Landau의 함수 ( OEIS A000793 )은 대칭 그룹 의 요소의 최대 차수를 제공합니다 . 여기에서, 순열의 순서 는 가장 작은 양의 정수 이므로, 는 동일성입니다. 이는 순열의 사이클 분해에서 사이클의 길이의 최소 공배수와 같습니다. 예를 들어, 는 예를 들어 (1,2,3) (4,5,6,7) (8,9,10,11,12,13,14)에 의해 달성됩니다.$g(n)$$S_n$$\pi$$k$$\pi^k$$g(14) = 84$

따라서, 되고도의 최대 값과 동일 여기서 으로 양의 정수.$g(n)$$\operatorname{lcm}(a_1, \ldots, a_k)$1 + ⋯ + K = N 1 , ... , K$a_1 + \cdots + a_k = n$$a_1, \ldots, a_k$

문제

Landau의 기능을 계산하는 기능 또는 프로그램을 작성하십시오.

입력

양의 정수 입니다.$n$

산출

$g(n)$ 대칭 족 원소의 최대 순서 .$S_n$

예

n    g(n)
1    1
2    2
3    3
4    4
5    6
6    6
7    12
8    15
9    20
10   30
11   30
12   60
13   60
14   84
15   105
16   140
17   210
18   210
19   420
20   420

점수

이것은 코드 골프입니다 : 바이트 단위의 최단 프로그램이 이깁니다. 그럼에도 불구하고 여러 언어로 된 짧은 구현은 환영합니다.

런타임에 요구되는 사항은 없습니다. 따라서 구현시 반드시 위의 모든 예제 결과를 합리적인 시간에 생성 할 필요는 없습니다.

표준 허점은 금지되어 있습니다.

05AB1E , 6 바이트

Åœ€.¿Z

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    Ŝ       # integer partitions of the input
      €.¿    # lcm of each
         Z   # maximum

Wolfram Language (Mathematica) , 44 바이트

Max[PermutationOrder/@Permutations@Range@#]&

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Wolfram Language (Mathematica) , 31 바이트

@DanielSchepler는 더 나은 솔루션을 제공합니다.

Max[LCM@@@IntegerPartitions@#]&

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파이썬 , 87 바이트

f=lambda n,d=1:max([f(m,min(range(d,d<<n,d),key=(n-m).__rmod__))for m in range(n)]+[d])

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나머지 n파티션과 실행중인 LCM 을 추적하는 재귀 함수입니다 d. 이는 파티션의 실제 숫자 또는 사용한 숫자를 추적 할 필요가 없음을 의미합니다. 우리는 각각의 가능한 다음 부분은, 시도 n-m, 교체 n남은 것과 m,와 d함께 lcm(d,n-m). 우리는 그 재귀적인 결과와 d그 자체를 최대한 활용 합니다. 아무 것도 남지 않으면 n=0결과는 그저 아닙니다 d.

까다로운 점은 Python에 LCM, GCD 또는 주요 인수 분해를위한 기본 제공 기능이 없다는 것입니다. 이를 위해 lcm(d,m-n), 우리는의 배수의 목록을 생성 d하고, 최소 모듈을 달성 값을 가지고 n-m함께, key=(n-m).__rmod__. min동점 인 경우 초기 값을 제공 하므로 항상 0으로 d나눌 수있는 배수가 아니므 로 n-mLCM입니다. 우리 는 LCM에 도달하는 것을 보장 d하기 d*(n-m)위해 최대 배수 이지만, 파이썬의 상한이 배타적이면 쓰기가 짧습니다 d<<n( d*2**n).

파이썬 3의 math라이브러리는 3.5 이후에 gcd(그러나 아님 lcm) 몇 바이트 더 짧습니다. 가져 오기를 줄인 @Joel에게 감사합니다.

파이썬 3.5 이상 , 84 바이트

import math
f=lambda n,d=1:max([f(m,d*(n-m)//math.gcd(n-m,d))for m in range(n)]+[d])

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사용 numpy의 것은 lcm아직 짧다.

numpy , 77 바이트의 Python

from numpy import*
f=lambda n,d=1:max([f(m,lcm(d,n-m))for m in range(n)]+[d])

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하스켈 , 44 바이트

(%1)
n%t=maximum$t:[(n-d)%lcm t d|d<-[1..n]]

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젤리 , 7 바이트

Œṗæl/€Ṁ

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정수를 인수로 받아서 정수를 리턴하는 모나드 링크.

