시퀀스 A054261입니다.

$n$ 프라임 수납 번호 첫 번째 포함 된 최소 개수 $n$ 문자열로서 소수를. 예를 들어 숫자 $235$ 는 하위 문자열로 처음 3 개의 소수를 포함하는 가장 낮은 숫자이며 이는 3 번째 소수를 포함합니다.

처음 네 개의 소수 격리 번호가 $2$ , $23$ , $235$ 및 $2357$ 이라는 것을 알아내는 것은 사소한 일이지만 더 흥미로워집니다. 다음 소수는 11이므로 다음 소수는 $235711$ 이 아니지만 속성이있는 가장 작은 숫자로 정의되므로 $112357$ 입니다.

그러나 진정한 도전은 11을 넘어 설 때 발생합니다. 다음 주요 격리 번호는 $113257$ 입니다. 이 숫자에서는 부분 문자열 11과 13겹칩니다. 숫자 3도 숫자 와 겹칩니다 13.

다음 숫자가 숫자의 모든 기준을 충족해야하고 하나 이상의 하위 문자열이 필요하므로이 순서가 증가하고 있음을 쉽게 증명할 수 있습니다. 그러나 n=10및 의 결과에 표시된 것처럼 순서가 엄격하게 증가하지는 않습니다 n=11.

도전

당신의 목표는 가능한 많은 소수를 포함하는 것입니다. 프로그램은 2부터 시작하여 순서대로 출력해야합니다.

규칙

1. 당신은하는 수 하드 코드 소수에.
2. 소수를 포함하는 소수 ( 2유일한 예외) 또는 도전을 사소하게 만드는 마법의 숫자 를 하드 코딩 할 수 없습니다 . 잘 부탁드립니다.
3. 원하는 언어를 사용할 수 있습니다. 환경에서 코드를 실행할 수 있도록 명령 목록을 포함하십시오.
4. CPU와 GPU를 모두 자유롭게 사용할 수 있으며 멀티 스레딩을 사용할 수 있습니다.

채점

공식 점수는 내 랩탑 (dell XPS 9560)에서 나옵니다. 귀하의 목표는 5 분 이내에 최대한 많은 소수를 포함하는 것입니다.

명세서

• 2.8GHz Intel Core i7-7700HQ (3.8GHz 부스트) 4 코어, 8 스레드.
• 16GB 2400MHz DDR4 RAM
• NVIDIA GTX 1050
• 리눅스 민트 18.3 64 비트

지금까지 발견 된 숫자와 마지막 소수가 숫자에 추가되었습니다.

 1 =>                                                       2 (  2)
 2 =>                                                      23 (  3)
 3 =>                                                     235 (  5)
 4 =>                                                    2357 (  7)
 5 =>                                                  112357 ( 11)
 6 =>                                                  113257 ( 13)
 7 =>                                                 1131725 ( 17)
 8 =>                                               113171925 ( 19)
 9 =>                                              1131719235 ( 23)
10 =>                                            113171923295 ( 29)
11 =>                                            113171923295 ( 31)
12 =>                                           1131719237295 ( 37)
13 =>                                          11317237294195 ( 41)
14 =>                                        1131723294194375 ( 43)
15 =>                                      113172329419437475 ( 47)
16 =>                                     1131723294194347537 ( 53)
17 =>                                   113172329419434753759 ( 59)
18 =>                                  2311329417434753759619 ( 61)
19 =>                                231132941743475375961967 ( 67)
20 =>                               2311294134347175375961967 ( 71)
21 =>                              23112941343471735375961967 ( 73)
22 =>                             231129413434717353759619679 ( 79)
23 =>                           23112941343471735359619678379 ( 83)
24 =>                         2311294134347173535961967837989 ( 89)
25 =>                        23112941343471735359619678378979 ( 97)
26 =>                      2310112941343471735359619678378979 (101)
27 =>                    231010329411343471735359619678378979 (103)
28 =>                 101031071132329417343475359619678378979 (107)
29 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (109)
30 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (113)
31 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (127)
32 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (131)
33 =>         10103107109113127137232941734347535961967838979 (137)
34 =>      10103107109113127137139232941734347535961967838979 (139)
35 =>   10103107109113127137139149232941734347535961967838979 (149)
36 => 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979 (151)

이 목록을 확장 한 Ardnauld, Ourous 및 japh에게 감사드립니다.

참고로 n = 10하고 n = 11있기 때문에, 같은 수이다 $113171923295$ 모든 숫자가 포함 된 가장 낮은 번호 $[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]$ ,뿐만 아니라 포함 된 $31$ .

참고로, 위의 목록을 생성하기 위해 작성한 원래 Python 스크립트는 약 6 분 안에 처음 12 개의 용어를 계산한다는 사실을 사용할 수 있습니다.

추가 규칙

첫 번째 결과가 나온 후, 최상위 결과가 같은 점수를 가질 가능성이 높다는 것을 깨달았습니다. 동점 인 경우, 결과를 생성 할 수있는 시간이 가장 짧은 승자가됩니다. 두 개 이상의 답변이 결과가 똑같이 빠르면 단순히 공동의 승리가 될 것입니다.

최종 메모

5 분의 런타임은 공정한 득점을 보장하기위한 것입니다. 우리가 OEIS 시퀀스를 더 추진할 수 있는지에 관심이 있습니다 (현재 17 개의 숫자가 포함되어 있습니다). Ourous '코드를 사용하여까지 모든 숫자를 생성 n = 26했지만 코드를 더 오랫동안 실행하도록 계획하고 있습니다.

스코어 보드

1. 파이썬 3 + 구글 OR 도구 : 169
2. 스칼라 : 137 (비공식)
3. 콩코드 TSP 솔버 : 84 (비공식)
4. C ++ (GCC) + x86 어셈블리 : 62
5. 청소 : 25
6. 자바 스크립트 (Node.js) : 24

Python 3 + Google OR 도구 , 295 초 만에 169 점 (공식 점수)

작동 원리

다른 소수에 포함 된 중복 소수를 버린 후 각 소수에서 각 접미사까지의 가장자리와 거리가 0 인 접두사, 각 접두사에서 각 소수까지의 가장자리와 추가 자릿수에 의해 정의 된 거리를 갖는 방향 그래프를 그립니다. . 빈 접두사에서 시작하여 각 소수를 통과하지만 반드시 각 접두사 또는 접미사를 통과하지 않고 빈 접미사로 끝나는 그래프를 통해 사 전적으로 가장 짧은 경로를 찾습니다.

예를 들어, 최적 경로 ε → 11 → 1 → 13 → 3 → 31 → 1 → 17 → ε → 19 → ε → 23 → ε → 29 → ε → 5 → ε은 n = 11에 해당합니다. 출력 문자열 113171923295로.

여행하는 판매원 문제 의 직접적인 감소 와 비교하여, 이러한 여분의 접미사 / 접두사 노드를 통해 간접적으로 프라임을 연결함으로써 서로 직접적으로 연결함으로써, 고려할 에지 수를 크게 줄였습니다. 그러나 추가 노드는 정확히 한 번 통과 할 필요가 없으므로 더 이상 TSP의 인스턴스가 아닙니다.

Google은 경로의 전체 길이를 최소화 한 다음 추가 된 각 숫자 그룹을 순서대로 최소화하기 위해 Google OR 도구의 증분 CP-SAT 구속 조건 솔버를 사용합니다. 로컬 제약 조건 만 사용하여 모델을 초기화합니다. 각 소수는 하나의 접미사를 선행하고 하나의 접두사를 성공하지만 각 접미사 / 접두사는 동일한 수의 소수를 선행하고 성공합니다. 결과 모델에는 연결이 끊긴주기가 포함될 수 있습니다. 그렇다면 추가 연결 제한 조건을 동적으로 추가하고 솔버를 다시 실행하십시오.

