디리클레의 컨볼 루션 의 특별한 종류 회선 번호를 이론에 매우 유용한 도구로 나타납니다. 산술 함수 집합에서 작동 합니다.

도전

주어진 두 개의 산술 함수 (즉, 함수 )는 Dirichlet convolution 계산합니다 아래에 정의 된대로. $f,g$ $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$

세부

우리는 규칙을 사용합니다 . $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$
두 개의 산술 함수 의 Dirichlet convolution 는 다시 산술 함수이며(두 합계는 동일합니다. 표현 은 나누는 것을 의미 하므로, 합계는 의 자연 제수 를 초과합니다 . 마찬가지로 우리는 대체 할 수 있습니다 $f*g$ $f,g$ $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ $d|n$ $d \in \mathbb N$ $n$ $n$ $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ 두 번째 등가 공식을 얻습니다. 이 표기법에 익숙하지 않은 경우 아래에 단계별 예제가 있습니다. 자세히 설명하기 (이 문제와 직접 관련이 없음) : Dirichlet 시리즈 의 제품을 계산하여 정의한 내용 : $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
입력은 두 개의 블랙 박스 기능으로 제공 됩니다. 또는 무한 목록, 생성기, 스트림 또는 무제한의 값을 생성 할 수있는 유사한 항목을 사용할 수도 있습니다.
두 가지 출력 방법이 있습니다. 함수 가 리턴되거나 추가 입력 가져 와서 직접 리턴 할 수 있습니다. $f*g$ $n \in \mathbb N$ $(f*g)(n)$
간단하게하기 위해 의 모든 요소 를 예를 들어 양의 32 비트 int로 표현할 수 있다고 가정 할 수 있습니다. $\mathbb N$
간단히하기 위해 모든 항목 을 단일 실수 부동 소수점 숫자로 나타낼 수 있다고 가정 할 수도 있습니다. $\mathbb R$

예

먼저 몇 가지 함수를 정의하겠습니다. 각 정의 아래의 숫자 목록은 해당 함수의 처음 몇 값을 나타냅니다.

곱하기 ID ( A000007 ) $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
상수 단위 함수 ( A000012 ) $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
항등 함수 ( A000027 ) $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
Möbius 함수 ( A008683 ) $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
오일러 잠복 자 함수 ( A000010 ) $φ (n) = n \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
Liouville 함수 ( A008836 ) 여기서 는 다중 도로 계산 된 의 소인수입니다. $λ (n) = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ $k$ $n$ 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
제수 합 함수 ( A000203 ) $σ (n) = \sum_{d | n} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
제수 계산 함수 ( A000005 ) $τ (n) = \sum_{d | n} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
제곱의 특징 함수 ( A010052 ) $s q (n) = {\begin{cases} 1 & if n is a square number \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

다음 예제가 있습니다.

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ 및 $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ 및 $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ 및 $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ 및 $\varphi = id * \mu$

대한 최후의 결과이다 뫼비우스 반전 : 임의 들어 식 동등 . $f,g$ $g = f * 1$ $f = g * \mu$

단계별 예

이것은 정의에 사용 된 표기법에 익숙하지 않은 사람들을 위해 단계별로 계산되는 예입니다. 및 함수를 고려하십시오 . 이제 에서 컨볼 루션 를 평가할 것 입니다. 그들의 첫 몇 용어는 아래 표에 나열되어 있습니다. $f = \mu$ $g = \sigma$ $\mu * \sigma$ $n=12$

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

이 합은 를 나누는 모든 자연수 대해 반복 되므로 는 모든 자연 제수를 가정합니다 . 이들은 입니다. 각각의 요약에서, 우리 는 에서 를 평가 하고 그것을 에서 평가로 곱합니다 . 이제 결론을 내릴 수 있습니다 $d \in \mathbb N$ $n=12$ $d$ $n=12 = 2^2\cdot 3$ $d =1,2,3,4,6,12$ $g= \sigma$ $d$ $f = \mu$ $\frac{n}{d}$

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = 12 \\ = i d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— 플레어
소스

4

린 , 108 100 95 78 75 바이트

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

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모든 기능을 갖춘 더 많은 테스트 케이스.

— 새는 수녀
소스

람다는 실제로 4 바이트보다 비쌉 fun 니까?

— 마리오 카네이로

람다는 3 바이트입니다

— Leaky Nun

나는 UTF8 두 (그리스어 꽤 낮은 유니 코드입니다) 생각

— 마리오 Carneiro

네가 옳아. 나도 수입 골프

— Leaky Nun

나는 또한 cond5 바이트를 저장 하는 데 사용

— Leaky Nun

4

하스켈 , 46 바이트

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

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-6 바이트의 flawr와 큰 도전에 감사합니다! 그리고 -6를위한 H.PWiz에게 감사합니다!

