가장 짧은 대괄호 찾기


15

대괄호 번호 는 왼쪽 대괄호, 공백 및 오른쪽 대괄호 ( [ ]) 만 사용하여 큰 정수를 표현하는 간단한 방법을 제공합니다 .

괄호 번호는 chunks[...] 라는 하나 이상의 일치하는 괄호 쌍으로 구성된 문자열로 정의되며 , 각각은 인접 공간과 0 개 이상의 공백으로 구분됩니다.

각 청크 사이의 공간 수는 이들 사이 의 하이퍼 오퍼레이션을 정의 합니다. 공백 없음은 덧셈을 의미하고, 1 공백은 곱셈을 의미하고, 2 공백은 지수를 의미하고, 3 공백은 정션을 의미 합니다. 더 높은 차수의 하이퍼 오퍼레이션이 우선하므로 지수화 이전에 테트라 션이 발생하고 곱셈 이전에 지수 화가 발생합니다. 또한 오른쪽 연관이기 때문에 a^b^c로 계산됩니다 a^(b^c). (그러나 a^b*c여전히 그렇습니다 (a^b)*c.)

각 청크는 비어 있거나 ( []) 다른 괄호 번호를 포함 할 수 있습니다. 빈 청크의 값은 0입니다. 비어 있지 않은 청크에는 포함 된 대괄호 값에 1이 더한 값이 있습니다.

예 : ( ^^테트 레이션은, ^^^이다 pentation )

  • [[]]0 ( [])이 1 씩 증가 하므로 값은 1입니다.
  • [[[]]]값이 2이지만 [[]][[]]두 개 ( [[]])가 추가 되었으므로
  • [[[]]] [[[[]]] [[[[]]]]][[[]]] 값이 20 = (2 * ((2 ^ 3) +1)) + 2
  • [[[]]] [[[[]]]] 값이 65536 = 2 ^^^ 3 = 2 ^^ (2 ^^ 2) = 2 ^^ 4 == 2 ^ (2 ^ (2 ^ 2))
  • [[[[]]]] [[[]]] [[]] 값이 7625597484987 = 3 ^^^ (2 ^^^ 1) = 3 ^^^ 2 = 3 ^^ 3 = 3 ^ (3 ^ 3)

유효한 대괄호 번호 :

  • 선행 또는 후행 공백이 없습니다.
  • 일치하는 대괄호는 항상 한 쌍 이상 있어야합니다.
  • 모든 왼쪽 대괄호에는 일치하는 오른쪽 대괄호가 있습니다.
  • 공백은의 오른쪽 [이나 왼쪽에 직접 나타나지 않습니다 ].
  • 값은 항상 음이 아닌 정수입니다.

도전

동일한 값을 제공하는 대괄호 번호에는 여러 양식이있을 수 있습니다. [[[[[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]]]]]]]]그리고 [[[]]] [[[[]]]]둘 다 16을 나타내지 만, 후자가 훨씬 짧습니다.

주어진 값의 가장 짧은 대괄호 숫자 표현을 찾으려고하는 알고리즘을 작성해야합니다. 예를 들어, 16을 나타내는 가장 짧은 방법은 17 자로 17 자 [[[]]] [[[[]]]]입니다.

득점 (업데이트)

하자 S가 아니라 다음과 같은 열 값 등으로 1 ~ 256 (포함)로부터 정수의 집합 수 :

8191 13071 524287 2147483647 1449565302 1746268229 126528612 778085967 1553783038 997599288

(처음 4는 메르 센 소수이고 나머지는 무작위입니다.)

S의 모든 항목에 대해 가장 짧은 대괄호 번호를 생성하는 제출물 이 이길 것입니다. 점수는 S의 모든 값에 대한 대괄호 숫자의 길이의 합입니다 (작을수록 좋습니다).

코드와 함께 모든 S 의 브래킷 번호 목록을 제출 하십시오. 정확한 순서는별로 중요하지 않습니다. 예 :

1=[[]]
2=[[[]]]
3=[[[[]]]]
...
2147483647=[...]
...