암호

import multiprocessing
from ortools.sat.python import cp_model


def superstring(strings):
    def gen_prefixes(s):
        for i in range(len(s)):
            a = s[:i]
            if a in affixes:
                yield a

    def gen_suffixes(s):
        for i in range(1, len(s) + 1):
            a = s[i:]
            if a in affixes:
                yield a

    def solve():
        def find_string(s):
            found_strings.add(s)
            for i in range(1, len(s) + 1):
                a = s[i:]
                if (
                    a in affixes
                    and a not in found_affixes
                    and solver.Value(suffix[s, a])
                ):
                    found_affixes.add(a)
                    q.append(a)
                    break

        def cut(skip):
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
            )
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
            )

        def search():
            while q:
                a = q.pop()
                for s in prefixed[a]:
                    if (
                        s in unused_strings
                        and s not in found_strings
                        and solver.Value(prefix[a, s])
                    ):
                        find_string(s)
            return not (unused_strings - found_strings)

        while True:
            if solver.Solve(model) != cp_model.OPTIMAL:
                raise RuntimeError("Solve failed")

            found_strings = set()
            found_affixes = set()
            if part is None:
                found_affixes.add("")
                q = [""]
            else:
                part_ix = solver.Value(part)
                p, next_affix, next_string = parts[part_ix]
                q = []
                find_string(next_string)
            if search():
                break

            if part is not None:
                if part_ix not in partb:
                    partb[part_ix] = model.NewBoolVar("partb%s_%s" % (step, part_ix))
                    model.Add(part == part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix])
                    model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix].Not())
                cut([partb[part_ix].Not()])
                if last_string is None:
                    found_affixes.add(next_affix)
                else:
                    find_string(last_string)
                q.append(next_affix)
                if search():
                    continue

            cut([])

    solver = cp_model.CpSolver()
    solver.parameters.num_search_workers = 4
    affixes = {s[:i] for s in strings for i in range(len(s))} & {
        s[i:] for s in strings for i in range(1, len(s) + 1)
    }
    prefixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_prefixes(s):
            prefixed.setdefault(a, []).append(s)
    suffixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_suffixes(s):
            suffixed.setdefault(a, []).append(s)
    unused_strings = set(strings)
    last_string = None
    part = None

    model = cp_model.CpModel()
    prefix = {
        (a, s): model.NewBoolVar("prefix_%s_%s" % (a, s))
        for a in affixes
        for s in prefixed[a]
    }
    suffix = {
        (s, a): model.NewBoolVar("suffix_%s_%s" % (s, a))
        for a in affixes
        for s in suffixed[a]
    }
    for s in strings:
        model.Add(sum(prefix[a, s] for a in gen_prefixes(s)) == 1)
        model.Add(sum(suffix[s, a] for a in gen_suffixes(s)) == 1)
    for a in affixes:
        model.Add(
            sum(suffix[s, a] for s in suffixed[a])
            == sum(prefix[a, s] for s in prefixed[a])
        )

    length = sum(prefix[a, s] * (len(s) - len(a)) for a in affixes for s in prefixed[a])
    model.Minimize(length)
    solve()
    model.Add(length == solver.Value(length))

    out = ""
    for step in range(len(strings)):
        in_parts = set()
        parts = []
        for a in [""] if last_string is None else gen_suffixes(last_string):
            for s in prefixed[a]:
                if s in unused_strings and s not in in_parts:
                    in_parts.add(s)
                    parts.append((s[len(a) :], a, s))
        parts.sort()
        part = model.NewIntVar(0, len(parts) - 1, "part%s" % step)
        partb = {}
        for part_ix, (p, a, s) in enumerate(parts):
            if last_string is not None:
                model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(suffix[last_string, a].Not())
            model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(prefix[a, s].Not())
        model.Minimize(part)
        solve()
        part_ix = solver.Value(part)
        model.Add(part == part_ix)
        p, a, last_string = parts[part_ix]
        unused_strings.remove(last_string)
        out += p
    return out


def gen_primes():
    yield 2
    n = 3
    d = {}
    for p in gen_primes():
        p2 = p * p
        d[p2] = 2 * p
        while n <= p2:
            if n in d:
                q = d.pop(n)
                m = n + q
                while m in d:
                    m += q
                d[m] = q
            else:
                yield n
            n += 2


def gen_inputs():
    num_primes = 0
    strings = []

    for new_prime in gen_primes():
        num_primes += 1
        new_string = str(new_prime)
        strings = [s for s in strings if s not in new_string] + [new_string]
        yield strings


with multiprocessing.Pool() as pool:
    for i, out in enumerate(pool.imap(superstring, gen_inputs())):
        print(i + 1, out, flush=True)

결과

다음은 8 코어 / 16 스레드 시스템에서 1½ 일 안에 계산 된 첫 1000 개의 소수 입니다.

C ++ (GCC) + x86 어셈블리, 259 초 만에 _{32 36} 62 (공식)

지금까지 결과가 계산되었습니다. 에 컴퓨터의 메모리가 부족 65합니다.

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
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43 101031071091131271371391491515716316723294173434753596181917978389
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65 10103071071091271311371491515716313916721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989

이것들은 모두 Concorde 기반 솔버 의 출력에 동의 하므로 정확할 가능성이 높습니다.

변경 로그:

• 필요한 컨텍스트 길이에 대한 계산이 잘못되었습니다. 이전 버전은 1이 너무 커서 버그가있었습니다. 점수 : 32 34

• 동일한 문맥 그룹 최적화가 추가되었습니다. 점수 : 34 36

• 문맥없는 문자열을 올바르게 사용하고 다른 최적화 기능을 사용하도록 알고리즘을 점검했습니다. 점수 : 36 62

• 적절한 쓰기를 추가했습니다.

• 소수 변형을 추가했습니다.

작동 원리

경고 : 이것은 뇌 덤프입니다. 코드를 원하면 끝까지 스크롤하십시오.

약어 :

• PCN : 소수 격리 문제, 즉이 문제
• SCS : 가장 짧은 공통 슈퍼 스트링
• TSP : 여행 판매원 문제

이 프로그램은 기본적으로 TSP에 교과서 동적 프로그래밍 알고리즘을 사용합니다.

1. 또한 우리가 실제로 해결하고있는 PCN / SCS에서 TSP 로의 감소.
2. 또한 각 항목의 모든 숫자 대신 항목 컨텍스트를 사용합니다.
3. 또한 다른 소수의 끝과 겹칠 수없는 소수를 기반으로 문제를 세분화합니다.
4. 시작 / 끝 숫자가 동일한 소수에 대한 병합 계산.
5. 사전 계산 된 룩업 테이블 및 사용자 지정 해시 테이블
6. 또한 저수준 프리 페치 및 비트 패킹이 있습니다.

그것은 많은 잠재적 인 버그입니다. anselm의 항목을 가지고 놀고 잘못된 결과를 동축하지 못한 후에는 적어도 내 전반적인 접근 방식이 올바른지 증명해야합니다.

Concorde 기반 솔루션은 훨씬 빠르지 만 동일한 감소를 기반으로 하므로이 설명은 두 가지 모두에 적용됩니다. 또한,이 솔루션은 프라임 함유 프라임 시퀀스 인 OEIS A054260 ; TSP 프레임 워크에서 효율적으로 해결하는 방법을 모르겠습니다. 따라서 여전히 다소 관련이 있습니다.

TSP 감소

실제로 TSP로 줄이는 것이 올바른지 증명하는 것으로 시작합시다. 우리는 일련의 문자열을 가지고 있습니다.

A = 13, 31, 37, 113, 137, 211

이 아이템들을 포함하는 가장 작은 슈퍼 스트링을 찾고 싶습니다.

길이를 아는 것으로 충분

PCN의 경우, 가장 짧은 문자열이 여러 개있는 경우 사 전적으로 가장 작은 문자열을 반환해야합니다. 그러나 우리는 다른 (더 쉬운) 문제를 살펴볼 것입니다.

• SCS : 초기 접두사와 항목 집합이 주어지면 모든 항목을 하위 문자열로 포함하고 해당 접두사로 시작하는 가장 짧은 문자열을 찾으십시오.
• SCS 길이 : SCS의 길이를 찾으십시오.

SCS-Length를 해결할 수 있다면 가장 작은 솔루션을 재구성하고 PCN을 얻을 수 있습니다. 가장 작은 솔루션이 접두사로 시작한다는 것을 알고 있다면 각 항목을 사전 순서대로 추가하고 길이를 다시 해결하여 확장하려고 시도합니다. 솔루션 길이가 동일한 가장 작은 항목을 찾으면 가장 작은 솔루션에서 다음 항목이어야 함을 알 수 있습니다 (이유는 무엇입니까?). 따라서 추가하고 나머지 항목에 대해 반복하십시오. 솔루션에 도달하는이 방법을 자체 감소 라고 합니다.

