왜 궤도가 원형이 아닌 타원형입니까?

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행성이 별의 초점 중 하나에서 별과 함께 특정 타원형 궤도에서 별 주위를 회전하는 이유는 무엇입니까? 궤도가 왜 원이 아닌가?

star orbit planet

— 데 게트 파텔
소스

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에두아르도의 답변이 그 대부분을 요약합니다. Physics SE에 대한 비슷한 질문에 대한 나의 대답을 볼 수 있지만. physics.stackexchange.com/questions/56657/…

— Cheeku

2

원형 궤도는 타원형 궤도의 특별한 경우입니다.

— asawyer

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행성이 별과 비교할 때 무시할 수있는 질량을 가지고 있다고 가정하자. 둘 다 구형 대칭 (뉴턴의 중력 법칙은 유지하지만 보통 어쨌든 아주 좋은 근사치가 발생 함)이고 그들 사이의 중력 외에는 다른 힘이 없다고 가정하자. . 첫 번째 조건이 유지되지 않으면 각각의 가속이 시스템 의 무게 중심 을 향하게 됩니다. 마치 무게 중심이 일정한 질량으로 중력을 끌어 당기는 것처럼 문제는 수학적으로 동일합니다.

별을 원점으로하십시오. 뉴턴의 중력 법칙에 따르면 힘은 . 여기서 은 행성의 벡터입니다. 은 질량, 그리고 은 별의 표준 중력 매개 변수입니다. $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

보존법

힘은 완전히 방사형이므로 각운동량 는 보존됩니다 : 초기 속도가 0이 아니고 별이 원점에있는 경우 그런 다음 초기 위치 및 속도와 관련하여 궤도는 을 만족하는 원점에서 벡터 를 사용하여 모든 점의 평면에 한정되어야합니다. $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$

\dot{L} = \frac{d}{d t} (r \times p) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$ . 초기 속도가 0이면 모션은 순전히 방사형이며, 우리는 무게 중심과 초기 위치를 포함하는 무한히 많은 평면 중 하나를 취할 수 있습니다.

총 궤도 에너지는 의해 주어집니다. 여기서 첫 번째 항은 운동 에너지이며 두 번째 용어는 지구의 중력 잠재력 에너지입니다. 그것의 보존과 그것이 정확한 잠재적 에너지를 불러 온다는 사실은 선 적분에 대한 미적분학의 기본 이론에 의해 증명 될 수 있습니다.

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

Laplace-Runge-Lenz 벡터를 또한 보존된다 :

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

마지막으로, 과 동일한 단위를 가진 도 가져 와서 이면 궤도면을 따라 놓여 있습니다. 보존 스칼라에 의해 스케일링 된 보존 벡터이기 때문에 도 보존 됨을 쉽게 알 수 있습니다. $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

단순화

벡터 트리플 곱을 사용하여 규범 제곱하기 쉬운 크랭크 아웃 : 여기서 은 운동 용어와 잠재적 용어 사이를 전환하는 데 사용되었습니다.

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} A & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

왜 타원인가?

은 무한대에 상대적인 에너지 이므로 궤도 궤도를 정하려면 합니다. 따라서 이전 섹션에서 따라서 foci 및 장축 로 타원을 정의합니다. . $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

왜 원이 아닙니까?

원은 병소가 같은 지점이다 특별한 경우이다 과 같이 재 작성 될 수있다 즉, 원형 궤도는 궤도 에너지가 운동 에너지의 음수가되도록 요구합니다. 이것은 가능하지만, 정확히 잡을 수는 없습니다. 의 값 때문에 , 바운드 궤도에 허용 타원 궤도를 가지고있는 더 많은 방법이있다한다. (별과 행성의 크기가 크기 때문에 일부는 실제로 충돌 할 수 있습니다.) $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

E = - \frac{1}{2} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2}}{2 m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

쌍곡선 궤도에는 있으며 위의 방법을 사용하여 초점을 찾을 수 있지만 표지판에주의해야합니다. 들면 , 제 2 초점 이 포물선 궤도이며, 포물선만을 중심으로부터 거리에 유한 한 초점 때문에 정의되지 않는다. $\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

또한 편심 벡터 는 LRL 벡터에 대한 대안 선택입니다. 이름에서 알 수 있듯이, 그 크기는 궤도 편심입니다. $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— 스탠 리우
소스

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행성이 원형 궤도를 갖는 것이 가능하다. 결국 원형은 두 초점이 같은 장소에있는 타원이다. 이것은 이심률 이 0 인 것으로 알려져 있습니다. 편심는 다음과 같이 정의된다 : 여기서 apoapsis (로부터의 궤도의 가장 먼 지점 인 질량 중심), 는 근음 (가장 가까운 거리)입니다. 여기서 직관력을 키우기 위해 아 포프 시스가 골막 거리의 두 배인 경우 편심 률은 입니다.

e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

편심도가 0.007 인 태양계의 모든 행성 인 금성 에서 가장 원형 궤도가 있습니다.