(이 방법이 최적의 채점 방법은 아니지만 각 제출에 대해 여러 가지 무작위 휴리스틱 테스트를 실행하도록 설정되어 있지 않습니다. 죄송합니다 :()

규칙

  • 사소한 증분 솔루션 ( ) 외에는 대괄호 번호를 하드 코딩 할 수 없습니다[], [[]], [[[]]], ... . 실제로 프로그램은 최적의 짧은 표현을 찾고 있어야합니다. (결과는 차선책 일 수 있습니다.)
  • 알고리즘은 2,147,483,648 (2 ^ 31) 미만의 모든 음이 아닌 정수에 대해 작동해야합니다. S 의 값에 특별히 초점을 맞추지 않을 수 있습니다 .
  • 특정 입력의 경우 알고리즘은 적절한 최신 컴퓨터 (~ 2.5Ghz 프로세서, ~ 6GB RAM)에서 최대 10 분 동안 실행되어야합니다.
  • (겉보기에는) 동점 일 가능성이 가장 높은 투표에서 가장 높은 투표율로 승리합니다.
  • 다른 솔루션을 복사하거나 속성없이 수정하면 실격 처리됩니다.

256이 너무 낮을 것 같습니다. 이 숫자의 하이퍼 오퍼레이션에는 그리 멀지 않습니다. 그러나 나는 틀릴 수 있습니다. 쉽게 배제 할 수없는 256을 나타낼 가능성이 얼마나되는지 알 수 없습니다.
마틴 엔더

@ MartinBüttner 알고 있습니다. 나는 512 또는 1024를 고려했지만 사람들이 대괄호 번호 목록을 위해 거대한 텍스트 블록을 제출해야한다고 걱정했습니다. 다른 사람은 어떻게 생각하세요?
Calvin 's Hobbies

@ Calvin'sHobbies : 1..256 외에도 많은 숫자를 요구하는 것은 어떻습니까? 메르 세네 프라임 2 ^ 31-1
Charles Charles

@ Calvin'sHobbies 당신의 범위 외에 10-20 특정 큰 숫자를 선택?
hmatt1

9
좋아, 업데이트 된 사용자 이름은 .... 내가 나쁜 행동이 misattributed 싶지 않아
아니 그 찰스

답변:


5

파이썬 11455b

이 솔루션은 철저한 접근 방식이 아닌 소수를 분해하는 방법을 찾는 데 욕심 많은 접근 방식을 취합니다. 1-256의 경우 9875b가 필요하며 그 공간에서 Martin의 아마도 최적의 솔루션의 경우 8181이 필요합니다.

더 큰 곱셈 및 지수 결과 테이블은 더 큰 테스트 사례에서 약간의 개선을 가져옵니다. 아래의 솔루션은 약 7 분이 걸렸습니다. 30 분 이상 런타임을 늘리면 출력에 미치는 영향이 최소화됩니다.

나는 Martin처럼 우선 순위에 문제가있었습니다. 작업 선택을 제한하는 내 솔루션이 최적이 아닐 수 있습니다.

#!/usr/bin/env python

# http://codegolf.stackexchange.com/questions/35480/find-the-shortest-bracket-numbers

import sys, math

reps = {}
forwards = {}
backwards = {}

MAX = 2**31

TABLE_SIZE = 2**12

def op_dec(op):
    if op>1:
        return op-1
    return op

def rep_op(a,op,b):
    return rep_num(a) +  (" "*op) + rep_num(b)
def min_rep_op(a,op,b,op_max):
    return min_rep(a,op_max) +  (" "*op) + min_rep(b,op_dec(op_max))

def rep_num(a):
    return ("["*(a+1)) + ("]"*(a+1))

def min_rep(n,op_max):
    if n < 9:
        return ("["*(n+1))+("]"*(n+1))
    for op in range(op_max,-1,-1):
        if (n, op) in reps:
            return reps[(n, op)]
    for op in range(op_max,-1,-1):
        if (n, op) in backwards:
            a,op,b = backwards[(n, op)]
            return min_rep_op(a,op,b,op_max)
    else:
        for m in rep_list:
            c = m[0]
            if c < n:
                r = n - c
                for op in range(op_max,-1,-1):
                    if (c, op) in backwards:
                        a,op,b = backwards[(c, op)]
                        if r<10:
                            return ("["*r) + min_rep_op(a,op,b,op_max) + ("]"*r)
                        else:
                            return "[" + min_rep(r-1,op_max) + min_rep_op(a,op,b,op_max) + "]"
                break

def expand(a,op,b):
    if op == 0:
        n = a+b
    elif op == 1:
        n = a*b
    elif op == 2:
        if b*math.log10(a) > math.log10(MAX):
            n = MAX
        else: 
            n = a**b
    elif (a,op,b) in forwards:
        n = forwards[(a,op,b)]
    else: # tetration and higher
        t = a
        for i in xrange(b-1):
            t = expand(a,op-1,t)
            if t>=MAX:
                break
        n = t