최대 오버랩 그래프 둘러보기

위의 예에서 SCS를 손으로 해결하기 시작했다고 가정하십시오. 우리는 아마 :

• 13및 37은 이미 다른 항목의 하위 문자열이므로 제거하십시오 . 137예를 들어, 을 포함하는 솔루션 은 13및 을 포함해야합니다 37.
• 조합을 고려 시작 113,137 → 1137, 211,113 → 2113등

이것은 실제로 옳은 일이지만 완전성을 위해 그것을 증명합시다. SCS 솔루션을 취하십시오. 예를 들어, 가장 짧은 슈퍼 스트링 A은

2113137

다음의 모든 항목을 연결하여 분해 할 수 있습니다 A.

211
 113
   31
    137

중복 항목은 무시합니다 13, 37. 다음 사항을 준수하십시오.

1. 각 항목의 시작 및 끝 위치는 1 이상 증가합니다.
2. 각 항목은 가능한 한 이전 항목과 겹칩니다.

우리는 모든 가장 짧은 슈퍼 스트링이 다음과 같이 분해 될 수 있음을 보여줄 것입니다 :

1. 인접한 항목의 각 쌍에 대해 x,y, y보다 나중 위치에서 시작 및 종료 x. 이것이 사실이 아니면, x부분 문자열 y이거나 그 반대입니다. 그러나 하위 문자열 인 모든 항목을 이미 제거 했으므로 불가능합니다.

2. 시퀀스의 인접 항목이 예를 들어 21113대신 최대 값보다 겹치지 않는다고 가정 2113합니다. 그러나 그것은 여분의 여분을 만들 것 1입니다. 더 이상 항목이 12 1 113 에서와 같이 더 이상 발생하지 않기 때문에 더 이상 113항목이 필요 113하지 않으며 이후에 나타나는 모든 항목은 앞에 숫자로 시작할 수 없습니다 113(1 지점 참조). 비슷한 주장 1은 (211 1 3 에서와 같이) 마지막 항목이 이전 항목에 의해 사용되는 것을 방지합니다 211. 그러나 정의에 따르면 가장 짧은 슈퍼 스트링은 중복 자릿수를 가지지 않으므로 최대가 아닌 겹치는 부분은 발생하지 않습니다.

이러한 특성을 사용하여 모든 SCS 문제점을 TSP로 변환 할 수 있습니다.

1. 다른 항목의 하위 문자열 인 모든 항목을 제거하십시오.
2. 각 항목마다 하나의 정점이있는 유 방향 그래프를 만듭니다.
3. 항목의 각 쌍에 대해 x, y로부터 에지 추가 x로 y그 중량을 추가로 첨가하여 추가 심벌의 개수 y를 x최대한으로 오버랩한다. 예를 들어, 우리는에서 가장자리를 추가 211로 113하기 때문에, 무게 1 2113하나 개 더 자리를 통해 추가합니다 211. 에서까지 반복 y합니다 x.
4. 초기 접두사에 꼭짓점을 추가하고 가장자리를 다른 모든 항목에 추가합니다.

초기 접두사에서이 그래프의 경로는 해당 경로에있는 모든 항목의 최대 겹치기 연결에 해당하며 경로의 총 가중치는 연결된 문자열 길이와 같습니다. 따라서 모든 항목을 한 번 이상 방문하는 모든 최소 중량 여행은 가장 짧은 슈퍼 스트링에 해당합니다.

이것이 SCS (및 SCS-Length)에서 TSP 로의 축소입니다.

동적 프로그래밍 알고리즘

이것은 고전적인 알고리즘이지만, 우리는 그것을 약간 수정 할 것이므로 여기에 빠른 알림이 있습니다.

(저는 이것을 TSP 대신 SCS-Length의 알고리즘으로 작성했습니다. 본질적으로 동일하지만 SCS 어휘는 SCS 특정 최적화에 도달 할 때 도움이됩니다.)

입력 항목 세트 A와 제공된 접 두부를 호출하십시오 P. 모든 들어 k- 요소 집합 S에서 A, 모든 요소 e의 S, 우리는에 시작이되는 짧은 문자열의 길이 계산 P, 모두의 포함 S과 함께, 그리고 끝 e. 여기에는 값에서 (S, e)SCS 길이 까지의 테이블 저장이 포함됩니다 .

우리는 각각의 부분 집합에 도착하면 S, 이미에 테이블 요구에 대한 결과 포함 S - {e}모든 e의를 S. 테이블이 상당히 커질 수 있듯이, 나는 모든 결과를 계산 k한 후, - 요소 집합 k+1우리는 단지에 대한 결과를 저장할 필요,이를 위해 등, k그리고 k+1어느 시간에. 이것은 대략 메모리 사용량을 줄 sqrt(|A|)입니다.

한 번 더 자세히 : 최소 SCS 길이를 계산하는 대신 실제로 항목 간의 최대 총 겹침을 계산합니다. SCS 길이를 얻으려면 항목 길이의 합계에서 총 겹침을 뺍니다. 겹침을 사용하면 다음 최적화 중 일부가 도움이됩니다.

[2.] 아이템 컨텍스트

문맥은 다음 항목과 중복 수있는 항목의 긴 접미사입니다. 우리의 아이템이 113,211,311이면 and에 11대한 컨텍스트입니다 . (또한 접두사 컨텍스트이기도하다. [4] 부분에서 살펴 보겠다.)211311113

위의 DP 알고리즘에서 우리는 각 항목으로 끝나는 SCS 솔루션을 추적했지만 실제로 SCS가 끝나는 항목은 신경 쓰지 않습니다. 우리가 알아야 할 것은 컨텍스트입니다. 따라서 예를 들어 동일한 세트에 대한 두 개의 SCS가 23및로 끝나는 경우 43하나에서 계속되는 SCS도 다른 하나에서도 작동합니다.

사소한 소수는 숫자로만 끝나기 때문에 이는 중요한 최적화 1 3 7 9입니다. 4 개의 한 자리 컨텍스트 1,3,7,9(빈 컨텍스트)는 실제로 최대 소수까지 PCN을 계산하기에 충분합니다 131.

[3.] 문맥이없는 아이템

다른 사람은 이미 많은 소수가 숫자로 시작한다는 지적 2,4,5,6,8과 같은 23,29,41,43.... 이 중 어느 것도 (제외하고 이전 총리와 중복 수 2와 5,, 소수는이 자리에서 끝날 수 없습니다 2및 5이미 중복으로 제거 된 것이다). 코드에서이를 컨텍스트가없는 문자열 이라고합니다 .

입력 내용에 문맥이없는 항목이있는 경우 모든 SCS 솔루션을 블록으로 나눌 수 있습니다

<prefix>... 23... 29... 41... 43...

각 블록의 오버랩은 다른 블록과 독립적입니다. SCS 길이를 변경하지 않고 동일한 컨텍스트를 가진 블록간에 블록을 섞거나 항목을 교환 할 수 있습니다.

따라서, 우리 는 각 블록마다 하나씩, 가능한 다중 컨텍스트 집합 을 추적하기 만하면 됩니다.

전체 예 : 소수가 100 미만인 경우 문맥이없는 항목과 그 문맥이 11 개 있습니다.

23 29 41 43 47 53 59 61 67 83 89
 3  9  1  3  7  3  9  1  7  3  9

초기 다중 집합 컨텍스트 :

1 1 3 3 3 3 7 7 9 9 9

코드는이를 결합 된 컨텍스트 또는 ccontext라고 합니다. 그런 다음 나머지 항목의 하위 집합 만 고려하면됩니다.

11 13 17 19 31 37 71 73 79 97

[4.] 컨텍스트 병합

3 자리 이상의 소수에 도달하면 중복성이 더 많이 발생합니다.

 101 151 181 191 ...
 107 127 157 167 197 ...
 109 149 1009 ...

이 그룹은 동일한 시작 및 종료 컨텍스트를 공유하므로 (보통 입력에 포함 된 다른 소수에 따라 다름) 다른 항목과 겹칠 때 구분할 수 없습니다. 우리는 오버랩 만 신경 쓰므로, 동일한 문맥 그룹 에서 소수 를 구분할 수없는 것으로 취급 할 수 있습니다. 이제 DP 하위 집합이 다중 하위 집합으로 압축되었습니다.

4 × 1_1
5 × 1_7
3 × 1_9

(솔버가 SCS 길이를 최소화하는 대신 오버랩 길이를 최대화하는 이유이기도합니다.이 최적화는 오버랩 길이를 유지합니다.)

