semiprime 을 인수 분해하고 싶습니다 . 이 과제의 목표는 두 개의 작은 정수를 찾을 수 있습니다 하고 그런 이렇게 쉽게의 요인을 공제 할 수 하찮게 페르마의 방법으로 인수 분해 될 수 . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

작업

세미 프라임 과 양의 정수 주어지면 와 를 다음 과 같이 정의합니다 . $N$ $k$ $x$ $y$

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

1 단계 찾기 $k$

가 정사각형 숫자 ( 일명 완벽한 정사각형) 가 되도록 가능한 가장 작은 값을 찾아야합니다 . $k$ $y$

이를 통해 Fermat의 인수 분해 방법을 단일 반복하여 을 인수 분해 할 수 있습니다 . 보다 구체적으로, 이것은 즉시 다음으로 이어집니다. $kN$

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(업데이트 :이 시퀀스는 이제 A316780으로 게시됩니다 )

2 단계 분해 $k$

그런 다음 두 개의 양의 정수 와 를 찾아야합니다 . $u$ $v$

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

여기서 와 는 의 주요 요소입니다 . $c$ $d$ $N$

요약

너의 임무는 을 입력으로 취하고 와 를 임의의 순서와 합리적인 형식으로 인쇄하거나 출력 하는 프로그램이나 함수를 작성하는 것입니다. $N$ $u$ $v$

예

고려하자 $N = 199163$

1 단계

의 가장 작은 가능한 값 은 . $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

2 단계

분해의 정확한 인 때문 : $k$ $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

$[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

규칙

$u$ $v$
$uvN$
입력은 세미 프라임이어야합니다.
이것은 코드 골프이므로 바이트 단위의 최단 답변이 이깁니다.
표준 허점은 금지되어 있습니다.

테스트 사례

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

구현 예

$f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

코드 스 니펫 표시

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

스 니펫 확장

code-golf number-theory primes

— 아르나 울드
소스

입력 N이 실제로 세미 프라임 일 것이라는 보장이 있습니까?

— Greg Martin

@GregMartin 그렇습니다.

— Arnauld

8

수학, 81 79 바이트

2 바이트를 절약 한 Martin Ender에게 감사합니다!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

세미 프라임을 입력으로 취하고 순서가 지정된 양의 정수 쌍을 리턴하는 순수 함수. For정확한 절차 (하여 질문에 기재된 루프를 구현하는 #대신에, 입력 n으로) x매장 있지만,이 정의 j = k*n대신 k자체 z=Sqrt[y]대신 y자체. 또한 루프 p={x+z,x-z}내부 를 계산 For하여 7 바이트와 같이 1 바이트를 절약합니다. 그런 다음 두 가지 바람직한 요소는 (x+z)/GCD[#,x+z]and (x-z)/GCD[#,x-z]이며 간결한 표현식 p/#~GCD~p은 순서 쌍으로 직접 계산됩니다.

호기심 : 우리 z는 정수가 될 때까지 반복하고 싶습니다 . 그러나 우리는 Ceiling이미 코드에서 사용할 것이기 때문에 2 바이트를 저장 !IntegerQ@z하여 정의합니다 c=Ceiling(Mathematica 골퍼가 알고 있듯이 4 바이트 비용) c@z>z. 우리는 z무언가 로 초기화 해야하며, 루프가 시작될 수 있도록 무언가가 정수가 아니 어야합니다 . 다행히도 E간결한 선택입니다.

— 그렉 마틴
소스

4

자바 스크립트 (ES7), 86 81 바이트

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

편집 : @Arnauld 덕분에 4 바이트가 절약되었습니다.

— 닐
소스

4

파이썬 2 127 121 117 111 107 104 101 99 바이트

Neil 덕분에 -1 바이트, ovs 덕분에 -3 바이트

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

온라인으로 사용해보십시오!

호기심 :

p.5루프 조건이 첫 번째 반복에서 참이되도록 로 초기화됩니다 . 참고가 저장소 짧다고 p(AS x+ sqrt(y)는 각각 저장하기보다는) x와 y별도로.

— 수학 중독자
소스

x*x대신에 x**2?

— Neil

@ 닐 물론입니다. 감사합니다

— math junkie

1

공리, 131 115 바이트

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

문제를 해결하는 함수는 위의 r (n)입니다. 풀고 테스트

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
소스

Fermat의 인수 분해 도우미

작업

예

규칙