자연수 $n$ 주어지면 $n$ 번째 쿠바 소수를 반환합니다 .

쿠바 프라임

쿠바 소수는 형태의 소수입니다

여기서 및 또는$y>0$$x = 1+y$$x = 2+y$

세부

• 가장 적합한 방식으로 0 또는 1 기반 색인을 사용할 수 있습니다.
• 인덱스 n 또는 첫 번째 n 소수를 제공 하면 $n$ 번째 소수를 증가하는 순서로 반환하거나 소수를 증가하는 순서로 생성하는 무한 목록 / 생성자를 반환 할 수 있습니다.$n$$n$

테스트 사례

처음 몇 용어는 다음과 같습니다.

(#1-13)   7, 13, 19, 37, 61, 109, 127, 193, 271, 331, 397, 433, 547,
(#14-24) 631, 769, 919, 1201, 1453, 1657, 1801, 1951, 2029, 2269, 2437,
(#25-34) 2791, 3169, 3469, 3571, 3889, 4219, 4447, 4801, 5167, 5419,
(#35-43) 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10093, 10267, 11719, 12097,
(#44-52) 12289, 13267, 13669, 13873, 16651, 18253, 19441, 19927, 20173

OEIS에서 더 많은 용어를 찾을 수 있습니다 . xheer $x = 1+y$ 또는 $x = 2+y$ 에 따라 두 개의 시퀀스로 나뉩니다 . A002407 및 A002648

자바 스크립트 (V8) , 54 바이트

쿠바 소수를 영원히 인쇄하는 전체 프로그램.

for(x=0;;){for(k=N=~(3/4*++x*x);N%++k;);~k||print(-N)}

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^{NB : 프린터에 무한 종이가없는 한, 브라우저 콘솔이 실행을 시도하지 않는 경우, print()다른 의미를 가질 수있다.}

자바 스크립트 (ES6),  63 61 60  59 바이트

$n$ 번째 쿠바 소수 (1 인덱스)를 리턴합니다 .

f=(n,x)=>(p=k=>N%++k?p(k):n-=!~k)(N=~(3/4*x*x))?f(n,-~x):-N

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방법?

쿠바 프라임은 다음과 같은 형식의 프라임이라는 사실을 기반으로합니다.

위의 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

또는 $y>0$ :

이것은 $\dfrac{x^3-y^3}{x-y}$ 대$x=y+1$및$x=y+2$는 각각.

05AB1E , 16 12 9 바이트

무한 목록을 생성합니다. Kevin Cruijssen의 Arnaulds 공식 포트로
4 바이트를 절약했습니다 . Grimy 덕분에 3 바이트 더 절약

∞n3*4÷>ʒp

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설명

∞          # on the list of infinite positive integers
 n3*4÷>    # calculate (3*N^2)//4+1 for each
       ʒp  # and filter to only keep primes

R , 75 73 바이트

n=scan()
while(F<n)F=F+any(!(((T<-T+1)*1:4-1)/3)^.5%%1)*all(T%%(3:T-1))
T

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-2 바이트 *대신 &(다른 우선 순위)를 사용하면 대괄호를 제거 할 수 있음을 알았습니다 .

n쿠바 소수 (1 색인)를 출력합니다 .

쿠바 소수는 일부 n에 대해 $p=1+3n^2$ 또는 $4p=1+3n^2$ , 즉 n = √ 이라는 사실을 사용합니다 (OEIS에서 제공).$n$$n=\sqrt{\frac{a\cdot p-1}{3}}$ 은$a=1$또는$a=4$의 정수입니다.

트릭 더 소수의 형식이 될 수 없다는 것이다 $2p=1+3n^2$ 또는 $3p=1+3n^2$ (*), 우리가 수식을 선택하여 2 바이트를 저장할 수 있도록 ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } ( ) 대신 ∈ { 1 , 4 } ( ).$a\in\{1, 2, 3, 4\}$1:4$a\in\{1, 4\}$c(1,4)

코드의 약간 ungolfed 버전 :

# F and T are implicitly initialized at 0 and 1
# F is number of Cuban primes found so far
# T is number currently being tested for being a Cuban prime
n = scan()                       # input
while(F<n){
  T = T+1                        # increment T 
  F = F +                        # increment F if
    (!all(((T*1:4-1)/3)^.5 %% 1) # there is an integer of the form sqrt(((T*a)-1)/3)
     & all(T%%(3:T-1)))          # and T is prime (not divisible by any number between 2 and T-1)
  }
T                                # output T

(*) 소수는 $3p=1+3n^2$ 형식 일 수 없으며 , 그렇지 않으면 $1=3(p-n^2)$ 을 $3$ 으로 나눌 수 있습니다 .