요약 : 고급 최적화

INFO디버그 출력으로 실행하면 다음과 같은 통계가 인쇄됩니다.

solve: N=43, N_search=26, ccontext_size=18, #contexts=7, #eq_context_groups=16

이 특정 라인은 처음 62 소수의 SCS 길이에 대한 2것 293입니다.

• 중복 항목을 제거한 후에는 서로 하위 문자열이 아닌 43 개의 소수가 남습니다.
• 7 독특한 있습니다 문맥 : 1,3,7,11,13,27플러스 빈 문자열.
• 43 개의 소수 (17)는 문맥 자유 : 43,47,53,59,61,89,211,223,227,229,241,251,257,263,269,281,283. 이것들과 주어진 접두사 (이 경우 빈 문자열)는 초기 결합 된 컨텍스트 의 기초를 형성합니다 .
• 나머지 26 개 항목 ( N_search)에는 16 개의 중요하지 않은 동일한 문맥 그룹이 있습니다.

이러한 구조를 활용함으로써 SCS- 길이 계산은 8498336 (multiset, ccontext)조합 만 확인하면 됩니다. 간단한 동적 프로그래밍은 43×2^43 > 3×10^14단계가 필요하고 순열을 강제로 강요하는 6×10^52단계가 필요합니다. 프로그램은 PCN 솔루션을 재구성하기 위해 SCS-Length를 여러 번 더 실행해야하지만 시간이 오래 걸리지 않습니다.

[5., 6.] 저수준 최적화

문자열 조작 대신 SCS-Length 솔버는 항목 및 컨텍스트의 색인으로 작동합니다. 또한 각 컨텍스트와 항목 쌍 간의 겹침 양을 미리 계산합니다.

이 코드는 처음에 GCC를 사용 unordered_map했는데 이는 연결된 목록 버킷과 주요 해시 크기 (예 : 값 비싼 부서)가있는 해시 테이블 인 것 같습니다. 그래서 선형 프로빙과 2의 거듭 제곱 크기로 자체 해시 테이블을 작성했습니다. 이것은 3 배의 속도 향상과 3 배의 메모리 감소를 가져옵니다.

각 테이블 상태는 여러 항목 세트, 결합 된 컨텍스트 및 오버랩 수로 구성됩니다. 이들은 128 비트 항목으로 압축됩니다 : 오버랩 카운트의 경우 8, 다중 세트의 경우 56 (런 길이 인코딩의 비트 세트) 및 ccontext의 경우 64 (1 구분 RLE). ccontext를 인코딩하고 디코딩하는 것이 가장 까다로운 부분이었고 새로운 PDEP명령을 사용하여 끝났습니다 (GCC에는 아직 본질적인 기능이 없습니다).

마지막으로, 테이블이 N더 이상 캐시에 맞지 않기 때문에 해시 테이블에 대한 액세스 가 커질 때 실제로 느립니다 . 그러나 우리가 해시 테이블에 쓰는 유일한 이유는 각 상태에 대해 가장 잘 알려진 중복 횟수를 업데이트하는 것입니다. 프로그램은이 단계를 프리 페치 큐로 분리하고 내부 루프는 실제로 해당 슬롯을 업데이트하기 전에 각 테이블 조회를 몇 차례 반복 프리 페치합니다. 컴퓨터에서 2 배 더 빠른 속도.

보너스 : 추가 개선

AKA 콩코드는 얼마나 빠릅니까?

TSP 알고리즘에 대해 잘 모르므로 여기에 대략적인 추측이 있습니다.

콩코드는 분기 및 절단 방법을 사용하여 TSP를 해결합니다.

• TSP를 정수 선형 프로그램으로 인코딩합니다.
• 최적의 여행 거리에서 하한 및 상한을 얻기 위해 초기 휴리스틱뿐만 아니라 선형 프로그래밍 방법을 사용합니다.
• 그런 다음 이러한 경계는 최적 솔루션을 검색 하는 분기 및 바운드 재귀 알고리즘에 제공됩니다. 하위 트리에 대해 계산 된 하한이 알려진 상한을 초과하면 검색 트리의 많은 부분을 잘라낼 수 있습니다.
• 또한 LP 이완을 강화하고 더 나은 경계를 얻기 위해 절단면 을 검색 합니다. 일반적으로 이러한 컷은 결정 변수가 정수 여야한다는 사실에 대한 지식을 인코딩합니다.

우리가 시도 할 수있는 명백한 아이디어 :

• 특히 PCN 솔루션을 재구성 할 때 SCS 길이 솔버에서 가지 치기 (해당 시점에서 솔루션 길이가 무엇인지 이미 알고 있음)
• 정리를 돕기 위해 사용할 수있는 SCS에 대한 계산하기 쉬운 하한값 도출
• 소수에 대한 더 많은 대칭 또는 중복 찾기

그러나 브랜치 앤 컷 조합은 매우 강력하므로 값이 큰 Concorde와 같은 최첨단 솔버를 이길 수 없습니다 N.

보너스 보너스 : 주요 격리 소수

콩코드 기반 솔루션과 달리이 프로그램은 가장 작은 포함 소수 ( OEIS A054260 ) 를 찾도록 수정 될 수 있습니다 . 여기에는 세 가지 변경이 포함됩니다.

1. $1/\ln(n)$

2. SCS-Length 솔버 코드를 수정하여 숫자 합을 3으로 나눌 수 있는지 여부에 따라 솔루션을 분류하십시오. 여기에는 각 DP 상태에 다른 항목 인 숫자 합 mod 3을 추가하는 것이 포함됩니다. 이는 주 솔버가 비 프라임 순열로 고착 될 가능성을 크게 줄입니다. 이것은 TSP로 번역하는 방법을 알아낼 수 없었던 변화입니다. ILP로 인코딩 할 수 있지만 "서브 투어 부등식"이라는이 항목과이를 생성하는 방법에 대해 알아야합니다.

3. 이 것을 할 수 있는 모든 최단 PCN을의 가장 작은 소수 봉쇄 프라임은 PCN보다 적어도 하나의 자리 이상이어야합니다,이 경우 3으로 나눌 수 있습니다. SCS-Length 솔버가이를 감지하면, 솔루션 재구성 코드는 프로세스의 어느 시점에서든 하나의 추가 숫자 를 추가 할 수있는 옵션이 있습니다 . 가능한 모든 자릿수 0..9와 나머지 항목을 현재 솔루션 접두사에 사전 순서대로 추가하려고 시도합니다 .

이러한 변경으로 최대 솔루션을 얻을 수 있습니다 N=62. 를 제외하고 47재구성 코드가 멈추고 백만 단계 후에 포기합니다 (아직 이유를 모르겠습니다). 주요 격리 소수는 다음과 같습니다.

1 2
2 23
3 523
4 2357
5 112573
6 511327
7 1135217
8 1113251719
9 11171323519
10 113171952923
11 113171952923
12 11131951723729
13 11317237419529
14 1131723294375419
15 113172329541947437
16 1131723294195343747
17 1113172329419434753759
18 11231329417437475361959
19 231132941743475375967619
20 2311294134347175967619537
21 23112941343471735967619537
22 231129413434717359537679619
23 23112941343471735375961983679
24 11231294134347173535961967983789
25 23112941343471735359679837619789
26 2310112941343471735359619783789679
27 231010329411343471735359619678379897
28 101031071132329417343475359619798376789
29 101031071091132329417343475359619767898379
30 101031071091132329417343475359619767898379
31 1010310710911131272329417343475359619678979837
32 1010310710911131272329417343475359619678979837
33 10103107109113127137232941734347535978961967983
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961976798389
36 1010310710911312713713914923294151734347535976198389679
37 1010310710911312713713914915157232941734347535967619798389
38 10103107109111312713713914915157163232941734347535967897961983
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
41 10103107109111312713713914915157163167173232941794347535976198983
42 1010310710911131271371391491515716316717323294179434761819535989783
43 1010310710911131271371391491515716316723294173434753596181917989783
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753836181919389597
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347538961975983
46 101031071091113127137139149151571631671731791819193232941974347535989836199
47 (failed)
48 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347895359836199
49 10103107109112713137149151571631671731791819193211392232272941974347619983535989
50 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347595389836199
51 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347595389619983
52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347538361995989
53 10103107109112713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347619983538959
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347619953835989
55 1010310710911271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974325747596199538983
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347619959895383
57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535983896199
60 1010310710911271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343538947619959
62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343534759896199

암호

와 컴파일

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn.cpp -o pcn

소수 버전의 경우 GMPlib 와도 연결합니다 (예 :

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn-prime.cpp -o pcn-prime -lgmp -lgmpxx

이 프로그램은 최근 (Haswell +) x86 프로세서에서만 사용할 수있는 PDEP 명령을 사용합니다. 내 컴퓨터와 maxb가 모두 지원합니다. 그렇지 않으면 프로그램이 느린 소프트웨어 버전으로 컴파일됩니다. 이 경우 컴파일 경고가 인쇄됩니다.

