20면의 주사위가 있다고 가정 해 봅시다. 다이를 굴리기 시작하고 마지막으로 20 개의 값을 모두 굴리기 전에 수십 번 굴려야합니다. 20 개의 값을 모두 볼 확률이 50 %가되기 전에 얼마나 많은 롤이 필요한지 궁금합니다. 그리고 n모든 n면 을 굴리기 전에 몇 개의 양면 주사위를 굴려야 합니까?

일부 조사 후 롤 후 모든 값을 굴릴 가능성 을 계산하기위한 공식이 있음을 알게됩니다 .nr

P(r, n) = n! * S(r, n) / n**r

여기서 두 번째 종류의 스털링 번호 , n 개의 객체 세트 (각 롤)를 비어 있지 않은 서브 세트 (각면)로 분할하는 방법의 수를 S(a, b)나타냅니다 .

또한 우리가 부르는 OEIS 시퀀스 는 50 % 이상인 R(n)가장 작은 r위치에 해당합니다 P(r, n). 문제는 n이 시퀀스의 용어를 가능한 빨리 계산하는 것 입니다.

도전

• 가 주어지면 50 % 이상인 가장 작은 곳을 n찾으십시오 . rP(r, n)0.5
• 코드는 이론적으로 음이 아닌 정수 n를 입력 으로 처리해야 하지만의 범위 내에서만 코드를 테스트합니다 1 <= n <= 1000000.
• 점수를 매기 R(n)려면를 1통해 입력 을 실행 하는 데 필요한 총 시간이 걸립니다 10000.
• 솔루션은 우리의 버전을 실행하여 올 경우 우리는 확인합니다 R(n)확인하기 위해 출력하는 경우 P(your_output, n) >= 0.5와 P(your_output - 1, n) < 0.5, 즉 당신의 출력은 실제로 작은 것을 r주어진에 대한 n.
• S(a, b)솔루션에서 정의를 사용할 수 있습니다 . Wikipedia 에는 여기에 도움이 될만한 몇 가지 정의가 있습니다.
• 계산하는 솔루션 S(a, b)또는 P(r, n)직접 계산하는 솔루션을 포함하여 솔루션에 내장 기능을 사용할 수 있습니다 .
• 최대 1000 개의 값 R(n)과 백만 개의 스털링 숫자 를 하드 코딩 할 수 있지만이 중 어느 것도 하드 한계가 아니며 값을 올리거나 내릴 때 설득력있는 주장을 할 수 있으면 변경할 수 있습니다.
• 당신 과 우리가 찾고 있는 것 r사이에 가능한 모든 것을 점검 할 필요는 없지만, 어디에서가 아니라 가장 작은 것을 찾아야합니다 .nrrrP(r, n) >= 0.5
• 프로그램은 Windows 10에서 자유롭게 실행할 수있는 언어를 사용해야합니다.

솔루션을 테스트 할 컴퓨터의 사양은 다음과 같습니다 i7 4790k, 8 GB RAM. 테스트를 위해 컴퓨터를 제공 한 @DJMcMayhem 에게 감사합니다 . 참조 용으로 비공식 타이밍을 자유롭게 추가 할 수 있지만 DJ가 테스트 할 수있게되면 공식 타이밍이 나중에 제공됩니다.

테스트 사례

n       R(n)
1       1
2       2
3       5
4       7
5       10
6       13
20      67       # our 20-sided die
52      225      # how many cards from a huge uniformly random pile until we get a full deck
100     497
366     2294     # number of people for to get 366 distinct birthdays
1000    7274
2000    15934
5000    44418
10000   95768
100000  1187943
1000000 14182022

질문이나 제안 사항이 있으면 알려주십시오. 행운과 좋은 최적화!

Python + NumPy, 3.95 초

from __future__ import division
import numpy as np

def rolls(n):
    if n == 1:
        return 1
    r = n * (np.log(n) - np.log(np.log(2)))
    x = np.log1p(np.arange(n) / -n)
    cx = x.cumsum()
    y = cx[:-1] + cx[-2::-1] - cx[-1]
    while True:
        r0 = np.round(r)
        z = np.exp(y + r0 * x[1:])
        z[::2] *= -1
        r = r0 - (z.sum() + 0.5) / z.dot(x[1:])
        if abs(r - r0) < 0.75:
            return np.ceil(r).astype(int)

for n in [1, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 52, 100, 366, 1000, 2000, 5000, 10000, 100000, 1000000]:
    print('R({}) = {}'.format(n, rolls(n)))

import timeit
print('Benchmark: {:.2f}s'.format(timeit.timeit(lambda: sum(map(rolls, range(1, 10001))), number=1)))

온라인으로 사용해보십시오!

작동 원리

이것은 P ( r , n )에 대한 폐쇄 형 계열 과 수치 안정성 및 벡터화를 위해 재 배열 된 r에 대한 파생 형을 사용하여 P ( r , n ) = 0.5가 되도록 r에 대한 뉴턴의 방법 검색을 수행합니다. R 각 단계 전에 정수, 단계 이동할 때까지 r에 보다 3/4. 초기 추측이 좋을 때 일반적으로 한두 번의 반복이 필요합니다.

x _i = log (1 − i / n ) = log (( n − i ) / n )
cx _i = log ( n ! / (( n − i − 1)! ⋅ n ^{i + 1} )
y _i = cx _i + cx _{n − i − 2} − cx _{n − 1} = 로그 이항 ( n , i + 1)
z _i = (-1) ^{i + 1} ⋅ binom ( n ,i + 1) ⋅ (( n − i − 1) / n ) ^r
1 + ∑ z _i = n! ⋅ S ( r , n ) / n ^r = P ( r , n )
z _i ⋅ x _{i + 1} = (-1) ^{i + 1} ⋅ binom ( n , i + 1) ⋅ (( n − i − 1) / n ) ^r 로그 (( n − i − 1) / n)
∑ z _i ⋅ x _{i + 1} = d / d r P ( r , n )