    if n > MAX-1:
        n = MAX
    forwards[(a,op,b)] = n

    if (n, op) in backwards:
        c = len(rep_op(*backwards[(n, op)]))
        if c > (a*2+op+b*2):
            backwards[(n, op)] = (a,op,b)
    else:
        backwards[(n, op)] = (a,op,b)

    return n

t = 0

# populate the multiplication, exponentiation, and tetration tables
for op in range(1,4):
    for a in range((1,2,2,2)[op],TABLE_SIZE):
        for b in range((1,2,2,2)[op],TABLE_SIZE):
            t = expand(a,op,b)
            if t == MAX:
                break
rep_list = sorted(backwards.keys(),key=lambda x: x[0]*4-x[1],reverse=True)

for i in list(range(1, 257))+[8191,13071,524287,2147483647,1449565302,1746268229,126528612,778085967,1553783038,997599288]:
    t = min_rep(i,3)
    reps[i] = t
    print i, t

산출:

1 [[]]
2 [[[]]]
3 [[[[]]]]
4 [[[[[]]]]]
5 [[[[[[]]]]]]
6 [[[[[[[]]]]]]]
7 [[[[[[[[]]]]]]]]
8 [[[[[[[[[]]]]]]]]]
9 [[[[]]]]  [[[]]]
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7

매스 매 티카

참고 : 이 알고리즘은 더 큰 테스트 번호 근처에있을 수 없습니다. 나는 실질적으로 다른 접근법이 필요하므로 다른 사람들이 더 낮은 숫자를 확인하기 위해 그대로 두겠습니다. 이 제출이 유효하지 않은 것으로 간주 될 수 있습니다.

여기에 처음 256 개의 숫자가 시작됩니다 (시작한 후에 다른 숫자가 추가되었으므로 별도의 솔루션을 찾아야합니다)

1=[[]]
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54=[[[[]]]]   [[[]]] [[[]]]
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57=[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]]
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140=[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[[[[]]]]]]
141=[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[[[[]]]]]]]
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149=[[[[[[[[[[]]]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]]]
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157=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[[[[]]]]]]]]
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161=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]] [[[[[[]]]]]]]
162=[[[[]]]]  [[[[[]]]]] [[[]]]
163=[[[[[]]]]  [[[[[]]]]] [[[]]]]
164=[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]] [[[]]]
165=[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]] [[[]]]]
166=[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]] [[[]]]
167=[[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]] [[[]]]]
168=[[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]]] [[[]]]
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170=[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]  [[[]]]]
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173=[[[[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]  [[[]]]]]]]
174=[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[[[[[]]]]]]]
175=[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
176=[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]  [[[]]]]]
177=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]] [[[[]]]]
178=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]] [[[[]]]]]
179=[[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]] [[[[]]]]]]
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181=[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]]
182=[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]]]
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184=[[[[[]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]] [[[[[]]]]]
185=[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]]] [[[[[[]]]]]]
186=[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]]] [[[[[[]]]]]]]
187=[[[[]]]   [[[[]]]]] [[[[[[]]]]  [[[]]]]]
188=[[[[[]]]   [[[[]]]]] [[[[[[]]]]  [[[]]]]]]
189=[[[[]]]]   [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
190=[[[[[]]]]   [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]
191=[[[[[[]]]]   [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]]
192=[[[[[]]]]]  [[[[]]]] [[[[]]]]
193=[[[[[[]]]]]  [[[[]]]] [[[[]]]]]
194=[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]] [[[[]]]]]]
195=[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[]]]]
196=[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]  [[[]]]
197=[[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]  [[[]]]]
198=[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]] [[[[]]]]
199=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]] [[[[]]]]]
200=[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]] [[[]]]
201=[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]] [[[]]]]
202=[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]] [[[]]]
203=[[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]] [[[]]]]
204=[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]] [[[[]]]]
205=[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]] [[[[]]]]]
206=[[[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]]]] [[[]]]
207=[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]] [[[[]]]]
208=[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]] [[[[]]]]]
209=[[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]
210=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
211=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]
212=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]
213=[[[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]] [[[[]]]]
214=[[[[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]] [[[[]]]]]
215=[[[[[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[]]]]]]]] [[[[[[]]]]]]
216=[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]
217=[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]
218=[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]
219=[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]
220=[[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]]
221=[[[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]]]
222=[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]
223=[[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]]
224=[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]  [[[[]]]]
225=[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]  [[[]]]
226=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]  [[[]]]]
227=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]  [[[]]]]]
228=[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]
229=[[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]]
230=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]]]
231=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
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233=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]  [[[[]]]]]
234=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]  [[[]]]
235=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]  [[[]]]]
236=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]
237=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]] [[[[]]]]
238=[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
239=[[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]
240=[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]]] [[[[]]]]
241=[[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]]] [[[[]]]]]
242=[[[[[[]]]]  [[[]]]]]  [[[]]] [[[]]]
243=[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]
244=[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]
245=[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]
246=[[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]]
247=[[[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]]]
248=[[[[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]]]]
249=[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]] [[[[]]]]
250=[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]] [[[]]]
251=[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]] [[[]]]]
252=[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[]]]
253=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[]]]]
254=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]] [[[]]]
255=[[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]] [[[]]]]
256=[[[[[]]]]]   [[[]]]

