행성의 perihelion 세차 운동에 대한 작은 가변 력의 영향 결정

뉴턴의 중력 법칙에 따라 2D 평면에서 태양 주위를 공전하는 행성의 아피 디스 세차 속도 (엄격한 세차가 아니라 아피 피스 선의 회전)에 대한 작은 가변 가로 가속의 효과를 결정하는 분석 기술이 있습니까? ?

반복적 인 컴퓨터 모델에서 이러한 효과를 모델링했으며 이러한 측정을 확인하고 싶습니다.

가로 가속 공식은

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

어디:-

c 는 빛의 속도입니다.

K는 0과 +/- 3 사이의 상수로 입니다. $K/(c^2) << 1$

Ar은 태양의 뉴턴 중력 영향으로 인한 행성의 태양 가속도입니다 ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr은 태양에 상대적인 행성 속도의 반경 방향 구성 요소입니다 (+ = 태양에서 멀어지는 운동)

Vt는 태양에 대한 행성 속도의 가로 성분입니다 (+ = 궤도 경로를 따라 행성 앞으로 이동하는 방향). 벡터 적으로 Vt = V-Vr 여기서 V는 태양에 대한 행성의 총 순간 속도 벡터입니다.

행성 질량이 태양에 비해 작다고 가정

시스템에 다른 바디가 없습니다

모든 움직임과 가속은 궤도의 2 차원 평면에 국한됩니다.

최신 정보

이것이 나에게 흥미로운 이유는 내 컴퓨터 모델에서 K = +3의 값이 일반적인 상대성 이론에 의해 예측 된 것의 약 1 % 내에서 그리고 몇 퍼센트 내에서 비정상적인 (뉴턴이 아닌) 횡경막 회전 속도 값을 생성하기 때문이다. 천문학 자들이 관찰 한 것들 (Le Verrier, Newcomb에 의해 업데이트 됨).

http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession 에서 GR 유래 골막 회전 (궤도 당 라디안)에 대한 식 (아인슈타인, 1915)

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

업데이트 4

나는 월터의 대답을 받아 들였다. 그는 원래의 질문에 대답했을뿐만 아니라 (기술이 있습니까?) 그의 분석은 횡 가속도 공식 (K = 3)의 컴퓨터 시뮬레이션 효과를 확인할뿐만 아니라 (예기치 않은) 공식을 생성합니다. 나에게)는 본질적으로 아인슈타인 1915 공식과 같습니다.

월터 요약 (아래 월터의 답변)에서 :-

: (1 차 석출 분석에서) 반 장점 축과 편심은 변하지 않지만 궤도 평면에서 주변 방향이 궤도 주파수이고 와 반차 장축. ( ) 이것은 순서 (Einstein 1915에 의해 제공됨 )에서의 일반 상대성 이론 (GR) 세차 비율에 동의합니다 .

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— 스티브
소스

아직도 답을 찾고 있습니까?

— Walter

@ 월터. 네 physics.stackexchange.com/questions/123685/… 에서 비슷한 질문을 했지만 아직 확실한 답변을받지 못했습니다.

— steveOw

@ 월터. 나는 또한 math.stackexchange.com/questions/866836/…에 물었다 .

— steveOw

예, 의 한계에 유효한 근사 분석 방법 (섭동 이론)이 있습니다. 아마도 당신은 당신의 질문을 조금 명확히 할 수 있습니다. 가로 가속의 방향은 무엇입니까 (순간 속도에 직각을 의미하는 '가로'를 이해하지만 가속이 궤도면 또는 수직 또는 혼합물인지 여부는 명확하지 않습니다).

K ≪ 1

$K\ll1$

— Walter

여기에 당신의 질문과 수학 (물리학)에 대한 차이점이 있습니다. 여기에서 횡 가속도는 반지름 가속도에 비례하고 는 차원이 없으며, 반지름 가속도는 횡 가속도에 영향을 미치지 않으며 는 가속 ( '숫자'에 대해 이야기하지만).