$p=2$$2p=1+3n^2$$n$$n=2k+1$$2p=4+12k(k+1)$, hence $p=2+6k(k+1)$ and $p$ would be even.

Wolfram Language (Mathematica), 66 65 56 bytes

(f=1+⌊3#/4#⌋&;For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++];f@n)&

Try it online!

• J42161217 -1 by using ⌊ ⌋ instead of Floor[ ]

• attinat

  • -1 by using ⌊3#/4#⌋ instead of ⌊3#^2/4⌋
  • -8 for For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++] instead of n=2;i=#;While[i>0,i-=Boole@PrimeQ@f@++n]

Java 8, 94 88 86 84 bytes

v->{for(int i=3,n,x;;System.out.print(x<1?++n+" ":""))for(x=n=i*i++*3/4;~n%x--<0;);}

-6 bytes by using the Java prime-checker of @SaraJ, so make sure to upvote her!
-2 bytes thanks to @OlivierGrégoire. Since the first number we check is 7, we can drop the trailing %n from Sara's prime-checker, which is to terminate the loop for n=1.
-2 bytes thanks to @OlivierGrégoire by porting @Arnauld's answer.

Outputs space-delimited indefinitely.

Try it online.

Explanation (of the old 86 bytes version): TODO: Update explanation

Uses the formula of @Arnauld's JavaScript answer: $p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$.

v->{                     // Method with empty unused parameter and no return-type
  for(int i=3,           //  Loop-integer, starting at 3
          n,x            //  Temp integers
      ;                  //  Loop indefinitely:
      ;                  //    After every iteration:
       System.out.print( //     Print:
        n==x?            //      If `n` equals `x`, which means `n` is a prime:
         n+" "           //       Print `n` with a space delimiter
        :                //      Else:
         ""))            //       Print nothing
    for(n=i*i++*3/4+1,   //   Set `n` to `(3*i^2)//4+1
                         //   (and increase `i` by 1 afterwards with `i++`)
        x=1;             //   Set `x` to 1
        n%++x            //   Loop as long as `n` modulo `x+1`
                         //   (after we've first increased `x` by 1 with `++x`)
             >0;);}      //   is not 0 yet
                         //   (if `n` is equal to `x`, it means it's a prime)

Wolfram Language (Mathematica), 83 bytes

(t=1;While[Length[l=Select[Join@@Array[{(v=3#^2+1)+3#,v}&,t++],PrimeQ]]<#];Sort@l)&

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Jelly, 12 bytes

²×3:4‘
ÇẒ$#Ç

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Based on @Arnauld’s method. Takes n on stdin and returns that many Cuban primes.

Wolfram Language (Mathematica), 83 bytes

이 솔루션은 n 번째 쿠바 프라임을 출력하여 기호 f의 모든 이전 결과를 빠르고 기억하는 이점을 제공합니다.

(d:=1+3y(c=1+y)+3b c;e:=If[PrimeQ@d,n++;f@n=d];For[n=y=b=0,n<#,e;b=1-b;e,y++];f@#)&

온라인으로 사용해보십시오!

공백 , 180 바이트

[S S S T    S N
_Push_2][S N
S _Duplicate][N
S S N
_Create_Label_OUTER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][T S S N
_Multiply][S S S T  T   N
_Push_3][T  S S N
_Multiply][S S S T  S S N
_Push_4][T  S T S _Integer_divide][S S S T  N
_Push_1][T  S S S _Add][S S S T N
_Push_1][S N
S _Duplicate_1][N
S S S N
_Create_Label_INNER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][S T   S S T   T   N
_Copy_0-based_3rd][T    S S T   _Subtract][N
T   S T N
_Jump_to_Label_PRINT_if_0][S T  S S T   S N
_Copy_0-based_2nd][S N
T   _Swap_top_two][T    S T T   _Modulo][S N
S _Duplicate][N
T   S S S N
_Jump_to_Label_FALSE_if_0][N
S N
S N
_Jump_to_Label_INNER_LOOP][N
S S T   N
_Create_Label_PRINT][T  N
S T _Print_as_integer][S S S T  S T S N
_Push_10_(newline)][T   N
S S _Print_as_character][S N
S _Duplicate][N
S S S S N
_Create_Label_FALSE][S N
N
_Discard_top_stack][S N
N
_Discard_top_stack][N
S N
N
_Jump_to_Label_OUTER_LOOP]

문자 S(공백), T(탭) 및 N(줄 바꾸기)가 강조 표시로만 추가되었습니다.
[..._some_action]설명으로 만 추가되었습니다.

