이 문제를 해결하려면 정수에 f 와 g 라는 두 가지 함수를 구현해야 합니다. f f g 는 엄격하게 감소하는 함수 이고 g∘ f 는 엄격하게 증가하는 함수입니다. 즉, 어떤 두개의 정수를 취할 경우 <B A를 한 후, F (g (a))> F (g (b)) 와 g (F (a)) <g (F (b)) . f 와 g 는 각각 하나의 정수를 다른 정수에 매핑해야한다는 점을 제외하고는 개별적으로 제한이 없습니다 .

f 와 g에 대한 간단한 설명 과 필수 속성을 갖는 이유에 대한 인수를 포함하십시오.

^{학점 : 이 도전은 2011 루마니아 수학 석사 경쟁의 문제에서 영감을 얻었습니다 (정수 대신 실제 숫자를 요구합니다). 스포일러를 정말로 원한다면 무엇을 검색해야하는지 알게되었습니다.}

규칙

• 이 문제에서 "함수"라는 단어는 수학적으로 하나의 정수를 다른 정수에 매핑한다는 의미에서 취해야합니다. 두 개의 프로그램 또는 두 개의 함수를 작성 하고 평소와 같이 입력을 수신하고 출력 하는 표준 방법 을 사용할 수 있습니다. 실제 정수 변수 대신 정수의 문자열 표현을 사용할 수 있지만 입력과 출력의 유형은 동일해야하므로 유형을 수동으로 변환하지 않고도 함수를 구성 할 수 있습니다. 개념적으로 f 와 g는 여전히 ℤ의 함수 여야하므로 같은 숫자 또는 이와 유사한 두 개의 다른 문자열 표현을 사용하여 속임수를 쓸 수는 없습니다.

• 기억 기능 이름이있을 수 있습니다 자신의 이름을 자체 또는 사용자가 정의한 다른 기능에 의해 필요하지 않은만큼. 함수 중 하나 또는 둘 모두의 이름을 지정하는 경우, 함수가 동일한 프로그램에 존재한다고 가정하여 구현시 서로 참조 할 수 있습니다 (예 : def f(x): return -g(x)Python).

• 일반적인 정수 오버플로 규칙이 적용됩니다. 솔루션은 기본적으로 모든 정수가 바인딩되지 않은 가상의 (또는 아마도 실제) 버전의 언어에서 임의로 큰 정수를 사용할 수 있어야하지만 구현으로 인해 프로그램이 실제로 실패하는 경우 큰 정수를 지원하지 않으면 솔루션이 무효화되지 않습니다.

• 모든 프로그래밍 언어를 사용할 수 있지만 이러한 허점 은 기본적으로 금지되어 있습니다.

• 이것은 code-golf 이므로 점수는 두 함수 의 바이트 수 와 가장 짧은 유효한 답변 의 합계입니다 .

파이썬, 68 자

f=lambda x:(1-x%2*2)*(2*x*x+(x<0))
g=lambda x:(1-x%2*2)*(2*x*x+(x>0))

f는 음수를 홀수로, 양수를 짝수로, 짝수를 양수로, 홀수를 음수로 매핑하며, 출력 크기는 입력 크기에 따라 엄격하게 증가합니다.

g는 음수를 짝수로, 양수를 홀수로 매핑한다는 점을 제외하고는 동일합니다.

f ∘ g는 음수 → 짝수 → 양수 및 양수 → 홀수 → 음수입니다.
g ∘ f는 음수 → 홀수 → 음수 및 양수 → 짝수 → 양수입니다.

따라서 f와 g는 원하는 속성을 갖습니다.

파이썬 , 40 바이트

f=lambda x:x*(-1)**x
g=lambda x:3*f(x)+1

온라인으로 사용해보십시오! 일부 출력은 (-1)**(-3)예를 들어 부동 소수점을 제공 하기 때문에 정수와 동일한 부동 소수점입니다.

Peter Taylor의 아이디어를 기반으로합니다 . 이 함수는 f홀수를 무시하고 짝수도 변경하지 않습니다. 이 함수 g는 동일한 작업을 수행 한 다음 단조 패리티 전환 맵을 적용합니다 x -> 3*x + 1.

이후 f(f(x)) = x, 우리는 한 g(f(x)) = 3*f(f(x))+1 = 3*x+1증가.

에 대한 f(g(x)) = f(3*f(x)+1)아이디어는 내부 및 외부 f플립 기호 중 정확히 하나가 감소하여 감소한다는 것입니다.

• 심지어를 들어 x, f(x) = x하지만 f(3*x+1) = -3*x-1때문에이 3*x+1이상하다.
• 홀수 x, f(x) = -x및 f(-3*x+1) = -3*x+1때문에 -3*x+1짝수입니다.

우리는 이제 짝수 및 홀수 입력 만 감소하는 방식으로 인터리브를 필요로합니다 -3*x±1. 이는 부호가 어떻게 선택되는지에 관계없이 감소 하기 때문 입니다. 이것이 3*필요한 이유 입니다.

Haskell 포트는 25 바이트입니다.

f x=x*(-1)**x
g x=1+3*f x

온라인으로 사용해보십시오!

CJam (17 바이트)

기능 f ( FCJam은 대문자 만 허용하므로 이름 이 지정됨) :

{W1$2b,#*}:F

기능 g (익명) :

{F2*}

온라인 데모

CJam의 구현 세부 사항에 의존하여 바이트를 절약합니다. 이는 아마도 버그입니다. 기본 변환을 수행 할 때 절대 값을 사용합니다. 2b,따라서 인수의 절대 값에 비트 수를 제공하므로 f는 절대 값에 홀수 비트가있는 숫자를 정확하게 무효화합니다. g는 f를 적용한 다음 두 배가됩니다 (비트 수의 패리티 변경).

따라서 f를 적용한 다음 g를 적용하면 부호가 변경되지 않고 두 배가되어에 매핑 x됩니다 2x. g와 f를 적용하면 부호가 정확히 한 번 바뀌고 두 배가되어에 매핑 x됩니다 -2x.

피쓰, 34 바이트

이것은 내 파이썬 답변을 직접 번역 한 것입니다.

*-1*2%Q2+*2*QQ<Q0
*-1*2%Q2+*2*QQ>Q0