유한 필드 의 프리미티브 요소 는 필드의 곱셈 그룹의 생성기입니다. 즉, alpha에서 F(q)가 원시적 인 경우 기본 요소라고 q−1화합의 일 루트 F(q). 이것은 0이 아닌 모든 요소가 (양의) integer F(q)와 같이 쓰여질 수 있음을 의미합니다 .alpha^ii

필드의 모든 요소는 F_{2^k}최대 또는 다의 k-1계수를 사용 하여 최대 다항식으로 쓸 수 있습니다 . 이 작업이 완료하기 위해서는, 여러분의 코드는 출력에 필요 기약 다항식 정도 사용하는 필드를 정의합니다.10k

이 작업은 F_{2^k}선택한 각 기본 요소를 k = 1 .. 32순서대로 출력하는 코드 작성입니다 .

출력은 k기본 요소 의 계수를 원하는 형식으로 나열한 다음 별도의 줄 k+1에 돌이킬 수없는 다항식 의 요소를 나열해야합니다 . k가능하면 각 값에 대한 출력을 분리하십시오 .

코드는 원하는 시간이 소요될 수 있지만 답변을 제출하기 전에 코드를 완료해야합니다.

유한 필드의 기본 요소를 반환하거나 요소가 기본인지 여부를 테스트하는 내장 함수 또는 라이브러리 함수를 사용할 수 없습니다.

예

들면 k = 1유일한 기본 요소이다 1.

k = 2우리 를 위해 F_4. 4 개의 요소는 {0, 1, x, x + 1}2 개의 기본 요소 x와 x + 1입니다. 그래서 코드는 출력 할 수 있습니다

1 1
1 1 1

예를 들어, 제 2 라인이이 경우 x^2+x+1계수를 갖는 돌이킬 수없는 다항식 인 계수로서 1 1 1.

Pari / GP , 114 바이트

다른 질문에 대한 isaacg의 답변 에서 영감을 얻었습니다 .

for(n=1,32,for(i=1,2^n,if(sumdiv(2^n-1,d,Mod(x,f=Mod(Pol(binary(2*2^n-i)),2))^d==1)==1,print([x,lift(f)]);break)))

온라인으로 사용해보십시오!

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내장이 허용되는 경우 :

Pari / GP , 61 바이트 (비경쟁)

for(i=1,32,print([ffprimroot(ffgen(f=ffinit(2,i))),lift(f)]))

온라인으로 사용해보십시오!

Mathematica, 127 바이트

Do[For[i=2*2^n,PolynomialMod[x^Divisors[2^n-1]+1,i~IntegerDigits~2~FromDigits~x,Modulus->2]~Count~0!=1,i--];Print@{2,i},{n,32}]

설명:

$x$$n$$2^n - 1$$x^{2^n - 1} - 1$$x^i - 1$$i$$2^n - 1$ .

산출:

$8589934581$$111111111111111111111111111110101$

$$x^{32}+x^{31}+x^{30}+x^{29}+x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+\\x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+\\x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+\\x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$$

{2,3}

{2,7}

{2,13}

{2,25}

{2,61}

{2,115}

{2,253}

{2,501}

{2,1019}

{2,2041}

{2,4073}

{2,8137}

{2,16381}

{2,32743}

{2,65533}

{2,131053}

{2,262127}

{2,524263}

{2,1048531}

{2,2097145}

{2,4194227}

{2,8388589}

{2,16777213}

{2,33554351}

{2,67108849}

{2,134217697}

{2,268435427}

{2,536870805}

{2,1073741801}

{2,2147483533}

{2,4294967287}

{2,8589934581}