9

문제

값 n이 주어지면 참조 (0, 0)에서 (2n, 0)으로 새겨진 산 풍경을 상상해보십시오. 경사면 사이에는 공백이 없어야하며 산도 x 축 아래로 내려 가지 않습니다. 해결해야 할 문제는 다음과 같습니다 : 주어진 n (가로의 크기를 정의 함)과 피크 수 k (k는 항상 n보다 작거나 같음), k 피크로 몇 개의 산 조합이 가능합니까?

입력

가로의 너비를 나타내는 n과 피크 수인 k를 나타냅니다.

산출

가능한 조합의 수입니다.

예

n = 3이고 k = 2이면 답은 3 가지 조합입니다.

시각적 인 예를 들자면 다음과 같습니다.

   /\     /\      /\/\
/\/  \   /  \/\  /    \

6 (3 * 2) 위치와 2 개의 피크를 사용하여 가능한 3 가지 조합입니다.

편집 :-더 많은 예-

n  k  result
2  1  1
4  1  1
4  3  6
5  2  10

승리 조건

표준 코드 골프규칙이 적용됩니다. 바이트 단위의 최단 제출이 이깁니다.

code-golf combinatorics recursion

— 조합 D
소스

4

" n정확하게 k인스턴스 가 포함 된 일치하는 괄호 쌍 의 표현식 수를 찾는" "와 동일 ()합니까?

— xnor

4

https://oeis.org/A001263 ?

— xnor

@ xnor 예입니다.

— Jonathan Allan

4

Compute Narayana Numbers 와 같은보다 명확한 제목으로 도전 과제를 업데이트 할 수 있습니다 .

— Arnauld

k0 의 입력을 처리 해야하는지 여부를 확인할 수 있습니까? 그렇다면 n0 과 같은 입력 ( k정의에 의한 0도)을 처리해야합니까?

— Jonathan Allan

7

파이썬, 40 바이트

f=lambda n,k:k<2or~-n*n*f(n-1,k-1)/~-k/k

온라인으로 사용해보십시오!

재발을 사용합니다 $a_{n,1} = 1$ , $a_{n,k} = \frac{n(n-1)}{k(k-1)}a_{n-1,k-1}$ .

— 앤더스 카 소르 그
소스

6

젤리 , 7 바이트

cⱮṫ-P÷⁸

온라인으로 사용해보십시오!

n그때 와 같이 입력 을 k받습니다. 공식을 사용합니다

$N(n,k)=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}$

Wikipedia 에서 찾았습니다 .

cⱮṫ-P÷⁸
c        Binomial coefficient of n and...
 Ɱ       each of 1..k
  ṫ-     Keep the last two. ṫ is tail, - is -1.
    P    Product of the two numbers.
     ÷   Divide by
      ⁸  n.

7 바이트

각 라인은 자체적으로 작동합니다.

,’$c@P÷
c@€ṫ-P÷

k그때 와 같이 입력 을 n받습니다.

7 바이트

cⱮ×ƝṪ÷⁸

이것을위한 Jonathan Allan에게 감사합니다.

— 딜난
소스

잠깐만 ... 꼬리는 자동으로 2 개의 숫자로 정의됩니까? (젤리를 전혀 몰라, 바보 같은 질문)

— Quintec

@Quintec 두 가지 테일 기능이 있습니다. Ṫ단일 인수의 마지막 요소를 취하는 하나 ( )와 ṫ두 개의 인수를 취하는 하나 ( )를 사용 합니다. 주먹 인수는 목록이고, 두 번째는 (내 경우에는 숫자입니다 -1a로 표현되는 -코드)에 저장하는 방법을 많은 요소를 알려줍니다. 갖는 -1주고 두 요소 것은 정의하는 golfiest 방법이었다ṫ

— dylnan

감사합니다! 나는 젤리가 골프를 위해 어떻게 만들어 졌는지 보라 ... hehe

— Quintec

1

7 f (n, k)의 또 다른 변형 :cⱮ×ƝṪ÷⁸

— Jonathan Allan

4

자바 스크립트 (ES6), 33 30 바이트

@Shaggy 덕분에 3 바이트 절약

로 입력을 (n)(k)받습니다.

n=>g=k=>--k?n*--n/-~k/k*g(k):1

온라인으로 사용해보십시오!

Anders Kaseorg가 사용하는 재귀 적 정의를 구현합니다 .

자바 스크립트 (ES7), 59 58 49 45 바이트

로 입력을 (n)(k)받습니다.

n=>k=>k/n/(n-k+1)*(g=_=>k?n--/k--*g():1)()**2

온라인으로 사용해보십시오!

계산 :

a_{n, k} = \frac{1}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) (\binom{n}{k - 1}) = \frac{1}{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{k - 1}) = \frac{1}{n} {(\binom{n}{k})}^{2} \times \frac{k}{n - k + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

A001263 (첫 번째 공식) 에서 파생됩니다 .

— 아르나 울드
소스

카레와 함께 -3 바이트 .

— 얽히고 설킨

@Shaggy Doh ... 감사합니다. 7 번 개정판은 마지막으로 1 번 개정판과 같아야합니다. : p

— Arnauld

3

Wolfram Language (Mathematica) , 27 바이트

모두 같은 길이의 세 가지 버전 :

(b=Binomial)@##b[#,#2-1]/#&

Binomial@##^2#2/(#-#2+1)/#&

1/(Beta[#2,d=#-#2+1]^2d##)&

온라인으로 사용해보십시오! 첫 번째 버전이지만 다른 버전을 복사하여 붙여 넣을 수 있습니다.