#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <array>

using namespace std;

void debug_dummy(...) {
}

#ifndef INFO
//#  define INFO(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define INFO debug_dummy
#endif

#ifndef DEBUG
//#    define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define DEBUG debug_dummy
#endif

bool is_prime(size_t n)
{
    for (size_t d = 2; d * d <= n; ++d) {
        if (n % d == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// bitset, works for up to 64 strings
using bitset_t = uint64_t;
const size_t bitset_bits = 64;

// Find position of n-th set bit of x
uint64_t bit_select(uint64_t x, size_t n) {
#ifdef __BMI2__
    // Bug: GCC doesn't seem to provide the _pdep_u64 intrinsic,
    // despite what its manual claims. Neither does Clang!
    //size_t r = _pdep_u64(ccontext_t(1) << new_context, ccontext1);
    size_t r;
    // NB: actual operand order is %2, %1 despite the intrinsic taking %1, %2
    asm ("pdep %2, %1, %0"
         : "=r" (r)
         : "r" (uint64_t(1) << n), "r" (x)
         );
    return __builtin_ctzll(r);
#else
#  warning "bit_select: no x86 BMI2 instruction set, falling back to slow code"
    size_t k = 0, m = 0;
    for (; m < 64; ++m) {
        if (x & (uint64_t(1) << m)) {
            if (k == n) {
                break;
            }
            ++k;
        }
    }
    return m;
#endif
}

#ifndef likely
#  define likely(x) __builtin_expect(x, 1)
#endif
#ifndef unlikely
#  define unlikely(x) __builtin_expect(x, 0)
#endif

// Return the shortest string that begins with a and ends with b
string join_strings(string a, string b) {
    for (size_t overlap = min(a.size(), b.size()); overlap > 0; --overlap) {
        if (a.substr(a.size() - overlap) == b.substr(0, overlap)) {
            return a + b.substr(overlap);
        }
    }
    return a + b;
}

vector <string> dedup_items(string context0, vector <string> items)
{
    vector <string> items2;
    for (size_t i = 0; i < items.size(); ++i) {
        bool dup = false;
        if (context0.find(items[i]) != string::npos) {
                dup = true;
        } else {
            for (size_t j = 0; j < items.size(); ++j) {
                if (items[i] == items[j]?
                    i > j
                        : items[j].find(items[i]) != string::npos) {
                    dup = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if (!dup) {
            items2.push_back(items[i]);
        }
    }
    return items2;
}

// Table entry used in main solver
const size_t solver_max_item_set = bitset_bits - 8;
struct Solver_entry
{
    uint8_t score : 8;
    bitset_t items : solver_max_item_set;
    bitset_t context;

    Solver_entry()
    {
        score = 0xff;
        items = 0;
        context = 0;
    }
    bool is_empty() const {
        return score == 0xff;
    }
};

// Simple hash table to avoid stdlib overhead
struct Solver_table
{
    vector <Solver_entry> t;
    size_t t_bits;
    size_t size_;
    size_t num_probes_;

    Solver_table()
    {
        // 256 slots initially -- this needs to be not too small
        // so that the load factor formula in update_score works
        t_bits = 8;
        size_ = 0;
        num_probes_ = 0;
        resize(t_bits);
    }
    static size_t entry_hash(bitset_t items, bitset_t context)
    {
        uint64_t h = 0x3141592627182818ULL;
        // Add context first, since its bits are generally
        // less well distributed than items
        h += context;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        h += items;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        return h;
    }
    size_t probe_index(size_t hash) const {
        return hash & ((size_t(1) << t_bits) - 1);
    }
    void resize(size_t t2_bits)
    {
        assert (size_ < size_t(1) << t2_bits);
        vector <Solver_entry> t2(size_t(1) << t2_bits);
        for (auto entry: t) {
            if (!entry.is_empty()) {
                size_t h = entry_hash(entry.items, entry.context);
                size_t mask = (size_t(1) << t2_bits) - 1;
                size_t idx = h & mask;
                while (!t2[idx].is_empty()) {
                    idx = (idx + 1) & mask;
                    ++num_probes_;
                }
                t2[idx] = entry;
            }
        }
        t.swap(t2);
        t_bits = t2_bits;
    }
    uint8_t update_score(bitset_t items, bitset_t context, uint8_t score)
    {
        // Ensure we can insert a new item without resizing
        assert (size_ < t.size());

        size_t index = probe_index(entry_hash(items, context));
        size_t mask = (size_t(1) << t_bits) - 1;
        for (size_t p = 0; p < t.size(); ++p, index = (index + 1) & mask) {
            ++num_probes_;
            if (likely(t[index].items == items && t[index].context == context)) {
                t[index].score = max(t[index].score, score);
                return t[index].score;
            }
            if (t[index].is_empty()) {
                // add entry
                t[index].score = score;
                t[index].items = items;
                t[index].context = context;
                ++size_;
                // load factor 4/5 -- ideally 2-3 average probes per lookup
                if (5*size_ > 4*t.size()) {
                    resize(t_bits + 1);
                }
                return score;
            }
        }
        assert (false && "bug: hash table probe loop");
    }
    size_t size() const {
        return size_;
    }
    void swap(Solver_table table)
    {
        t.swap(table.t);
        ::swap(size_, table.size_);
        ::swap(t_bits, table.t_bits);
        ::swap(num_probes_, table.num_probes_);
    }
};

/*
 * Main solver code.
 */
struct Solver
{
    // Inputs
    vector <string> items;
    string context0;
    size_t context0_index;

    // Mapping between strings and indices
    vector <string> context_to_string;
    unordered_map <string, size_t> string_to_context;

    // Items that have context-free prefixes, i.e. prefixes that
    // never overlap with the end of other items nor context0
    vector <bool> contextfree;

    // Precomputed contexts (suffixes) for each item
    vector <size_t> item_context;
    // Precomputed updates: (context, string) to overlap amount
    vector <vector <size_t>> join_overlap;

    Solver(vector <string> items, string context0)
        :items(items), context0(context0)
    {
        items = dedup_items(context0, items);
        init_context_();
    }

    void init_context_()
    {
        /*
         * Generate all relevant item-item contexts.
         *
         * At this point, we know that no item is a substring of
         * another, nor of context0. This means that the only contexts
         * we need to care about, are those generated from maximal join
         * overlaps between any two items.
         *
         * Proof:
         * Suppose that the shortest containing string needs some other
         * kind of context. Maybe it depends on a context spanning
         * three or more items, say X,Y,Z. But if Z ends after Y and
         * interacts with X, then Y must be a substring of Z.
         * This cannot happen, because we removed all substrings.
         *
         * Alternatively, it depends on a non-maximal join overlap
         * between two strings, say X,Y. But if this overlap does not
         * interact with any other string, then we could maximise it
         * and get a shorter solution. If it does, then call this
         * other string Z. We would get the same contradiction as in
         * the previous case with X,Y,Z.
         */
        size_t N = items.size();
        vector <size_t> max_prefix_overlap(N), max_suffix_overlap(N);
        size_t context0_suffix_overlap = 0;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < N; ++j) {
                if (i == j) continue;
                string joined = join_strings(items[j], items[i]);
                size_t overlap = items[j].size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                max_suffix_overlap[j] = max(max_suffix_overlap[j], overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }

            // Context for initial join with context0
            {
                string joined = join_strings(context0, items[i]);
                size_t overlap = context0.size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                context0_suffix_overlap = max(context0_suffix_overlap, overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }
        }
        // Now compute all canonical trailing contexts
        context0_index = string_to_context[
                           context0.substr(context0.size() - context0_suffix_overlap)];
        item_context.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            item_context[i] = string_to_context[
                                items[i].substr(items[i].size() - max_suffix_overlap[i])];
        }

