배경

임의의 정수 k >= 0에 f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))대해 합리적인 숫자 임을 알 수 있습니다 .

골

주어진 경우 k >= 0, f(k)하나의 축소 된 분수로 출력 되는 완전한 프로그램이나 함수를 작성하십시오 (분자와 분모는 코 프라임).

테스트 사례

처음 몇 값은

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

규칙

• 표준 허점 은 금지되어 있습니다.
• 입력 및 출력 은 편리한 형식 일 수 있습니다. 두 개의 정수, 분수 또는 합리적인 객체 등의 튜플로 f(k)string으로 출력 할 수 있습니다 . 문자열 numerator/denominator을 출력하는 경우 두 개의 정수만 제공하십시오 (즉, 3/2대신 출력 ) 1 1/2.
• 이것은 가장 짧은 답변 (바이트)이이기는 코드 골프입니다.

M , 11 바이트

×C÷@+
R0;ç/

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x(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))와 함께 OEIS 수식 을 사용합니다 x(0) = 0.

수학, 28 바이트

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

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더 길지만 더 재미있는 접근법 (32 바이트) :

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

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파이썬 2 ,76 72 바이트

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

정체성을 사용하십시오 :

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

우리는 :

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

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Luis Mendo 덕분에 4 바이트를 절약 할 수 있습니다.

APL (Dyalog) , 14 바이트

요구 ⎕FR←1287( 128 비트 F loating 점 R의 작은 입력 epresentation). 소요 k오른쪽 인자로.

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

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⍳ 1부터 1까지의 정수 k(0 = arctan 0이므로 0이 필요하지 않음)

¯3+.○ 원호 탄젠트의 합

3○ 접선

1(… ) 1을 왼쪽 인수로, 위를 오른쪽 인수로하여 다음의 암묵적 기능을 적용하십시오.

 ∧ 최저 공배수 (1과 오른쪽 인수); 분자를 제공합니다

 ÷ 로 나눈

 , 연결 (1과 올바른 주장); 분자와 분모를 제공합니다

하스켈 , 52 바이트

OEIS 시리즈 확장을 사용합니다.

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

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또는 무료 버전 :

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

자바 스크립트 (ES6), 80 바이트

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

[분자, 분모] 쌍을 반환합니다. 설명 : Letf(n-1) = a/b 다음 f(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a). 그런 다음 분수를 가장 낮은 항으로 줄입니다.

온라인 ES6 환경

Pari / GP , 36 바이트

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

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또는 같은 길이 :

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

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05AB1E , 33 26 바이트

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

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설명

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

옥타브 , 30 바이트

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

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카시오 기본, 35 바이트

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^-1 은 Trig 키보드에있는 것으로 입력해야합니다. 또는 ^-1 은 abc> Math 키보드와 별도로 입력 할 수 있습니다. fx-CP400의 매뉴얼에 따르면, 이것은 2 바이트 문자 (764)입니다.

함수, 코드의 경우 34 바이트 k, 인수 로 추가 할 +1 바이트

설명

seq(tan-1(n),n,0,k)tan-1(n)0에서 k까지의 모든 값을 생성합니다 .

sum그것들을 모두 tan합한 다음 탄젠트 기능을 수행합니다.

tExpand 그런 다음 단일 분수로 바꿉니다.

Julia 0.6.0 40 바이트

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

그것은 질문의 간단한 구현입니다. 합리화의 정밀도는 때때로 이상 할 수 있지만 99 %의 시간 동안 잘 작동합니다.