체인 링의 톱니 수를 아는 것만으로 정확한 직경을 결정할 수 있습니까?

체인 링은 n 이 규칙적인 다각형입니다. 여기서 n 은 톱니 수입니다. 다각형 의 측면 길이 s 는 각 체인 링 톱니의 끝에서 끝까지의 거리입니다.

일반 다각형의 반지름 공식 은 다음과 같습니다.

_{(출처 : mathopenref.com )}

zenbike의 12.75mm 이상을 s로 사용 하면 반경은 107.61, 직경은 215.22mm로 근사치에 매우 가깝습니다.

두 공식을 비교하면 예상대로 길이 항을 제거 할 수 있음을 알 수 있습니다. 이것은 우리에게 다음을 남깁니다.

1 / 죄 ( pi / n ) vs. n / pi

큰 n의 경우 해당 항이 수렴하여 n = 53 일 때 .12mm의 오차가 발생 합니다. n 이 작아 질수록 조금 더 커지며 n = 11의 경우 .64mm가 다릅니다.

모든 실제적인 목적을 위해, 나는 단지 s * n / pi를 사용할 것입니다 . 심지어 가장 작은 톱니조차도 밀리미터 이내에 있습니다.

체인의 피치 (대부분의 자전거에 대한 표준)와 톱니 수만 아는 경우 핀 중심을 통해서만 원 (및 n-gon) 을 완벽하게 설명 할 수 있습니다 . 나는 텍스트로 읽을 수있는 방식으로 수학 공식을 수행하기 위해 최선을 다할 것이지만 네 개의 원 / n- 곤 각각을 완전히 설명 할 것입니다.

허락하다:

n = 치아 수

L = 체인 피치 (링크 길이) (대부분의 자전거의 경우 12.7mm)

밸리, 롤러 상단 및 톱니 측정에 대해서는 아래를 참조하십시오. 치아 탑 제조업체에 따라 다를 수 있습니다 것입니다 반지의 전 생애에 걸쳐 다양합니다. 하단의 다른 방법은 아마도 프레임 클리어런스에 가장 쉬운 방법 일 것입니다.

체인의 피치 (1/2 "또는 12.7mm는 자전거에서 일반적으로 사용되는 40 시리즈 체인 임)를 알고 있으므로 체인 핀은 일반 n-gon (n- 길이가 같은 다각형)을 형성합니다. 이 n-gon의 둘레에 대한 공식은 다소 단순하며 (아래) 대부분의 근사값에 적합합니다. 또한이 길이는 고리 (사슬은 원이 아닌 n-gon을 따라갑니다).

핀 중심으로 만든 n- 공의 둘레

n-gon의 둘레 = L * n = 12.7 * n mm

그러나 핀 중심을 통과하는 원 을 설명하는 것이 완전히 정확하지는 않습니다 . 보다 정확한 공식은 다음과 같습니다.

핀 센터를 통한 원

원주 = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) mm

반경 = L / (2 sin (180 / n)) = 6.35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad'(핀 중심 반경)

직경 = L / sin (180 / n) = 12.7 / sin (180 / n) mm = 'pcD'(핀 중심 직경)

이제 두 개의 관련 원 / n-gon을 설명하기위한 추가 정보가 필요합니다.

계곡 바닥과 롤러 상단의 경우 핀 주변의 체인 롤러의 반경 또는 직경을 알아야합니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain 에 따르면 40 시리즈 체인의 롤러 직경은 0.312 "(7.92mm)입니다. 핀 중심에서 계곡 바닥까지의 거리는 롤러 :

계곡 바닥에 대한 원 / N- 곤

rRad = 롤러 반경 (대부분의 자전거의 경우 3.96mm)

계곡 바닥의 n-gon 둘레 = 2 * n * (pcRad-rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad-3.96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad-rRad = pcRad-3.96 mm

바닥 지름 = 2 * fRad = pcD-2 * rRad = pcD-7.92 mm

체인 롤러 상단의 원형 / N- 곤

롤러 윗면의 n-gon 둘레 = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3.96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3.96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7.92) mm

이제 마지막 원 / n-gon을 설명하려면 핀 중심 위의 톱니 높이가 필요합니다. 나는 이것이 새로운 체인 링에서 긍정적이고 마모 된 체인 링에서는 부정적이라고 기대합니다.

치아 팁의 원형 / N- 곤

t = 핀 중심 위의 톱니 높이 (아래에 음수)

치아 팁의 n-gon 둘레 = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tip 둘레 = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

또는이 계산을 조금 더 쉽게하기 위해 (마모 된 체인 링에서는 약간 정확도가 떨어짐) 개별 치아 간격을 측정 할 수 있습니다. 이상적으로는 체인 피치보다 약간 길지만 체인이 마모되면 변경됩니다.

치아 팁의 원형 / N- 곤-대체

t 간격 = 치아 팁 사이의 평균 거리

치아 팁의 n-gon 둘레 = n * tSpacing

tipRadius = t 간격 / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = t 간격 / sin (180 / n)

tip 둘레 = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

편집하다:

나는 이 질문을 math.se에 게시 하고 흥미로운 답변을 얻었습니다 . 기본적으로 Lantius의 대답을보다 정확한 수학적 모델로 확인하고 자전거 세계에 대한 실제 근사치로 사용합니다.

치아의 수만 있으면됩니다.

그러나 톱니 수와 각 톱니 끝에서 끝까지 필요한 간격을 사용하여 체인 링 브랜드에 맞는 체인을 사용하면 원주를 쉽게 결정할 수 있습니다.

원주로 지름을 결정하는 것은 간단한 수학입니다.

지름을 Pi로 나눕니다 (3.14159에서 5 번째 소수).

C = D / 3.14159

따라서 이의 수가 53이고 간격이 12.75mm이면 둘레는 675.75mm입니다.

675.75 밀리미터를 3.14159로 나눈 지름은 215.1 밀리미터입니다. 2 자리로 변환하고 반올림 한 것은 8.46 인치입니다.

53 치아 시마노 체인 링의 직경을 측정했으며 8.51 인치입니다. 그래서 나는 나의 수학이 나의 측정의 공차만큼 정확해야한다고 믿습니다.