소개

정수론에서, 우리는 숫자라고 $k$ 의 주요 요인은 대부분의 모든 때 매끄러운 $k$ . 예를 들어, 2,940 때문에 7- 평활 $2940=2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2$ .

여기서, 우리는 정의 $k$ 양이 두 개의 연속적인 정수로 매끄러운 쌍 $k$ 매끄러운한다. 43- 스무스 페어의 예는 4374 = 2 ⋅ 3 7 및 4375 = 5 4 ⋅ 7 이므로 $(4374,4375)$ 됩니다. 재미있는 사실 : 이것은 실제로 가장 큰 7 스무스 페어 입니다.$4374=2\cdot3^7$$4375=5^4\cdot7$

스토 머는 1897 년에 증명 모든 위해 $k$ , 유일한 유한으로 많습니다 $k$ 매끄러운 쌍 ,이 사실로 알려져 스토 머의 정리 .

도전

귀하의 작업은 소수 입력 $k$ 주어지면 원하는 순서로 복제없이 ( $k$ 쌍 내 순서는 중요하지 않음) 모든 k 평활 쌍을 출력하거나 반환 하는 프로그램이나 함수를 작성하는 것입니다.

소수에 대한 것을 주목하시기 바랍니다 $p$ 와 $q$ , 가정 $p<q$ , 모든 $p$ 매끄러운 쌍 또한 $q$ 매끄러운 쌍.

샘플 I / O

Input: 2
Output: (1, 2)

Input: 3
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (8, 9)

Input: 5
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (8, 9), (9, 10), (15, 16), (24, 25), (80, 81)

Input: 7
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (14, 15),
        (15, 16), (20, 21), (24, 25), (27, 28), (35, 36), (48, 49), (49, 50), (63, 64),
        (80, 81), (125, 126), (224, 225), (2400, 2401), (4374, 4375)

제한

프로그램 또는 기능은 이론적으로 모든 입력에 대해 유한 시간 내에 종료되어야합니다. 표준 허점은 기본적으로 허용되지 않습니다.

승리 기준

이것이 코드 골프 과제이므로 각 언어에 대해 가장 짧은 유효한 제출이 이깁니다.

자바 스크립트 (ES7)  234  232 바이트

$x^2-2qy^2=1$ 형식의 Pell 방정식을 풀고 해를 구합니다 . 여기서 $q$ 는 $P$ 평활 제곱 자유 수입니다.

이것은 Størmer의 원래 절차에서 파생 된 Derrick Henry Lehmer 절차의 구현입니다 .

키와 값이 $P$ 평활 쌍을 나타내는 객체를 반환합니다 .

P=>[...Array(P**P)].map((_,n)=>(s=(n,i=0,k=2)=>k>P?n<2:n%k?s(n,i,k+1):s(n/k,i,k+i))(n,1)&&(_=>{for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);(h=(x,y)=>k--&&h(X*x+n*Y*y,X*y+Y*x,x&s(x=~-x/2)&s(x+1)?r[x]=x+1:0))(X=x,Y=y,k=P<5?3:-~P/2)})(),r={})&&r

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어떻게?

헬퍼 기능 $s$ 테스트를 소정의 정수 여부 $n$ A는 $P$ 가진이 호출 매끄러운 번호 $i=0$ 또는 정사각형 무료 ¹ $P$ 으로이 호출 매끄러운 번호 $i=1$ .

s = (
  n,
  i = 0,
  k = 2
) =>
  k > P ?
    n < 2
  :
    n % k ?
      s(n, i, k + 1)
    :
      s(n / k, i, k + i)

우리는 광장 무료로 보면 ¹ $P$ 에 매끄러운 번호 $[1..P^P-1]$ , $P^P$ 상위 행으로 사용됩니다 $P!$.

P=>[...Array(P ** P)].map((_, n) => s(n, 1) && (...))

위에서 찾은 각 숫자 $n$ 에 대해 Pell 방정식 $x^2-ny^2=1$ 의 기본 해를 구합니다 .

(_ => {
  for(x = 1; (y = ((++x * x - 1) / n) ** .5) % 1;);
  ...
})()

(위의 코드는의 비 재귀 버전입니다 내 대답 에 이 다른 도전 )

$(x_1,y_1)$$(x_k,y_k)$$k\le max(3,(P+1)/2)$

$x_k$$x_k$$(x_k-1)/2$$(x_k+1)/2$$P$$r$

( h = (x, y) =>
  k-- &&
  h(
    X * x + n * Y * y,
    X * y + Y * x,
    x &
    s(x = ~-x / 2) &
    s(x + 1) ?
      r[x] = x + 1
    :
      0
  )
)(X = x, Y = y, k = P < 5 ? 3 : -~P / 2)

^$s$$i=1$

젤리 , 16 14 바이트

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ

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$4^k$$k$

1 바이트를 절약 해 준 @JonathanAllan에게 감사합니다!