줄 바꿈으로 무한정 출력합니다.

온라인으로 시도하십시오 (원시 공백, 탭 및 줄 바꾸기 만).

의사 코드의 설명 :

내 Java 8 답변의 포트는 @Arnauld 의 JavaScript 답변 의 공식을 사용합니다 .$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$.

Integer i = 2
Start OUTER_LOOP:
  i = i + 1
  Integer n = i*i*3//4+1
  Integer x = 1
  Start INNER_LOOP:
    x = x + 1
    If(x == n):
      Call function PRINT
    If(n % x == 0):
      Go to next iteration of OUTER_LOOP
    Go to next iteration of INNER_LOOP

function PRINT:
  Print integer n
  Print character '\n'
  Go to next iteration of OUTER_LOOP

파이썬 (3) , 110 (108) 102 바이트

내 Mathematica 답변과 비슷한 방법 (예 : 이 골프 프라임 검사기를isPrime(1+⌊¾n²⌋) else n++ 사용 하고 익명의 무한 생성기를 반환

from itertools import*
(x for x in map(lambda n:1+3*n**2//4,count(2)) if all(x%j for j in range(2,x)))

온라인으로 사용해보십시오!

• mypetlion -2 익명의 생성자가 명명 된 것보다 더 많이 허용되기 때문에
• -6 시작하여 count2에서 ₊₁ 그래서 것을 and x>1빌려 주요 검사기 I에서 불필요 _-7

apt , 14 13 바이트

Arnauld의 공식 에서 적응 . 1- 색인.

@µXj}f@Ò(X²*¾

시도 해봐

ImplementationOfIgnorance 덕분에 1 바이트가 절약되었습니다.

라켓 , 124 바이트

(require math)(define(f n[i 3])(let([t(+(exact-floor(* 3/4 i i))1)][k(+ 1 i)])(if(prime? t)(if(= 0 n)t(f(- n 1)k))(f n k))))

온라인으로 사용해보십시오!

n 번째 쿠바 소수 (0 색인)를 리턴합니다.

@Arnauld의 JavaScript 답변 공식을 사용합니다.

파이썬 3 , 83 바이트

쿠바 프라임을 영원히 인쇄합니다.

P=k=1
while 1:P*=k*k;x=k;k+=1;P%k>0==((x/3)**.5%1)*((x/3+.25)**.5%1-.5)and print(k)

온라인으로 사용해보십시오!

이 주요 생성기를 기반으로 합니다 . 모든 소수에 대해 정수 y가 존재하는지 여부를 확인합니다.$x = 1+y$ 또는 $x=2+y$.

펄 6 , 33 31 바이트

Grimy 덕분에 -2 바이트

{grep &is-prime,1+|¾*$++²xx*}

온라인으로 사용해보십시오!

쿠바 소수의 게으른 무한 목록을 반환하는 익명 코드 블록. 이것은 사용 Arnauld의 공식을 다음, 쿠바 수 소수를 생성하기 위해 &is-prime그들을 필터링.

설명:

{                           }  # Anonymous code block
 grep &is-prime,               # Filter the primes from
                         xx*   # The infinite list
                   ¾*          # Of three quarters
                     $++²      # Of an increasing number squared
                1+|            # Add one by ORing with 1

Pari / GP , 51 바이트

사용 Arnauld의 공식을 .

n->a=0;for(i=1,n,until(isprime(p=3*a^2\4+1),a++));p

온라인으로 사용해보십시오!

APL (NARS), 98 자, 196 바이트

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
→3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
→2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
→2×⍳w>c

들여 쓰기 :

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
    →3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
    →2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
    →2×⍳w>c

테스트:

  h ¨1..20
7 13 19 37 61 109 127 193 271 331 397 433 547 631 769 919 1201 1453 1657 1801 
  h 1000
25789873
  h 10000
4765143511

다음을 기반으로합니다. 만약 y가 N이면 쿠바 프라임은

S1=1+3y(y+1)

다음으로 가능한 쿠바 프라임은

S2=3(y+1)+S1