        // Now detect context-free items
        contextfree.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            contextfree[i] = (max_prefix_overlap[i] == 0);
            if (contextfree[i]) {
                DEBUG("  contextfree: %s\n", items[i].c_str());
            }
        }

        // Now compute all possible overlap amounts
        join_overlap.resize(context_to_string.size(), vector <size_t> (N));
        for (size_t c_index = 0; c_index < context_to_string.size(); ++c_index) {
            const string& context = context_to_string[c_index];
            for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
                string joined = join_strings(context, items[i]);
                size_t overlap = context.size() + items[i].size() - joined.size();
                join_overlap[c_index][i] = overlap;
            }
        }
    }

    // Main solver.
    // Returns length of shortest string containing all items starting
    // from context0 (context0's length not included).
    size_t solve() const
    {
        size_t N = items.size();

        // Length, if joined without overlaps. We try to improve this by
        // finding overlaps in the main iteration
        size_t base_length = 0;
        for (auto s: items) {
            base_length += s.size();
        }

        // Now take non-context-free items. We will only need to search
        // over these items.
        vector <size_t> search_items;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (!contextfree[i]) {
                search_items.push_back(i);
            }
        }
        size_t N_search = search_items.size();

        /*
         * Some groups of strings have the same context transitions.
         * For example "17", "107", "127", "167" all have an initial
         * context of "1" and a trailing context of "7", no other
         * overlaps are possible with other primes.
         *
         * We group these strings and treat them as indistinguishable
         * during the main algorithm.
         */
        auto eq_context = [&](size_t i, size_t j) {
            if (item_context[i] != item_context[j]) {
                return false;
            }
            for (size_t ci = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci) {
                if (join_overlap[ci][i] != join_overlap[ci][j]) {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        };
        vector <size_t> eq_context_group(N_search, size_t(-1));
        for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
            for (size_t sj = si-1; sj+1 > 0; --sj) {
                size_t i = search_items[si], j = search_items[sj];
                if (!contextfree[j] && eq_context(i, j)) {
                    DEBUG("  eq context: %s =c= %s\n", items[i].c_str(), items[j].c_str());
                    eq_context_group[si] = sj;
                    break;
                }
            }
        }

        // Figure out the combined context size. A combined context has
        // one entry for each context-free item plus one for context0.
        size_t ccontext_size = N - N_search + 1;

        // Assert that various parameters all fit into our data types
        using ccontext_t = bitset_t;
        assert (context_to_string.size() + ccontext_size <= bitset_bits);
        assert (N_search <= solver_max_item_set);
        assert (base_length < 0xff);

        // Initial combined context.
        unordered_map <size_t, size_t> cc0_full;
        ++cc0_full[context0_index];
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (contextfree[i]) {
                ++cc0_full[item_context[i]];
            }
        }
        // Now pack into unary-encoded bitset. The bitset stores the
        // count for each context as <count> number of 0 bits,
        // followed by a 1 bit.
        ccontext_t cc0 = 0;
        for (size_t ci = 0, b = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci, ++b) {
            b += cc0_full[ci];
            cc0 |= ccontext_t(1) << b;
        }

        // Map from (item set, context) to maximum achievable overlap
        Solver_table k_solns;
        // Base case: cc0 with empty set
        k_solns.update_score(0, cc0, 0);

        // Now start dynamic programming. k is current subset size
        size_t eq_context_groups = 0;
        for (size_t g: eq_context_group) eq_context_groups += (g != size_t(-1));
        if (context0.empty()) {
            INFO("solve: N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                 N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        } else {
            DEBUG("solve: context=%s, N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                  context0.c_str(), N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        }
        for (size_t k = 0; k < N_search; ++k) {
            decltype(k_solns) k1_solns;

            // The main bottleneck of this program is updating k1_solns,
            // which (for larger N) becomes a huge table.
            // We use a prefetch queue to reduce memory latency.
            const size_t prefetch = 8;
            array <Solver_entry, prefetch> entry_queue;
            size_t update_i = 0;

            // Iterate every k-subset
            for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
                if (entry.is_empty()) continue;

                bitset_t s = entry.items;
                ccontext_t ccontext = entry.context;
                size_t overlap = entry.score;

                // Try adding a new item
                for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
                    bitset_t s1 = s | bitset_t(1) << si;
                    if (s == s1) {
                        continue;
                    }
                    // Add items in each eq_context_group sequentially
                    if (eq_context_group[si] != size_t(-1) &&
                        !(s & bitset_t(1) << eq_context_group[si])) {
                        continue;
                    }
                    size_t i = search_items[si]; // actual item index

                    size_t new_context = item_context[i];
                    // Increment ccontext's count for new_context.
                    // We need to find its delimiter 1 bit
                    size_t bit_n = bit_select(ccontext, new_context);
                    ccontext_t ccontext_n =
                        ((ccontext & ((ccontext_t(1) << bit_n) - 1))
                         | ((ccontext >> bit_n << (bit_n + 1))));

                    // Select non-empty sub-contexts to substitute for new_context
                    for (size_t ci = 0, bit1 = 0, count;
                         ci < context_to_string.size();
                         ++ci, bit1 += count + 1)
                    {
                        assert (ccontext_n >> bit1);
                        count = __builtin_ctzll(ccontext_n >> bit1);
                        if (!count
                            // We just added new_context; we can only remove an existing
                            // context entry there i.e. there must be at least two now
                            || (ci == new_context && count < 2)) {
                            continue;
                        }

                        // Decrement ci in ccontext_n
                        bitset_t ccontext1 =
                            ((ccontext_n & ((ccontext_t(1) << bit1) - 1))
                             | ((ccontext_n >> (bit1 + 1)) << bit1));

                        size_t overlap1 = overlap + join_overlap[ci][i];

                        // do previous prefetched update
                        if (update_i >= prefetch) {
                            Solver_entry entry = entry_queue[update_i % prefetch];
                            k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
                        }

                        // queue the current update and prefetch
                        Solver_entry entry1;
                        size_t probe_index = k1_solns.probe_index(Solver_table::entry_hash(s1, ccontext1));
                        __builtin_prefetch(&k1_solns.t[probe_index]);
                        entry1.items = s1;
                        entry1.context = ccontext1;
                        entry1.score = overlap1;
                        entry_queue[update_i % prefetch] = entry1;

                        ++update_i;
                    }
                }
            }

            // do remaining queued updates
            for (size_t j = 0; j < min(update_i, prefetch); ++j) {
                Solver_entry entry = entry_queue[j];
                k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
            }

            if (context0.empty()) {
                INFO("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                     k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            } else {
                DEBUG("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                      k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            }
            k_solns.swap(k1_solns);
        }

        // Overall solution
        size_t max_overlap = 0;
        for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
            if (entry.is_empty()) continue;
            max_overlap = max(max_overlap, size_t(entry.score));
        }
        return base_length - max_overlap;
    }
};

// Wrapper for Solver that also finds the smallest solution string
string smallest_containing_string(vector <string> items)
{
    items = dedup_items("", items);

    size_t soln_length;
    {
        Solver solver(items, "");
        soln_length = solver.solve();
    }
    DEBUG("Found solution length: %zu\n", soln_length);

    string soln;
    vector <string> remaining_items = items;
    while (remaining_items.size() > 1) {
        // Add all possible next items, in lexicographic order
        vector <pair <string, size_t>> next_solns;
        for (size_t i = 0; i < remaining_items.size(); ++i) {
            const string& item = remaining_items[i];
            next_solns.push_back(make_pair(join_strings(soln, item), i));
        }
        assert (next_solns.size() == remaining_items.size());
        sort(next_solns.begin(), next_solns.end());

        // Now try every item in order
        bool found_next = false;
        for (auto ns: next_solns) {
            size_t i;
            string next_soln;
            tie(next_soln, i) = ns;
            DEBUG("Trying: %s + %s -> %s\n",
                  soln.c_str(), remaining_items[i].c_str(), next_soln.c_str());
            vector <string> next_remaining;
            for (size_t j = 0; j < remaining_items.size(); ++j) {
                if (next_soln.find(remaining_items[j]) == string::npos) {
                    next_remaining.push_back(remaining_items[j]);
                }
            }

            Solver solver(next_remaining, next_soln);
            size_t next_size = solver.solve();
            DEBUG("  ... next_size: %zu + %zu =?= %zu\n", next_size, next_soln.size(), soln_length);
            if (next_size + next_soln.size() == soln_length) {
                INFO("  found next item: %s\n", remaining_items[i].c_str());
                soln = next_soln;
                remaining_items = next_remaining;
                // found lexicographically smallest solution, break now
                found_next = true;
                break;
            }
        }
        assert (found_next);
    }
    soln = join_strings(soln, remaining_items[0]);

    return soln;
}

int main()
{
    string prev_soln;
    vector <string> items;
    size_t p = 1;
    for (size_t N = 1;; ++N) {
        for (++p; items.size() < N; ++p) {
            if (is_prime(p)) {
                char buf[99];
                snprintf(buf, sizeof buf, "%zu", p);
                items.push_back(buf);
                break;
            }
        }

        // Try to reuse previous solution (this works for N=11,30,32...)
        string soln;
        if (prev_soln.find(items.back()) != string::npos) {
            soln = prev_soln;
        } else {
            soln = smallest_containing_string(items);
        }
        printf("%s\n", soln.c_str());
        prev_soln = soln;
    }
}

온라인으로 사용해보십시오!