설명

Œṗ      | Integer partitions
  æl/€  | Reduce each using LCM
      Ṁ | Maximum

자바 스크립트 (ES6), 92 바이트

$\operatorname{lcm}(a_1,\ldots,a_k)$$a_1+\ldots+a_k$$n$

f=(n,i=1,l=m=0)=>n?i>n?m:f(n-i,i,l*i/(G=(a,b)=>b?G(b,a%b):a)(l,i)||i)&f(n,i+1,l)|m:m=l>m?l:m

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자바 스크립트 (ES6), 95 바이트

f=(n,i=1,m)=>i>>n?m:f(n,i+1,i<m|(g=(n,k=2,p=0)=>k>n?p:n%k?p+g(n,k+1):g(n/k,k,p*k||k))(i)>n?m:i)

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어떻게?

우리는 다음을 정의합니다.

(이것은 A008475입니다 )

그런 다음 공식을 사용합니다 ( A000793 ) :

펄 6 , 50 바이트

{max .map:{+(.[$_],{.[@^a]}...$_,)}}o&permutations

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@histocrat의 Ruby 솔루션과 같은 모든 순열을 직접 확인합니다.

설명

                                     &permutations  # Permutations of [0;n)
{                                  }o  # Feed into block
     .map:{                       }  # Map permutations
                           ...  # Construct sequence
             .[$_]  # Start with permutation applied to itself [1]
                  ,{.[@^a]}  # Generate next item by applying permutation again
                              $_,  # Until it matches original permutation [2]
           +(                    )  # Length of sequence
 max  # Find maximum

¹ 우리는 확인을 위해 n 개의 개별 항목 시퀀스를 사용할 수 있으므로 순열 자체를 취합니다.

² 끝 점이 컨테이너 인 경우 ...시퀀스 연산자는 첫 번째 항목과 스마트 매치됩니다. 따라서 단일 요소 목록을 전달해야합니다.

루비 , 77 바이트

f=->n{a=*0...n;a.permutation.map{|p|(1..).find{a.map!{|i|p[i]}==a.sort}}.max}

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(1..) 무한 범위 구문은 TIO에 대해 너무 새롭기 때문에 링크가 임의의 상한을 설정합니다.

이것은 직접 정의를 사용합니다. 가능한 모든 순열을 열거 한 다음 a원래 위치로 돌아올 때까지 변경하여 각각을 테스트합니다 (또한 각 루프에서 원래 배열을 변경할 수 있음을 의미합니다).

가이아 , 25 23 22 바이트

,:Π¤d¦&⊢⌉/
1w&ḍΣ¦¦⇈⊢¦⌉

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LCM 또는 정수 파티션이 없으면이 방법이 다소 길어집니다.

,:Π¤d¦&⊢⌉/		;* helper function: LCM of 2 inputs


1w&ḍΣ¦¦			;* push integer partitions
         ¦		;* for each
       ⇈⊢		;* Reduce by helper function
	  ⌉		;* and take the max

하스켈, 70 67 바이트

f n=maximum[foldl1 lcm a|k<-[1..n],a<-mapM id$[1..n]<$[1..k],sum a==n]

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편집 : @xnor 덕분에 -3 바이트.

파이썬 3 + NumPy와, 115 (102) 99 바이트

@Daniel Shepler 덕분에 -13 바이트

@Daniel Shepler에서 -3 바이트 더

import numpy
c=lambda n:[n]+[numpy.lcm(i,j)for i in range(1,n)for j in c(n-i)]
l=lambda n:max(c(n))

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무차별 대입법 : 가능한 모든 시퀀스 a, b, c, ...를 찾은 다음 a + b + c + ... = n을 찾은 다음 lcm가 가장 높은 것을 선택합니다.

Pyth , 24 15 바이트

eSm.U/*bZibZd./

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             ./Q  # List of partitions of the input
  m               # map that over lambda d:
   .U       d     # reduce d (with starting value first element of the list) on lambda b,Z:
     /*bZgbZ      # (b * Z) / GCD(b, Z)
 S                # this gives the list of lcms of all partitions. Sort this
e                 # and take the last element (maximum)

-9 바이트 :주의를 기울여 Pyth에 실제로 GCD가 내장되어 있음을 알았습니다 ( i).