케플러는 그의 세 번째 법칙을 어떻게 데이터로부터 "추측"했습니까?

Kepler가 계산기없이 데이터를보고 펜과 종이 만 사용하여 세 가지 법칙을 결정한 것은 놀라운 일입니다. 그가 이미 추측 한 데이터에 대해 그의 법칙이 데이터를 묘사했다는 것을 어떻게 증명했는지 생각할 수 있지만, 내가 이해하지 못하는 것은 그가 처음에 어떻게 추측했는지에 대한 것입니다.

특히 케플러의 제 3 법칙에 초점을 맞출 것인데, 이것은 행성의 궤도주기의 제곱이 궤도의 반 주축의 입방체에 비례한다는 것입니다.

나는 케플러가 행성에 대한 데이터와 함께 우리 자신의 달과 태양을 다루고 있다고 가정합니다. 나는 케플러가 망원경으로 아직 관측되지 않은 다른 달, 혜성 또는 소행성에 대한 데이터를 가지고 있지 않다고 생각하기 때문에이 가정을합니다. 이것이 사실이라면 케플러가 살아있을 때 해왕성, 천왕성 및 명왕성이 아직 발견되지 않았다는 것을 알면, 케플러가 9 개 미만의 데이터 포인트를 가지고 있다는 것을 의미합니다.

내 친구는 Kepler가이 관계를 어떻게 추측했는지는 완전히 명백히 주장하고 있지만 (Kepler가 어떻게 그렇게했는지에 대한 방법을 제공하지는 않지만) Kepler의 관찰은 "그다지 어렵지 않다"고 주장합니다. 도전으로, I는 표지 한 열 내 친구 데이터 테이블 준 , 다른 Y , 9 개 좌표 ( X , Y ) 의 관계에 맞게 X 4 = Y 3 . 나는 " x 와 y 의 관계를 찾으십시오"라고 말 했지만 당신이 기대하지 않았을 수도 있습니다.$x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Kepler가이 관계가 데이터 포인트가 거의없는 것으로 어떻게 추측했는지 세계에 설명해주십시오. 그리고 Kepler가 자신의 처분에 가지고있는 데이터 포인트의 수가 적다는 가정이 잘못된 경우에도 계산기 없이이 관계를 추측하기가 여전히 어렵다고 생각합니다.

케플러의 세 번째 법칙은 그의 첫 번째 법에 비해 사소한 것입니다. 그는 궤도가 타원이라고 추론 할 수 있다는 사실에 깊은 감명을 받았습니다. 그것을 얻기 위해 그는 지구에서 화성 방향을 그리고 화성에서 지구 방향을 플로팅하여왔다 갔다해야했다. 그는 두 행성의 년의 길이를 알고 있었기 때문에 화성 1 년을 분리 한 관측은 지구가 움직 였기 때문에 다를 것입니다.

그러나 그렇게 사소한 것은 아닙니다. 그는 1609 년에 처음 두 가지 법칙을 발표했다. 세 번째 법칙은 10 년 후인 1619 년까지 이어지지 않았다.

$x^4 = y^3$$3/4$

타이밍이 맞습니다. 네이피어는 1614 년에 대수에 관한 그의 책을 출판했습니다. 케플러는이 반짝이는 새로운 수학 도구를 그의 낡고 오래된 데이터에 적용했을 수 있습니다.

가장 큰 장애물은 당시 알려진 행성이 6 개 밖에 없었기 때문에 데이터 포인트가 많지 않았으며 자신이 가지고 있던 행성은 결코 정확하지 않았다는 것입니다.

케플러의 다른 문제는 그의 법 중 어느 것도 그에게 아무런 의미가 없다는 것입니다. 그들은 데이터에 적합하지만 그 이유를 알지 못했습니다. 그는 뉴턴의 운동 법칙을 가지고 있지 않았으며, 힘, 운동량, 각 운동량에 대한 이해가 없었으며 중력이 아닙니다. 그가 아는 ​​한, 행성들은 하나님이 그것을 선언했기 때문에 그들의 방식대로 움직였으며, 천사들은 행성을 궤도를 따라 밀어 붙이는 임무를 맡았습니다. 바깥 쪽 행성들은 작은 천사들에 의해 밀려 나서 느리게 움직였습니다.

(Feynman은 우리가 지금 훨씬 더 이해하고 있다고 언급합니다. 우리는 이제 천사들이 바깥을 향해 태양을 향해 밀고 있다는 것을 알고 있습니다.)

제 3 법칙의 적용에 대한 케플러의 설명은 다음과 같다 (Caspar p.286; 강조 광산).

1618 년 3 월 8 일, 시간에 대한 정확한 정보가 필요하면 제 머리에 나타났습니다. 그러나 나는 그것을 계산에 삽입하고 그것을 거짓으로 거부했을 때 불행했다. 마지막으로 5 월 15 일, 다시 시작되었고 새로운 발병으로 내 마음의 어둠을 정복했으며, 그곳에서 타이 코닉 관측에서 17 년간의 일과 처음에 내가 믿었다 고 생각한 현재의 심의 사이에 훌륭한 합의가 이루어졌다 지원 증거에서 추구하는 꿈과 가정. 그러나 두 행성의주기 시간 사이 의 비율이 평균 거리의 비율의 정확히 1.5 배라는 것은 전적으로 확실하고 정확합니다 .

케플러는 실제로 이것을 믿게 한 영감을 묘사하지는 않지만 호기심이 많은 문구는 배경 정보와 결합하여 매우 강력한 단서를 제공합니다.

1. John Napier 는 1614 년 Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto 를 출판 했으며 , 여기에는 당시의 새로운 로그 발명이 포함되어 있습니다. 케플러는 아마도 1617 년 (Caspar p. 308)까지 네이피어의 작업을 알고 있었을 것이다.
2. Joost Bürgi는 Napier와 거의 동시에 대수에 관한 연구를 발표했으며 Kepler는 Bürgi를 비슷하게 알고 있었으며 그의 수학 능력을 대부분의 수학 교수를 능가하는 것으로 칭찬하기까지했습니다.

따라서 Kepler의 진술은 데이터가 로그-로그 그래프에서 1.5의 기울기를 만든다는 것을 말하는 것과 같습니다. 이는이 척도에서 매우 간단한 선형 관계입니다.

참고 문헌 :

1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, New York, 1993).