그리고 TIO 의 프라임 전용 버전입니다 . 죄송하지만이 프로그램을 골프로 타지 않았으며 게시물 길이 제한이 있습니다.

JavaScript (Node.js) , 241 초 만에 24 점

결과

• $a(1)$$a(21)$
• $a(22)=231129413434717353759619679$
• $a(23)=23112941343471735359619678379$
• $a(1)$$a(24)$

연산

이것은 재귀 검색으로 숫자를 병합하는 가능한 모든 방법을 시도하고 결과적으로 리프 노드에 도달하면 결과 목록을 사전 순으로 정렬합니다.

$x$$y$$k$$x$$k$$y$$k$$y$$k$$x$

각 반복이 시작될 때 다른 항목에서 찾을 수있는 항목이 목록에서 제거됩니다.

방문한 노드를 추적하여 상당한 속도 향상을 달성하여 여러 작업이 동일한 목록으로 연결될 때 조기에 중단 할 수 있습니다.

익명의 사용자 Neil이 제안한 것처럼 사본을 생성하지 않고 가능한 경우 목록을 업데이트하고 복원하면 속도가 약간 향상됩니다 .

예

$n=7$$[2,3,5,7,11,13,17]$

[]                        // start with an empty list
[ 2 ]                     // append 2
[ 2, 3 ]                  // append 3
[ 2, 3, 5 ]               // append 5
[ 2, 3, 5, 7 ]            // append 7
[ 2, 3, 5, 7, 11 ]        // append 11
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13 ]    // append 13
[ 2, 5, 7, 11, 13 ]       // remove 3, which appears in 13
  [ 2, 5, 7, 113, 13 ]    //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 7, 113 ]        //   remove 13, which now appears in 113
  [ 2, 5, 7, 113, 17 ]    //   append 17
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 7, which appears in 17
  --> leaf node: 1131725  //   new best result
[ 2, 5, 7, 11, 13, 17 ]   // append 17
[ 2, 5, 11, 13, 17 ]      // remove 7, which appears in 17
  [ 2, 5, 113, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 13, which now appears in 113
                          //   abort because this node was already visited
                          //   (it was a leaf node anyway, so we don't save much here)
  [ 2, 5, 117, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 17 into 117
  [ 2, 5, 117, 13 ]       //   remove 17, which now appears in 117
  --> leaf node: 1171325  //   not better than the previous one
--> leaf node: 11131725   // not better than the previous one

암호

온라인으로 사용해보십시오!

let f = n => {
  let visited = {},
      a, d, k, best, search;

  // build the list of primes, as strings
  for(a = [ '2' ], n--, k = 3; n; k++) {
    for(d = k; k % (d -= 2);) {}
    d == 1 && n-- && a.push(k + '');
  }

  best = a.join('');

  // recursive search function
  (search = (a, n = 0, r = []) => {
    let x, y, i, j, k, s;

    // remove all entries in r[] that can be found in another entry
    r = r.filter((p, i) => !r.some((q, j) => i != j && ~q.indexOf(p)));

    // abort early if this node was already visited
    if(visited[r]) {
      return;
    }

    // otherwise, mark it as visited
    visited[r] = 1;

    // walk through all distinct pairs (x, y) in r[]
    for(i = 0; i < r.length; i++) {
      for(j = i + 1; j < r.length; j++) {
        x = r[i];
        y = r[j];

        // try to merge x and y if:
        // 1) the first k digits of x equal the last k digits of y
        for(k = 1; x.slice(0, k) == y.slice(-k); k++) {
          r[i] = y + x.slice(k);
          search(a, n, r);
        }

        // or:
        // 2) the first k digits of y equal the last k digits of x
        for(k = 1; y.slice(0, k) == x.slice(-k); k++) {
          r[i] = x + y.slice(k);
          search(a, n, r);
        }
        r[i] = x;
      }
    }

    if(x = a[n]) {
      // there are other primes to process, so go on with the next one
      search(a, n + 1, [...r, x]);
    }
    else {
      // this is a leaf node: see if we've improved our current score
      s = r.join('');

      if(s.length <= best.length) {
        s = r.sort().join('');

        if(s.length < best.length || s < best) {
          best = s;
        }
      }
    }
  })(a);

  return best;
}

콩코드 TSP 솔버 , 299 초 안에 84 점

글쎄요 .. 지금 이걸 깨닫는 것만으로도 바보 같습니다.

이 모든 것은 본질적으로 여행하는 판매원 문제 입니다. 소수 p와 의 각 쌍에 q대해 가중치가 추가 된 자릿수 q(겹치는 숫자 제거) 의 모서리를 추가합니다 . 또한 p가중치가 길이 인 모든 프라임에 초기 모서리를 추가하십시오 p. 가장 짧은 이동 판매원 경로는 가장 작은 소수 격리 번호의 길이와 일치합니다.

그런 다음 Concorde 와 같은 산업 등급의 TSP 솔버 가이 문제를 간단히 해결합니다.

이 항목은 경쟁이 아닌 것으로 간주됩니다.

결과

솔버는 N=350약 20 시간 안에 완료됩니다. 전체 결과는 하나의 SE 게시물에 비해 너무 길며 OEIS는 많은 용어를 원하지 않습니다. 처음 200 개는 다음과 같습니다.

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
26 2310112941343471735359619678378979
27 231010329411343471735359619678378979
28 101031071132329417343475359619678378979
29 101031071091132329417343475359619678378979
30 101031071091132329417343475359619678378979
31 101031071091131272329417343475359619678378979
32 101031071091131272329417343475359619678378979
33 10103107109113127137232941734347535961967838979
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961967838979
36 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979
37 1010310710911312713713914915157232941734347535961967838979
38 1010310710911312713713914915157163232941734347535961967838979
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
41 1010310710911312713713914915157163167173232941794347535961978389
42 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181978389
43 101031071091131271371391491515716316723294173434753596181917978389
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181919383897
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347535961978389
46 10103107109113127137139149151571631671731791819193232941974347535961998389
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52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347535961998389
53 1010310710912713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347535961998389
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347535961998389
55 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972574347535961998389
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347535961998389
57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535961998389
60 101031071091271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
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암호

다음은 솔루션을 구성 할 때까지 Concorde 솔버를 계속 호출하는 Python 3 스크립트입니다.

콩코드는 학업에 무료입니다. 자체 선형 프로그래밍 패키지 QSopt로 빌드 된 Concorde 의 실행 바이너리를 다운로드 하거나 IBM CPLEX 라이센스가있는 경우 소스 에서 Concorde를 빌드 하여 CPLEX를 사용할 수 있습니다.

#!/usr/bin/env python3
'''
Find prime containment numbers (OEIS A054261) using the Concorde
TSP solver.

The n-th prime containment number is the smallest natural number
which, when written in decimal, contains the first n primes.
'''

import argparse
import itertools
import os
import sys
import subprocess
import tempfile

def join_strings(a, b):
  '''Shortest string that starts with a and ends with b.'''
  for overlap in range(min(len(a), len(b)), 0, - 1):
    if a[-overlap:] == b[:overlap]:
      return a + b[overlap:]
  return a + b

def is_prime(n):
  if n < 2:
    return False
  d = 2
  while d*d <= n:
    if n % d == 0:
      return False
    d += 1
  return True

def prime_list_reduced(n):
  '''First n primes, with primes that are substrings of other
     primes removed.'''
  primes = []
  p = 2
  while len(primes) < n:
    if is_prime(p):
      primes.append(p)
    p += 1

  reduced = []
  for p in primes:
    if all(p == q or str(p) not in str(q) for q in primes):
      reduced.append(p)
  return reduced

# w_med is an offset for actual weights
# (we use zero as a dummy weight when splitting nodes)
w_med = 10**4
# w_big blocks edges from being taken
w_big = 10**8

def gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates):
  '''Generate TSP formulation in TSPLIB format.