처음 256 개의 숫자의 총 길이는 7963 자입니다. 이것이 최적인지 모르겠습니다.

추가를 무시하고 8191과 13071의 결과는 몇 분 안에 524387로 발견되었습니다.

8191=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]
13071=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]
524387=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]]

에서 164 개 함께 문자.

코드는 다음과 같습니다.

ClearAll[repr, sl, i, j, op, re, frontop, rearop, lastop];
repr[n_] = "";
repr[0] = "[]";
(*Hard-code higher-order solutions*)
repr[65536] = "[[[]]]    [[[[]]]]";
repr[16] = "[[[]]]   [[[[]]]]";
repr[27] = "[[[[]]]]   [[[]]]";
repr[256] = "[[[[[]]]]]   [[[]]]";
repr[3125] = "[[[[[[]]]]]]   [[[]]]";
repr[46656] = "[[[[[[[]]]]]]]   [[[]]]";
repr[823543] = "[[[[[[[[]]]]]]]]   [[[]]]";
repr[16777216] = "[[[[[[[[[]]]]]]]]]   [[[]]]";
repr[387420489] = "[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]   [[[]]]";
frontop[n_] = 2;
rearop[n_] = 2;
sl[n_] := If[repr[n] == "", Infinity, StringLength@repr@n];
n = 256;
op[0] := (# + #2) &
op[1] := (#*#2) &
op[2] := (#^#2) &
re[0] := (repr@# <> repr@#2) &
re[1] := (repr@# <> " " <> repr@#2) &
re[2] := (repr@# <> "  " <> repr@#2) &
For[i = 0, i < n, ++i,
  If[sl[i + 1] >= sl[i] + 2,
   repr[i + 1] = "[" <> repr[i] <> "]";
   frontop[i + 1] = 2; rearop[i + 1] = 2
   ];
  For[m = 0, m < 3, ++m,
   If[rearop[i] >= m,
    For[j = 1, j <= i, ++j,
     If[frontop[j] < m || (res = op[m][i, j]) > n, Break[]];
     rep = re[m][i, j];
     If[sl[res] > StringLength@rep ||
       sl[res] == StringLength@rep && m > frontop[res],
      repr[res] = rep;
      If[m == 2,
       frontop[res] = 2; rearop[res] = 1,
       frontop[res] = m;
       rearop[res] = m
       ]
      ]
     ]
    ];
   If[frontop[i] >= m,
    For[j = 1, j <= i, ++j,
     If[rearop[j] < m || (res = op[m][j, i]) > n, Break[]];
     rep = re[m][j, i];
     If[sl[res] > StringLength@rep ||
       sl[res] == StringLength@rep && m > frontop[res],
      repr[res] = rep;
      If[m == 2,
       frontop[res] = 2; rearop[res] = 1,
       frontop[res] = m;
       rearop[res] = m
       ]
      ]
     ]
    ]
   ];
  ];

나는 철저한 검색을 사용하여 지수화했다. 정션 또는 고차 연산이 없습니다. 방금 고차 연산을 수동으로 시도했지만 실제로 2 31 미만의 숫자를 생성하는 소수의 조합 만 있으므로 작동하는 것을 하드 코딩했습니다.

편집 : 내 이전 솔루션은 우선 순위에 신경 쓰지 않고 단지 함께 던졌습니다. 지금은 생각 , 나의 새로운 코드를 수정 하지만 첫 번째 256 수의 비는 변경을하거나 (이 내가 확인 전에 유효) 8191을 가지고 ... 그리고 늦었 내가 지금 내 코드는 경우 말할 때까지의 사실 을 고정 . 내일 다시 살펴보고 설명을 추가하겠습니다. 우선 순위를 확인하면 약간 복잡하므로 검색 시간을 단축해야합니다.