K

$K$

K

$K$

— Walter

섭동 이론 을 사용할 수 있습니다 . 이것은 대략적인 답변을 제공하지만 분석 처리를 허용합니다. 당신의 힘은 Keplerian 타원 궤도에 대한 작은 동요로 간주되며 그에 따른 운동 방정식은 거듭 제곱으로 확장됩니다 . 선형 섭동 이론의 경우 선형 항만 유지됩니다. 이것은 단순히 교란되지 않은 원래 궤도를 따라 교란을 통합시키는 것입니다. 힘을 벡터로 쓰면 섭동 가속은 with 반경 속도 ( ) 및 $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ 속도의 회전 성분 ( 전체 속도에서 방사 속도를 뺀 값). 여기서, 상기 점은 시간 도함수를 나타내며 단위 벡터의 모자를 나타낸다.

이제 ' 효과 '의 의미에 따라 다릅니다 . 궤도 반 장점 축 , 편심 및 주변 방향의 변화를 해결합시다. $a$ $e$

아래 결과 를 요약하면 다음과 같습니다 . 반 주요 축과 편심은 변하지 않지만 궤도 평면에서 주변 방향이 궤도 주파수이고 와 반차 장축. ( ) 이것은 순서 (Einstein 1915에서 제공했지만 원래 질문에 언급되지 않음 )에서의 일반 상대성 이론 (GR) 세차 비율 에 동의합니다 .

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

반장 축 변경

관계로부터 (와 궤도 에너지) 우리의 변화가 외부 인한 (Keplerian이 아닌) 가속 삽입 ( 각 운동량 벡터 가있는 )이면 모든 함수 대한 궤도 평균 (아래 참조)이므로 입니다. $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

편심의 변화

에서 , 우리가 찾을 우리는 이미 이라는 것을 알고 있으므로 첫 번째 용어 만 고려하면됩니다. 따라서 ID 와 사실 $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . 다시 이므로 입니다.

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

주변 방향의 변화

편심 방향 의 편심 벡터 포인트 (중심으로부터)는 크기가 있습니다 , 그리고 Keplerian 운동하에 보존됩니다 (모든 것을 운동으로 확인하십시오!). 이 정의에서 우리는 외부 가속 $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ 여기서 ID 와 사실 . 이 식의 궤도 평균은 아래 부록에서 고려됩니다. 마지막으로 모든 것을 정리하면 과 [ 다시 수정 됨 ] 이것은 각 주파수가 궤도면에서 주변의 회전입니다. . 특히

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ 이전 결과와 일치하는

1 차 섭동 이론의 사용으로 인해이 결과는 한계 에서만 엄격하게 적용된다는 것을 잊지 마십시오 . 그러나 2 차 섭동 이론에서는 및 / 또는 가 모두 변경 될 수 있습니다. 수치 실험에서 와 의 궤도 평균 변화 가 섭동 진폭 선형보다 0 또는 더 강하다는 것을 알 수 있습니다. $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

고지 사항 대수가 정확하다는 보장은 없습니다. 확인해 봐!

부록 : 궤도 평균

임의의 (그러나 통합 가능한) 함수 를 갖는 의 궤도 평균은 모든 유형의주기 궤도에 대해 직접 계산 될 수 있습니다. 하자 의 역도 수 , 즉 : 다음 궤도 보통이다 이며 궤도주기 는 입니다. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

필요한 궤도 평균의 경우 좀 더 깊이 파고 들어야합니다. Keplerian 타원 궤도의 경우 편심 벡터가 포함 된 및 벡터 직각 와 . 여기서, 평균 이상 관련된 이상 편심이다 통해 그러한 $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ 및 궤도 평균은 의 시간 도함수 ( 궤도 주파수)를 하면 순간 (교란되지 않은) 궤도 속도 여기서 반 주축이 원형 궤도의 속도 인 . 이것으로부터, 우리는 반지름 속도를 찾습니다

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ 및 회전 속도

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

이것으로 우리는 [ 다시 수정 ] 특히 방향의 구성 요소는 평균적으로 0입니다. 따라서 [ 다시 수정 ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— 월터
소스

의견은 긴 토론을위한 것이 아닙니다. 이 대화는 채팅 으로 이동 되었습니다 .

— called2voyage