     Returns a TSPLIB format string that encodes the length of the
     shortest string starting with 'prefix' and containing all 'strs'.

     start_candidates is the set of strings that solution paths are
     allowed to start with.
     '''
  N = len(strs)

  # Concorde only supports symmetric TSPs. Therefore we encode the
  # asymmetric TSP instances by doubling each node.
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  # 2*(N+1) nodes because we add an artificial node with index N
  # for the start/end of the tour. This node is also doubled.
  num_nodes = 2*(N+1)

  # Ensure special offsets are big enough
  assert w_med > len(prefix) + sum(map(len, strs))
  assert w_big > w_med * num_nodes

  weight = [[w_big] * num_nodes for _ in range(num_nodes)]
  def edge(src, dest, w):
    weight[node_out(src)][node_in(dest)] = w
    weight[node_in(dest)][node_out(src)] = w

  # link every incoming node with the matching outgoing node
  for i in range(N+1):
    weight[node_in(i)][node_out(i)] = 0
    weight[node_out(i)][node_in(i)] = 0

  for i, p in enumerate(strs):
    if p in start_candidates:
      prefix_w = len(join_strings(prefix, p))
      # Initial length
      edge(N, i, w_med + prefix_w)
    else:
      edge(N, i, w_big)
    # Link every str to the end to allow closed tours
    edge(i, N, w_med)

  for i, p in enumerate(strs):
    for j, q in enumerate(strs):
      if i != j:
        w = len(join_strings(p, q)) - len(p)
        edge(i, j, w_med + w)

  out = '''NAME: prime-containment-number
TYPE: TSP
DIMENSION: %d
EDGE_WEIGHT_TYPE: EXPLICIT
EDGE_WEIGHT_FORMAT: FULL_MATRIX
EDGE_WEIGHT_SECTION
''' % num_nodes

  out += '\n'.join(
    ' '.join(str(w) for w in row)
    for row in weight
  ) + '\n'

  out += 'EOF\n'
  return out

def parse_tour_soln(prefix, strs, text):
  '''This constructs the solution from Concorde's 'tour' output format.
     The format simply consists of a permutation of the graph nodes.'''
  N = len(strs)
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  nums = list(map(int, text.split()))

  # The file starts with the number of nodes
  assert nums[0] == 2*(N+1)
  nums = nums[1:]

  # Then it should list a permutation of all nodes
  assert len(nums) == 2*(N+1)

  # Find and remove the artificial starting point
  start = nums.index(node_out(N))
  nums = nums[start+1:] + nums[:start]
  # Also find and remove the end point
  if nums[-1] == node_in(N):
    nums = nums[:-1]
  elif nums[0] == node_in(N):
    # Tour printed in reverse order
    nums = reversed(nums[1:])
  else:
    assert False, 'bad TSP tour'
  soln = prefix
  for i in nums:
    # each prime appears in two adjacent nodes, pick one arbitrarily
    if i % 2 == 0:
      soln = join_strings(soln, strs[i // 2])
  return soln

def scs_length(prefix, strs, start_candidates, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find length of shortest containing string using one call to Concorde.'''
  # Concorde's small-input solver CCHeldKarp, tends to fail with the
  # cryptic error message 'edge too long'. Brute force instead
  if len(strs) <= 5:
    best = len(prefix) + sum(map(len, strs))
    for perm in itertools.permutations(range(len(strs))):
      if perm and strs[perm[0]] not in start_candidates:
        continue
      soln = prefix
      for i in perm:
        soln = join_strings(soln, strs[i])
      best = min(best, len(soln))
    return best

  with tempfile.TemporaryDirectory() as tempdir:
    concorde_path = os.path.join(os.getcwd(), concorde_path)
    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib'), 'w') as f:
      f.write(gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates))

    if concorde_verbose:
      subprocess.check_call([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                            cwd=tempdir)
    else:
      try:
        subprocess.check_output([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                                cwd=tempdir, stderr=subprocess.STDOUT)
      except subprocess.CalledProcessError as e:
        print('Concorde exited with error code %d\nOutput log:\n%s' %
              (e.returncode, e.stdout.decode('utf-8', errors='ignore')),
              file=sys.stderr)
        raise

    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.sol'), 'r') as f:
      soln = parse_tour_soln(prefix, strs, f.read())
    return len(soln)

# Cache results from previous N's
pcn_solve_cache = {} # (prefix fragment, strs) -> soln

def pcn(n, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find smallest prime containment number for first n primes.'''
  strs = list(map(str, prime_list_reduced(n)))
  target_length = scs_length('', strs, strs, concorde_path, concorde_verbose)

  def solve(prefix, strs, target_length):
    if not strs:
      return prefix

    # Extract part of prefix that is relevant to cache
    prefix_fragment = ''
    for s in strs:
      next_prefix = join_strings(prefix, s)
      overlap = len(prefix) + len(s) - len(next_prefix)
      fragment = prefix[len(prefix) - overlap:]
      if len(fragment) > len(prefix_fragment):
        prefix_fragment = fragment
    fixed_prefix = prefix[:len(prefix) - len(prefix_fragment)]
    assert fixed_prefix + prefix_fragment == prefix

    cache_key = (prefix_fragment, tuple(strs))
    if cache_key in pcn_solve_cache:
      return fixed_prefix + pcn_solve_cache[cache_key]

    # Not in cache, we need to calculate it.
    soln = None

    # Try strings in ascending order until scs_length reports a
    # solution with equal length. That string will be the
    # lexicographically smallest extension of our solution.
    next_prefixes = sorted((join_strings(prefix, s), s)
                           for s in strs)

    # Try first string -- often works
    next_prefix, _ = next_prefixes[0]
    next_prefixes = next_prefixes[1:]
    next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
    next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
                             concorde_path, concorde_verbose)
    if next_length == target_length:
      soln = solve(next_prefix, next_strs, next_length)
    else:
      # If not, do a weighted binary search on remaining strings
      while len(next_prefixes) > 1:
        split = (len(next_prefixes) + 2) // 3
        group = next_prefixes[:split]
        group_length = scs_length(prefix, strs, [s for _, s in group],
                                  concorde_path, concorde_verbose)
        if group_length == target_length:
          next_prefixes = group
        else:
          next_prefixes = next_prefixes[split:]
      if next_prefixes:
        next_prefix, _ = next_prefixes[0]
        next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
        check = True
        # Uncomment if paranoid
        #next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
        #                         concorde_path, concorde_verbose)
        #check = (next_length == target_length)
        if check:
          soln = solve(next_prefix, next_strs, target_length)

    assert soln is not None, (
      'solve failed! prefix=%r, strs=%r, target_length=%d' %
      (prefix, strs, target_length))

    pcn_solve_cache[cache_key] = soln[len(fixed_prefix):]
    return soln

  return solve('', strs, target_length)

parser = argparse.ArgumentParser()
parser.add_argument('--concorde', type=str, default='concorde',
                    help='path to Concorde binary')
parser.add_argument('--verbose', action='store_true',
                    help='dump all Concorde output')
parser.add_argument('--start', type=int, metavar='N', default=1,
                    help='start at this N')
parser.add_argument('--end', type=int, metavar='N', default=1000000,
                    help='stop after this N')
parser.add_argument('--one', type=int, metavar='N',
                    help='solve for a single N and exit')

def main():
  opts = parser.parse_args(sys.argv[1:])

  if opts.one is not None:
    opts.start = opts.one
    opts.end = opts.one

  prev_soln = ''
  for n in range(opts.start, opts.end+1):
    primes = map(str, prime_list_reduced(n))
    if all(p in prev_soln for p in primes):
      soln = prev_soln
    else:
      soln = pcn(n, opts.concorde, opts.verbose)

    print('%d %s' % (n, soln))
    sys.stdout.flush()
    prev_soln = soln

if __name__ == '__main__':
  main()