두 개의 숫자 n과 m이 주어지면 무한 전력 타워를 평가하십시오.

n ^ (n + 1) ^ (n + 2) ^ (n + 3) ^ (n + 4) ^ ... mod m

^는 오른쪽 연관임을 명심하십시오. 따라서 2 ^ 3 ^ 4 = 2 ^ (3 ^ 4)입니다. 이제 어떻게 오른쪽 연관 연산자의 무한 시퀀스에 값을 할당 할 수 있습니까?

무한 전력 타워의 첫 번째 i 항을 포함하는 전력 타워로 f (n, m, i)를 정의하십시오. 그런 다음 모든 i> C, f (n, m, i) = f (n, m, C)에 대해 일정한 C가 있습니다. 따라서 무한 전력 타워가 특정 값으로 수렴한다고 말할 수 있습니다. 우리는 그 가치에 관심이 있습니다.

귀하의 프로그램은 합리적인 최신 PC에서 10 초 이내에 n = 2017, m = 10 ^ 10을 계산할 수 있어야합니다. 즉, 실제 알고리즘을 구현해야하며 무차별 처리하지 않아야합니다.

프로그래밍 언어의 숫자 제한에 대해 n <2 ³⁰ 및 m <2 ⁵⁰ 이라고 가정 할 수 있지만 알고리즘은 이론적으로 모든 크기 n , m에서 작동해야합니다 . 프로그램이 그러나 한다 이 크기 한도 내에서 입력에 대한 정확, 중간 값 오버 플로우가되어 있지 입력이이 범위의 경우 면제.

예 :

2, 10^15
566088170340352

4, 3^20
4

32, 524287
16

Pyth, 23 바이트

M&tG.^HsgBu-G/GH{PGGhHG

m 과 n 을 순서대로 g취하는 함수를 정의합니다 .

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작동 원리

M&tG.^HsgBu-G/GH{PGGhHG
M                         def g(G, H):
 &tG                        0 if G == 1, else …
                 PG         prime factors of G
                {           deduplicate that
          u-G/GH   G        reduce that on lambda G,H:G-G/H, starting at G
                              (this gives the Euler totient φ(G))
        gB          hH      bifurcate: two-element list [that, g(that, H + 1)]
       s                    sum
    .^H               G     H^that mod G

파이썬 2, 109 76 바이트

import sympy
def g(n,m):j=sympy.totient(m);return m-1and pow(n,j+g(n+1,j),m)

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작동하는 이유

우리는 오일러 정리 의 다음 일반화를 사용합니다 .

렘마 N ^{2φ ( m )} ≡ N ^{φ ( m )} (MOD m 모두) N (여부 N 에 서로 소이고 m ).

증명 : 모든 소수의 힘을 위해 P ^{k 개의} 분할 m ,

• 만약 P의 분할 N 다음 때문에 φ ( m ) ≥ φ ( P는 ^K ) = P는 ^{K - 1} ( P - 1) ≥ 2 ^{K - 1} ≥ K , 우리가 N ^{2φ ( m )} ≡ 0 ≡ N ^{φ ( m )} (mod p ^k ).
• 그렇지 않으면 φ ( p ^k )가 φ ( m )을 나누기 때문에 오일러 정리는 n ^{2φ ( m )} ≡ 1 ≡ n ^{φ ( m )} (mod p ^k )를 제공합니다.

따라서 n ^{2φ ( m )} ≡ n ^{φ ( m )} (mod m )입니다.

추론. 만약 K ≥ φ ( m ), 다음 N ^k는 ≡ N ^{φ ( m ) + ( K 개조 φ ( m ))} (MOD m ).

증명 : 만약 K ≥ 2φ ( m ), 표제어가 제공 N ^K = N ^{2φ ( m )} N ^{K - 2φ ( m )} ≡ N ^{φ ( m )} N ^{K - 2φ ( m )} = N ^{K - φ ( m )} ( mod m )이고 지수가 2φ ( m ) 미만이 될 때까지 반복합니다 .

하스켈 , 156 바이트

(?)두 Integer개의을 가져 와서를 Integer사용하여 (10^10)?2017(OP와 반대로 된 순서)를 사용하십시오.

1?n=0
m?n=n&m$m#2+m#2?(n+1)
1#_=1
n#p|m<-until((<2).gcd p)(`div`p)n=m#(p+1)*1`max`div(n*p-n)(p*m)
(_&_)0=1
(x&m)y|(a,b)<-divMod y 2=mod(x^b*(mod(x*x)m&m)a)m

온라인으로 사용해보십시오! (나는 지수 표기법을 사용하기 때문에 이번에는 헤더에서 사례를 테스트했습니다.)

흥미롭게도 가장 느린 테스트 사례는 속도 제한이있는 것이 아니라 (즉시 거의) 다른 테스트 사례의 요소보다 훨씬 큰 소수 524287 ? 32이기 때문 524287입니다.

작동 원리

• (x&m)y은 x^y `mod` m제곱에 의한 지수를 사용하는, 또는 전력 모드입니다.
• n#p보다 작은 소인수가 없다고 n가정 할 때 의 오일러 (Euler) 계급 함수입니다 . np
  • m입니다 n모두와 함께 p요소가 밖으로 나누었다.
  • 이있는 경우 k등의 요소는 totient 자체가 대응 가야 인자 (p-1)*p^(k-1)로서 계산된다 div(n*p-n)(p*m).
  • 1`max`...취급하는 경우 n로 나눌 수 없었다 실제로 p다른 인자하게, max같음을 0.
• 주요 기능 m?n은 y충분히 클 때와의 때에 n^y `mod` m같은 것 입니다 . (이 주요 요소 에 필요하며 공통점이 있으며 모두 최대화됩니다.)n^(t+(y`mod`t)) `mod` mtmt+nm
• 반복 된 강의 기능이 결국 1에 도달하기 때문에 알고리즘이 중지됩니다.

수학, 55 바이트

n_~f~1=0;n_~f~m_:=PowerMod[n,(t=EulerPhi@m)+f[n+1,t],m]

예 :

In[1]:= n_~f~1=0;n_~f~m_:=PowerMod[n,(t=EulerPhi@m)+f[n+1,t],m]

In[2]:= f[2, 10^15]

Out[2]= 566088170340352

In[3]:= f[4, 3^20]

Out[3]= 4

In[4]:= f[32, 524287]

Out[4]= 16

In[5]:= f[2017, 10^10]

Out[5]= 7395978241

Pari / GP , 59 바이트

f(n,m)=if(m==1,0,lift(Mod(n,m)^((t=eulerphi(m))+f(n+1,t))))

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