설명

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ  | Monadic link, input k

4*              | 4**k, call this n
      ɗƇ        | For each number from 1..n filter those where:
  Æf            |   - Prime factors
    Ṁ           |   - Maximum
     <  ‘       |   - Less than k+1
         rƝ     | Inclusive range between neighbouring values
           LÐṂ  | Keep only those of minimum length (i.e. adjacent values)

05AB1E , 8 바이트

°Lü‚ʒfà@

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설명:

°            # 10 ** the input
 Lü‚         # list of pairs up to that number
    ʒ        # filtered by...
     fà      # the greatest prime factor (of either element of the pair)...
       @     # is <= the input

젤리 , 123 바이트

¹©Æ½Ø.;µU×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥⁸;+®Æ½W¤:/$$µƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ịWµ1ịżU×®W¤Ɗ$æ.0ị$ṭµ³’H»3¤¡
ÆRŒPP€ḟ2ḤÇ€ẎḢ€+€Ø-HÆfṀ€<ẠʋƇ‘

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$2×$$\max(3, \frac{k+1}{2})$$\frac{x-1}{2}, \frac{x+1}{2}$

$k$

하스켈 , 118107 바이트

nimi 덕분에 -11 바이트

q 1=[1]
q n=(:)<*>q.div n$[x|x<-[2..n],mod n x==0]!!0
f k|let r=all(<=k).q=[(n,n+1)|n<-[1..4^k],r n,r(n+1)]

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• q n 모든 주요 요인의 목록을 계산합니다. n
• f k 의 목록을 생성합니다.$k$

젤리 , 24 바이트

³!²R‘Ė
ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢

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7의 시간이 오래 걸리지 만 계승의 제곱을 제거하면 훨씬 빠르게 계산 됩니다. 온라인으로 사용해보십시오!

설명:

³!²R‘Ė                Generates a list like [[1,2],[2,3],...]
³!²                  Take the square of the factorial of the input
   R                 Range 1 through through the above number.
    ‘Ė               Decrement and enumerate, yielding desired list


ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢  
Ç                    Get the list of pairs  
 ÆF                  Get the prime factors of each number
   Ḣ€€€              Get the base of each
       ’<³           Is each base less than or equal to the input?
          FȦ$€       Check that all bases of a pair fit the above.
              T      Get a list of the truthy indexes
               ị¢    Index into the original list of pairs
                     Implicit output

@JonathanAllen 덕분에 -3 바이트

파이썬 3 + sympy, 116 바이트

import sympy
def f(k):x=[i for i in range(2,4**k)if max(sympy.factorint(i))<=k];return[(y,y+1)for y in x if y+1in x]

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파이썬 3 + sympy, 111 바이트

from sympy import*
def f(k):
 b=1
 for i in range(2,4**k):
  x=max(factorint(i))<=k
  if x&b:print(i-1,i)
  b=x

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내 젤리 답변에 대한 두 가지 변형 이지만 파이썬 3에서는 둘 다 인수를 허용하는 함수를 정의합니다 k. 첫 번째는 기준에 맞는 쌍의 튜플 목록을 반환합니다. 두 번째는 그것들을 표준 출력으로 인쇄합니다.

Wolfram Language (Mathematica) , 241 바이트

펠 방정식 사용

(s=#;v@a_:=Max[#&@@@#&/@FactorInteger@a]<=s;Select[{#-1,#+1}/2&/@(t={};k=y=1;While[k<=Max[3,(s+1)/2],If[IntegerQ[x=Sqrt[1+2y^2#]],t~AppendTo~x;k++];y++];t),v@#&]&/@Join[{1},Select[Range[3,Times@@Prime@Range@PrimePi@s],SquareFreeQ@#&&v@#&]])&

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Pyth , 15 바이트

f!>#QsPMTCtBS^4

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출력 수가보다 크지 않다는 Nick Kennedy의 관찰 을 사용합니다 4^k.

05AB1E , 16 바이트

°LʒfàI>‹}Xšü‚ʒ¥`

$n\gt3$

설명:

°                # Take 10 to the power of the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, 10^input]
  ʒ              # Filter this list by:
   fà            #  Get the maximum prime factor
     I>‹         #  And check if it's smaller than or equal to the input
        }Xš      # After the filter: prepend 1 again
           ü‚    # Create pairs
             ʒ   # And filter these pairs by:
              ¥` #  Where the forward difference / delta is 1

Stax , 14 바이트

Θ",²aÇu,á‼⌐çLB

실행 및 디버깅

이 프로그램은 가능한 가장 짧은 프로그램은 아니지만 일치하는 쌍을 찾 자마자 출력을 시작합니다. 결국 종료 되지만 출력이 발견되면 생성됩니다.

루비 , 89 + 8 = 97 바이트

-rprime$i$$4^n$[i, i+1]$n$falsefalse

->n{g=->x{x.prime_division.all?{|b,_|b<=n}};(1..4**n).map{|i|g[i]&&g[i+1]&&[i,i+1]}-[!1]}

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