편집 : 좋아, 예상대로 몇 가지 버그가있었습니다. 나는 지금 그것을 고쳐서 1-256 의 총 길이를 7963 으로 늘렸다 고 생각한다 . 차수가 더 높은 작업을 허용하는 경우 차선이 아닌 부품에서 더 짧은 솔루션을 찾을 수 있기 때문에 이것이 더 이상 최적인지는 확실하지 않습니다. 코드를 약간 정리하면 설명이 이어집니다.


2
계속 변경하여 죄송하지만 목록 형식을 더 읽기 쉬운 것으로 업데이트했습니다. 맹세 컨대!
Calvin 's Hobbies

1
256이 빠진 것 같습니다.
Calvin의 취미

1
@ Calvin'sHobbies 고정 및 추가 된 테트라 션. 1 ~ 256 범위를 최적으로 해결했다고 생각합니다.
마틴 엔더

1-256은 각각 줄 바꿈 또는 세미콜론이있는 8181자인 것 같습니다. 전반적으로 훌륭합니다!
Sparr

16 세가 차선책 인 것 같습니다. 16을 4 ^ 2 (18 자)로 표현하는 반면 2 ^^ 3의 경우 17 자입니다.
isaacg

1

파이썬 9219b

이것은 나의 두 번째 항목입니다. 나는 처음부터 시작하여 정렬 된 목록과 dicts에 blist 패키지를 사용하고 큰 솔루션을 찾는 새로운 접근법을 포함하여 새로운 데이터 배열을 시도했습니다. 1-256이 최적 인 것 같습니다. 런타임을 30 초에서 4m로 늘리면 큰 테스트 사례가 약 30 바이트 단축되었습니다.

# https://pypi.python.org/pypi/blist/
# provides sorteddict
from blist import *

import math, sys

TABLE_SIZE=2**8
MAX_INT = 2**31

repr = sorteddict()

for i in range(12):
    repr[i] = sorteddict({(i*2+2,-1,-1):("["*(i+1)+"]"*(i+1), str(i))});

repr    [65536] = sorteddict({(18, 4, 4):("[[[]]]    [[[[]]]]", "2^^^3")}); # 2^^^3 = 2^^(2^^2) = 2^(2^(2^2))
repr       [16] = sorteddict({(17, 3, 3):("[[[]]]   [[[[]]]]", "2^^3")}); # 2^^3 = 2^(2^2)
repr       [27] = sorteddict({(17, 3, 3):("[[[[]]]]   [[[]]]", "3^^2")}); # 3^^2 = 3^3
repr      [256] = sorteddict({(19, 3, 3):("[[[[[]]]]]   [[[]]]", "4^^2")}); # 4^^2 = 4^4
repr     [3125] = sorteddict({(21, 3, 3):("[[[[[[]]]]]]   [[[]]]", "5^^2")}); # 5^^2 = 5^5
repr    [46656] = sorteddict({(23, 3, 3):("[[[[[[[]]]]]]]   [[[]]]", "6^^2")}); # 6^^2 = 6^6
repr   [823543] = sorteddict({(25, 3, 3):("[[[[[[[[]]]]]]]]   [[[]]]", "7^^2")}); # 7^^2 = 7^7
repr [16777216] = sorteddict({(27, 3, 3):("[[[[[[[[[]]]]]]]]]   [[[]]]", "8^^2")}); # 8^^2 = 8^8
repr[387420489] = sorteddict({(29, 3, 3):("[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]   [[[]]]", "9^^2")}); # 9^^2 = 9^9

def expr_to_repr(a,op,b):
    rep_a = None
    for d,r in repr[a].iteritems():
        op_min, op_max = ((0,9),(1,9),(3,9))[op]
        if (d[1]==-1 or d[1]>=op_min) and d[2]<=op_max:
            rep_a = (d,r)
            break
    if not rep_a:
        rep_a = ((a*2+2,-1,-1),("["*(a+1)+"]"*(a+1), str(a)));

    rep_b = None
    for d,r in repr[b].iteritems():
        op_min, op_max = ((0,9),(1,9),(3,9))[op]
        if (d[1]==-1 or d[1]>=op_min) and d[2]<=op_max:
            rep_b = (d,r)
            break
    if not rep_b:
        rep_b = ((b*2+2,-1,-1),("["*(b+1)+"]"*(b+1), str(b)));