이 모든 것들은 에서 변형 된 형태입니다. 나는 일종의 이항 역수 인 베타 기능으로 어딘가에 있기를 바랐지만, 너무 많은 분할이 발생했습니다.

\frac{n! (n - 1)!}{k! (k - 1)! (n - k)! (n - k - 1)!}

$\frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!(n-k-1)!}$

— 미샤 라브 로프
소스

2

J , 17 11 바이트

]%~!*<:@[!]

온라인으로 사용해보십시오!

소요 n오른쪽 인수로 k왼쪽 하나. dylnan의 Jelly 답변 및 Quintec의 APL 솔루션과 동일한 공식을 사용합니다.

설명:

            ] - n  
           !  - choose
       <:@[   - k-1
      *       - multiplied by
     !        - n choose k
   %~         - divided by
  ]           - n

— 갈렌 이바노프
소스

2

APL (Dyalog), 19 18 16 12 바이트

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣

-4 바이트에 대한 @Galen Ivanov 덕분에

OEIS 시퀀스에서 ID를 사용합니다. 왼쪽에 k를, 오른쪽에 n을 갖습니다.

TIO

— 퀸텍
소스

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣을위한 12 바이트 , 인수는 반전

— 갈렌 이바노프에게

@GalenIvanov 고마워, 내 암묵적인 APL은 매우 약하다

— Quintec

내 APL이 좋지 않아서 J 솔루션 후에 시도해 볼 기회를 얻었습니다.)

— Galen Ivanov

1

루비 , 50 바이트

->l,n{eval [[*n..l]*2*?*,l,n,[*1..l-=n]*2,l+1]*?/}

온라인으로 사용해보십시오!

— GB
소스

1

공통 리스프 , 76 바이트

(defun x(n k)(cond((= k 1)1)(t(*(/(* n(1- n))(* k(1- k)))(x(1- n)(1- k))))))

온라인으로 사용해보십시오!

— JRowan
소스

\ 다음과 x 뒤에 공백을 제거하여 2 바이트를 절약 할 수 있습니다.

— Galen Ivanov

1

방금 업데이트 된 감사

— JRowan

(*(1- x)x)대신 추천(* x(1- x))

— 천장 고양이

1

펄 6 , 33 바이트

{[*] ($^n-$^k X/(2..$k X-^2))X+1}

온라인으로 사용해보십시오!

공식을 사용합니다

a_{n, k} = (\binom{n - 1}{k - 1}) \times \frac{1}{k} (\binom{n}{k - 1}) = \prod_{i = 1}^{k - 1} (\frac{n - k}{i} + 1) \times \prod_{i = 2}^{k} (\frac{n - k}{i} + 1)

$a_{n,k}=\binom{n-1}{k-1}\times\frac{1}{k}\binom{n}{k-1}=\prod_{i=1}^{k-1}(\frac{n-k}{i}+1)\times\prod_{i=2}^{k}(\frac{n-k}{i}+1)$

설명

{[*]                            }  # Product of
     ($^n-$^k X/                   # n-k divided by
                (2..$k X-^2))      # numbers in ranges [1,k-1], [2,k]
                             X+1   # plus one.

대체 버전, 39 바이트

{combinations(|@_)²/(1+[-] @_)/[/] @_}

온라인으로 사용해보십시오!

Arnauld의 답변의 공식을 사용합니다.

a_{n, k} = \frac{1}{n} {(\binom{n}{k})}^{2} \times \frac{k}{n - k + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

— 엔웰 호프
소스

0

젤리 , 8 바이트

,’$c’}P:

n왼쪽과 k오른쪽을 받아들이 는 쌍방향 링크 는 개수를 산출합니다.

온라인으로 사용해보십시오!

— 조나단 앨런
소스

0

Stax , 9 바이트

ÇäO╪∙╜5‼O

실행 및 디버깅

나는 stax에서 dylnan의 공식을 사용하고 있습니다.

압축을 풀고 ungolfed하고 주석을 달면 프로그램은 다음과 같습니다.

        program begins with `n` and `k` on input stack
{       begin block for mapping
  [     duplicate 2nd element from top of stack (duplicates n)
  |C    combinatorial choose operation
m       map block over array, input k is implicitly converted to [1..k]
O       push integer one *underneath* mapped array
E       explode array onto stack
*       multiply top two elements - if array had only element, then the pushed one is used
,/      pop `n` from input stack and divide

이것을 실행

— 재귀
소스

0

APL (NARS), 17 자, 34 바이트

{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}

테스트:

  f←{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}
  (2 f 1)(4 f 1)(4 f 3)(5 f 2)    
1 1 6 10

— RosLuP
소스

다른 조합 가능

파이썬, 40 바이트

젤리 , 7 바이트

자바 스크립트 (ES6), 33 30 바이트

자바 스크립트 (ES7), 59 58 49 45 바이트

Wolfram Language (Mathematica) , 27 바이트

J , 17 11 바이트

설명:

APL (Dyalog), 19 18 16 12 바이트

루비 , 50 바이트

공통 리스프 , 76 바이트

펄 6 , 33 바이트

설명

대체 버전, 39 바이트

젤리 , 8 바이트

Stax , 9 바이트

APL (NARS), 17 자, 34 바이트