— 메고
소스

간단한은 여기에 짧은

— H.PWiz

@ H.PWiz 그것은 꽤 영리합니다-나는 그런 식으로 생각하지 않았습니다!

— Mego

3

파이썬 3 , 59 바이트

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

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— 새는 수녀
소스

되어 //정말 대신 필요 /?

— Mr. Xcoder

/수레를 올바르게 생산합니까?

— Leaky Nun

정의 d에 n의한 제수 이므로 소수 부분 n/d은 0이므로 부동 소수점 산술에 문제가 없어야합니다. 소수 부분이 0 인 부동 소수점은 파이썬 목적을 위해 정수에 가깝고 함수의 출력은 실수이므로 n/d대신 수행하는 것이 좋습니다 n//d.

— Mego

3

Wolfram Language (Mathematica) , 17 바이트

물론 Mathematica는 내장되어 있습니다. 또한 많은 예제 함수를 알고 있습니다. 몇 가지 실무 예제를 포함 시켰습니다.

DirichletConvolve

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— 켈리 로우더
소스

2

추가 ++ , 51 바이트

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

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두 개의 미리 정의 된 함수를 인수, 더하기 취합니다. $n$ $(f * g)(n)$

작동 원리

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— 케어 드 코 헤어 링
소스

2

R , 58 바이트

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

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소요 n, f그리고 g. 운 좋게도 numbers패키지에는 이미 구현 된 기능이 꽤 있습니다.

로 벡터를 래핑하여 벡터화 된 버전을 사용할 수있는 Vectorize경우 다음 45 바이트 버전이 가능합니다.

R , 45 바이트

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

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— 주세페
소스

1

젤리 , 9 바이트

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

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$f$ $g$ $n$

— 아웃 골퍼 에릭
소스

1

스위프트 4 , 74 70 54 바이트

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

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— 미스터 Xcoder
소스

1

자바 스크립트 (ES6), 47 바이트

로 입력을 (f)(g)(n)받습니다.

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

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예

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— 아르나 울드
소스

1

APL (Dyalog Classic) , 20 바이트

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

와 ⎕IO←1

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해결하기 쉽고 테스트하기 어려운-일반적으로 내 유형의 도전이 아닙니다. 그러나 나는 이것을 매우 즐겼습니다!

{ }그 피연산자 이항 연산자 정의 ⍺⍺과 ⍵⍵컨벌루션되는 두 가지 기능이있다; ⍵숫자 인수입니다

∪⍵∨⍳⍵⍵오름차순 의 제수 , 즉 모든 자연수 를 가진 ∪LCM의 고유 ( ) ( )∨⍵⍳

⍵⍵¨ 각각에 올바른 피연산자를 적용하십시오

⍺⍺¨∘⌽ 왼쪽 피연산자를 각각 반대로 적용

+.× 내부 곱-해당 요소와 합계 곱하기

ngn / apl도 유니 코드 식별자로 인해 더 좋아 보이지만 1 인덱싱으로 인해 2 바이트가 더 필요합니다.

— ngn
소스

ngn / apl에서 27 바이트가 더 필요합니다.

— Outgolfer Erik

1

C (gcc) , 108 바이트

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

Leaky Nun의 Python answer 에서 뻔뻔스럽게 도난당한 간단한 구현 .

언 골프 드 :

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

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— joH1
소스

1

F #, 72 바이트

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

두 기능 f과 g자연수를 취합니다 n. d자연적으로 나누지 않는 값을 필터링합니다 n. 그런 다음와를 평가 f(n/d) 하고 g(d)함께 배수하여 결과를 합산합니다.

— Ciaran_McCarthy
소스

0

Pari / GP , 32 바이트

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

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내장 dirmul함수가 있지만 유한 시퀀스 만 지원합니다 .

— 알레프 알파
소스

디리클레 컨볼 루션

도전

세부

예

단계별 예

린 , 108 100 95 78 75 바이트

하스켈 , 46 바이트

파이썬 3 , 59 바이트

Wolfram Language (Mathematica) , 17 바이트

추가 ++ , 51 바이트

작동 원리

R , 58 바이트

R , 45 바이트

젤리 , 9 바이트

스위프트 4 , 74 70 54 바이트

자바 스크립트 (ES6), 47 바이트

예

APL (Dyalog Classic) , 20 바이트

C (gcc) , 108 바이트

F #, 72 바이트

Pari / GP , 32 바이트