모든 궤도가 둥글 지 않은 이유는 운동 에너지로 귀착됩니다 . 운동 에너지는 속도의 제곱에 비례합니다. 궤도면과 별에 대한 극좌표에서, 우리는 이것을 방사형 속도 와 각속도 의 조합으로 분해 할 수 있습니다 . 원은 일정한 반지름을 가지고 있기 때문에, 궤도가 별 주위를 둥글게하려면 행성의 반지름 속도는 정확히 0이어야합니다. 또한, 각속도 는 회전 프레임 의 원심력이 중력과 정확히 균형을 이루도록 해야합니다 . 불균형은 반경 속도를 변화시켜 원을 망치게됩니다. $\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$

속도가 여러 가지 이유로 다양하다는 사실을 감안할 때, 단지 몇 개의 궤도 만이 원형이되고 실제 궤도 가 시간에 따라 변한다는 것을 고려할 때 , 우리는 그들이 오랫동안 이런 방식으로 머물 수 없다는 것을 알고 있습니다.

수학적 증거를 찾고 있다면 이 링크는 이에 대한 세부 정보를 공유합니다 .

여기에서 추출 태양계의 일부기구의 편심 나타내는 이미지의 여기에서 :

일부 태양계 몸체와 그 중심

— 에두아르도 세라
소스

"궤도가 둥글게 돌아가려면 행성의 속도가 궤도에 있어야하는 최소의 속도 여야합니다. 이 문단은 또한 어떤 궤도를 이루는 지에 대해 매우 혼란스러워합니다. 분명히, 그들은 방사 속도 를 최소화 하지만, 그것은 다르고 운동 에너지 토론과 관련이 없습니다. 운동 에너지를 방사상 및 각진 부분으로 분해하는 원형 궤도는 또한 각 운동량이 고정되어 있으면 유효 전위를 최소화합니다.

— Stan Liou

@ 스탠 당신은 편집을 제안하거나 자신의 답변을 제공 할 수 있습니다. 그 진술이 왜 틀린지 자세히 설명해 주시겠습니까? 위성이 원형 궤도를 묘사하고 있고 속도를 늦추면, 행성에 충돌 할 것입니다. 속도를 높이면 타원형 궤도가 형성됩니다.

— Eduardo Serra

원형 궤도는 입니다. 위성 속도의 작은 변화는 이러한 양의 작은 변화를 일으킬 것입니다. 새 가 행성 반경보다 작거나 같은 경우에만 위성이 충돌합니다 . 대기는 변화가 작기 때문에 위성 궤도가 이미 행성을 거의 껴안고있는 경우에만 발생할 수 있습니다. ... 운동 에너지와의 연계를 유지하는 편집을 제안하겠습니다.

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

— Stan Liou

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@EduardoSerra-원형 궤도에서 물체의 속도를 늦추면 이전의 궤도 궤도 반경이 이제 apofocal distance가되는 타원형 궤도에있게됩니다.

— David Hammen 2012 년

1

나는 항상 공식을 피하고 논증에 대답하는 답변을 선호합니다. 왜 모든 궤도가 원형이 아닌지에 대한 질문의 부분에 대해 논증은 다음과 같습니다.

고정 별과 움직이는 행성을 고려하십시오. 행성이 가질 수있는 각각의 충동에 대해, 추가 이동을위한 곡선이 예측 될 수 있습니다. 이 임펄스가 별에서 행성까지의 선과 정확히 직교 하고 속도가 정확한 양을 가지면 이 운동 곡선은 정확한 원이 될 수 있습니다.

그러나이 하나의 정확한 충동의 모든 이탈에 대해 결과 곡선은 원이 될 수 없습니다.

속도가 너무 낮 으면 행성이 별쪽으로 떨어질 것입니다 (극단의 충동이 0 인 경우이 가을은 직선입니다).
속도가 너무 높으면, 행성은 별에서 새총과 비슷한 거리를 얻을 것입니다.
임펄스가 별의 선과 직교하지 않으면 첫 번째 움직임이 별을 향하거나 별에서 이동하므로 곡선은 원이 아닙니다.

따라서 원은 행성이 별 주위를 can 수있는 곡선에 매우 특별한 경우입니다.

— 알페
소스

(1) 초기 직교성 주장은 좋은 출발입니다. (2) 그러나“속도가 너무 낮다”는 고려 사항은 정당하지 않다. 여러 거리에서 원형 궤도가 같은 거리에서 허용되지 않는다는 것을 어떻게 알 수 있을까? 중력과 원심력의 균형을 잡음으로써 여러 속도의 가능성에 대항 할 수는 있지만, (1)과 (2)는 Eduardo Serra의 답변에 나와있는 것과 정확히 일치합니다.

— Stan Liou 2016 년

따라서 행성을 원형 경로로 유지하기 위해 더 많은 힘이 "필요"할 때 중력이 별에 대해 더 많은 힘을 가할 것이라는 점에서 중력이 단단한 로프와 같을 수 있다는 인상을받을 수 있습니다. ? 흠… 그렇습니다. 평신도의 배경에 따라 이것이 기대할 수 있습니다. 개념에 감사드립니다. 어쩌면 나는이 문제를 해결하기 위해 대답을 향상시킬 수 있습니다!

— Alfe