글쎄, 나는 우리가 또 다른 증명 골프 질문을 할 때라고 생각합니다 .
이번에는 잘 알려진 논리적 인 진실을 증명할 것입니다
이를 위해 우리는 Łukasiewicz의 세 번째 Axiom Schema ( 제안 논리에 대해 완성 된 믿을 수 없을만큼 우아한 세 가지 공리 세트)를 사용할 것입니다 .
작동 방식은 다음과 같습니다.
공리
Łukasiewicz 시스템에는 세 가지 공리가 있습니다. 그들은:
공리는 , 및 대해 무엇을 선택하든 관계없이 보편적 인 진실 입니다. 증거의 어느 시점에서나 우리는 이러한 공리 중 하나를 소개 할 수 있습니다. 공리를 도입하면 , 및 의 각 경우를 "복잡한 표현식"으로 . 복합 표현식은 Atoms ( - 문자로 표시)로 작성된 표현식이며 연산자는 ( )가 아니라 ( )를 암시 합니다.
예를 들어 첫 번째 공리 (LS1)를 소개하고 싶다면
또는
첫 번째 경우 는 이고 는 였고 두 번째 경우에는 둘 다 더 많은 표현에 관여했습니다. 는 이고 는 입니다.
사용하기로 선택한 대체물은 현재 증명에 필요한 내용에 따라 다릅니다.
모두 스 포 넨스
이제 우리는 진술을 소개 할 수 있으므로, 새로운 진술을하기 위해 그것들을 서로 관련시켜야합니다. Łukasiewicz의 Axiom Schema (LS)에서이 작업을 수행하는 방법은 Modus Ponens입니다. Modus Ponens를 사용하면 양식에 대한 두 가지 진술을 할 수 있습니다
새로운 진술을 인스턴스화
Axioms와 마찬가지로 와 는 임의의 진술을 할 수 있습니다.
두 진술은 증거의 어느 곳에 나있을 수 있으며, 서로 나란히있을 필요도없고 특별한 명령 일 필요도 없습니다.
태스크
당신의 임무는 모순의 법칙 을 증명 하는 것 입니다. 이것은 진술입니다
이제 이것이 다소 친숙하다는 것을 알 수 있습니다. 그것은 우리의 세 번째 공리의 역의 인스턴스화입니다
그러나 이것은 사소한 일이 아닙니다.
채점
이 문제에 대한 점수 매기는 아주 간단합니다. 공리를 한 점으로 인스턴스화 할 때마다 그리고 모두 포넨의 각 사용은 한 점으로 계산됩니다. 이것은 본질적으로 증명의 줄 수입니다. 목표는 점수를 최소화하는 것입니다 (가능한 한 낮게 만드십시오).
증거 예
이제 이것을 사용하여 작은 증거를 만들 수 있습니다. 우리는 증명할 것이다 .
우리가 원하는 곳을 알고 있기 때문에 역행하는 것이 가장 좋은 경우도 있습니다. 이 경우 로 끝나고 이것이 우리의 공리 중 하나가 아니기 때문에 마지막 단계는 modus ponens 여야한다는 것을 알고 있습니다. 따라서 증거의 끝은 다음과 같습니다
φ
φ → (A → A)
A → A M.P.
어디 표현이다 우리는 아직의 가치를 모른다. 이제 에 중점을 둘 것 입니다. 이것은 modus ponens 또는 LS3에 의해 도입 될 수 있습니다. LS3은 만큼 어려운 것처럼 보이는 를 증명해야 하므로 modus ponens를 사용합니다. 이제 우리의 증거는
φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A) M.P.
A → A M.P.
이제 는 두 번째 공리 LS2와 매우 비슷해 LS2로 채 웁니다.
A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A) M.P.
A → A M.P.
이제 우리의 두 번째 진술 을 LS1에서 명확하게 구성 할 수 있습니다.
A → χ
A → (χ → A) L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A) M.P.
A → A M.P.
이제 우리는 를 찾아서 증명할 수 있습니다 . LS1을 사용하면 쉽게 수행 할 수 있으므로 시도해 보겠습니다.
A → (ω → A) L.S.1
A → ((ω → A) → A) L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A) M.P.
A → A M.P.
이제 모든 단계가 정당화되었으므로 원하는 진술과 증거가 유효하기 때문에 채울 수 있습니다 . 우리는 선택할 수 하지만 난 선택합니다 될 필요가없는 것이 분명하다 있도록 .
A → (B → A) L.S.1
A → ((B → A) → A) L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A) M.P.
A → A M.P.
그리고 그것은 증거입니다.
자원
검증 프로그램
다음 은 증명이 실제로 유효한지 확인하는 데 사용할 수있는 Prolog 프로그램입니다. 각 단계는 자체 라인에 배치해야합니다. ->묵시적 의미 -로 사용되어서는 안되며 원자는 영문자로 표시 할 수 있습니다.
메타 매트
Metamath 는 Łukasiewicz 시스템을 제안 미적분학의 증거로 사용하므로 약간 찌르기를 원할 수도 있습니다. 또한 이러한 문제가 발견 될 수있는 묻는 정리의 증거가 여기를 . 증거를 읽는 방법에 대한 설명이 여기 에 있습니다.
놀라운 증거 기계
@ Antony 는 멋진 그래픽 교정 시스템을 사용하여 여러 시스템에서 교정을 구성 할 수있는 The Incredible Proof machine 이라는 도구를 알게 되었습니다. 아래로 스크롤하면 Łukasiewicz 시스템을 지원합니다. 당신이 더 시각적 인 사람이라면 당신의 증거에 대해 작업 할 수 있습니다. 점수는 사용 된 블록 수에서 1을 뺀 것입니다.
((P → Q) → R) → ((R → P) → (S → P))
