜덤 변수 의 구현 샘플로 설명됩니다 . ...{ Y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { Y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , ... , { Y ( I ) t } ∞ t = - ∞ t { Y ( 1 ) t , Y ( 2 ) t , … , y ( I $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$나는Y

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( 시계열 분석 , 3 장)

따라서 "시계열 프로세스"는 정수 인덱스 된 무작위 변수 의 집합입니다 .$\{Y_t\}$$t$

에서 확률 미분 방정식, 인 Bernt Øksendal는 일반적인 확률 과정의 표준 수학적 정의를 제공합니다 :

정의 2.1.4. 확률 과정은 표화 랜덤 변수들의 집합 인 확률 공간 정의 과의 값을 가정 .

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

매개 변수 공간 는 일반적으로 (이 책에서와 같이) 반선 이지만 간격 , 음이 아닌 정수 및 하위 집합 일 수도 있습니다. 경우 입니다.$T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

이 두 가지를 종합하면 시계열 프로세스가 정수로 인덱스 된 확률 적 프로세스 라는 것을 알 수 있습니다.

어떤 사람들은 "시계열"을 사용하여 시계열 과정 의 실현 을 언급합니다 ( Wikipedia 기사 에서와 같이 ). 우리는 "시계열 프로세스"를 사용하여 프로세스를 실현과 구별하려는 합리적인 노력을 해밀턴의 언어에서 볼 수 있으므로 "시계열"을 사용하여 실현 (또는 데이터)을 나타낼 수 있습니다.

확률 적 프로세스는 임의의 변수 (반드시 독립적 일 필요 는 없음)의 집합 또는 집합입니다 . 여기서 색인 t는 특정 집합의 값을 가져 ,이 집합은 순서가 정해져 있습니다. 무작위 도보 예. 시계열 확률 론적 과정의 실현입니다.$\left\{X_t\right\}$

확률 적 프로세스 정의

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

시계열 정의

확률 론적 과정은 명백하고 수학적인 정의를 가지고 있습니다. 시계열은 덜 정확한 개념이며 사람들은 시계열을 사용하여 두 가지 관련이 있지만 다른 개체를 나타냅니다.

1. WHuber가 설명했듯이 정수 (예 : 월별 데이터)로 매핑 될 수있는 정수 또는 일정한 증분 시간 단위로 인덱스 된 확률 적 프로세스입니다.
2. 정기적으로 관찰되는 데이터 모음. 이것은 정수로 색인화 된 확률 론적 프로세스의 실현 일 수 있습니다. 때때로 이것을 시계열 데이터라고합니다.

예 : 압정의 두 번 뒤집기

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

$$X_1(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{TH}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$$

$$X_2(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{TH}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{HT}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$$

$\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

확률 적 프로세스와 시계열의 차이점은 키보드의 고양이와 스택 교환의 답변의 차이와 다소 비슷합니다. 키보드의 고양이는 답을 얻을 수 있지만 키보드의 고양이 는 답 이 아닙니다 . 또한 모든 답변이 키보드의 고양이에 의해 생성되는 것은 아닙니다.

시계열은 시간-값-데이터-포인트 쌍의 모음으로 이해 될 수 있습니다. 반면에 확률 론적 과정은 시계열 ¹의 수학적 모델 또는 수학적 설명입니다. 어떤 시계열은 확률 적 프로세스의 실현입니다 (어느 종류이든). 또는 다른 관점에서 : 확률 적 프로세스를 모델로 사용하여 시계열을 생성 할 수 있습니다.

또한 다른 방법으로 시계열을 생성 할 수도 있습니다.

• 그것들은 관찰의 결과가 될 수 있으며 현실에 의해 생성됩니다. 현실을 확률 적 과정으로 모델링 할 수 있지만 (실제를 확률 적 과정으로 간주한다고 말할 수도 있지만) 현실 은 상자 내부가 일련의 포인트가 아닌 것과 같은 방식으로 확률 적 과정이 아닙니다. 모델링 컨텍스트에서 두 가지를 고려하십시오).

• $x=2$

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^{¹ 이산 시간 확률 적 프로세스 인 경우. 연속 시간 확률 적 프로세스는 시계열이 아닌 함수의 분포입니다.}

시계열 대 확률 론적 주제에 관한 모든 토론 / 의견에 감사드립니다. 차이점에 대한 나의 이해는 다음과 같습니다. 시계열은 관찰 된 시간과 함께 색인화 된 일련의 숫자로 기록 된 현상입니다. 뉴욕 증권 거래소의 주가와 같은 실제 현상에 대한 일련의 관측 일 가능성이 높습니다. 반면에 확률 론적 과정은 시계열의 수학적 표현 (생산이 아님)으로 항상 이해됩니다.