    r = rep_a[1][0] + " "*op + rep_b[1][0]

    return (
            (
                len(r),
                min(op, rep_a[0][1] if rep_a[0][1]!=-1 else op, rep_b[0][1] if rep_b[0][1]!=-1 else op), 
                max(op, rep_a[0][2], rep_b[0][2])
            ),
            ( 
                r, 
                expr_to_string(rep_a[1][1],op,rep_b[1][1])
            )
        );

def opsym(op):
    return ("+","*","^","^^")[op]

def expr_to_string(a,op,b):
    return str(a) + opsym(op) + str(b)

def calc(a,op,b):
    if op == 0:
        return min(a+b,MAX_INT)
    elif op == 1:
        return min(a*b,MAX_INT)
    elif op == 2:
        if (b*math.log10(a)>math.log10(MAX_INT)):
            return MAX_INT
        return min(a**b,MAX_INT)
    else:
        t = a
        for h in range(b):
            t = calc(a,op-1,t)
            if t>=MAX_INT:
                t = MAX_INT
                break
        return t

def populate_repr(a,op,b):
    o = (a,op,b)
    n = calc(*o)
    if n == MAX_INT:
        return n
    if n not in repr:
        repr[n] = sorteddict()
    r = expr_to_repr(*o)
    if conditional_replace_repr(n,r):
        for i in range(1,11):
            conditional_replace_repr(n+i,
                (
                    (
                        r[0][0]+i*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*i + r[1][0] + "]"*i,
                        "(" + r[1][1] + "+" + str(i) + ")"
                    )
                )
            )
    return n

def conditional_replace_repr(n,new_rep):
    if n not in repr:
        repr[n] = sorteddict()
        repr[n][new_rep[0]] = new_rep[1]
        return True
    found = None
    repl = False
    for d, r in repr[n].iteritems():
        if d[1] == new_rep[0][1] and d[2] == new_rep[0][2]:
            found = d
            if d[0] > new_rep[0][0]:
                repl = True
            break
    if (not found) or (found and repl):
        repr[n][new_rep[0]] = new_rep[1]
        if found:
            del repr[n][found]
        return True
    return False

def vaguely_decent_repr(n):
    if n <= TABLE_SIZE:
        return repr[n].iteritems().next()[1][0]
    if n in repr:
        return repr[n].iteritems().next()[1][0]
    else:
        keys = sorted(repr.keys(),reverse=True)
        best_rep = None
        tested = 0
        for i in keys:
            if i>n:
                continue
            if tested > 10:
                break
            tested += 1
            cand_rep = vaguely_decent_repr(n-i) + repr[i].iteritems().next()[1][0]
            if (not best_rep) or len(cand_rep) < len(best_rep):
                best_rep = cand_rep
        return best_rep



keys = repr.keys()
for k in keys:
    for d,r in repr[k].iteritems():
        for i in range(1,11):
            conditional_replace_repr(k+i,
                (
                    (
                        d[0]+i*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*i + r[0] + "]"*i,
                        "(" + r[1] + "+" + str(i) + ")"
                    )
                )
            )

# initialize the repr array with results of 1..256, 2+2 up to TABLE_SIZE^TABLE_SIZE
for row in range(2,TABLE_SIZE+1):
    for col in range(2,row):
        for op in range(1,3):
            populate_repr(row,op,col)
            if op > 1:
                populate_repr(col,op,row)
    for op in range(1,3):
        populate_repr(row,op,row)
    if row > 10:
        for frac in range(1,10):
            rep_a = repr[row-frac].iteritems().next()
            conditional_replace_repr(row,
                (
                    (
                        rep_a[0][0] + frac*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*frac + rep_a[1][0] + "]"*frac,
                        "(" + rep_a[1][1] + "+" + str(frac) + ")"
                    )
                )
            )
        for frac in range(10,row/2):
            rep_a = repr[frac].iteritems().next()
            rep_b = repr[row-frac].iteritems().next()
            conditional_replace_repr(row,
                (
                    (
                        rep_a[0][0]+rep_b[0][0],
                        min(rep_a[0][1],rep_b[0][1]),
                        max(rep_a[0][2],rep_b[0][2])
                    ),
                    (
                        rep_a[1][0] + rep_b[1][0],
                        rep_a[1][1] + "+" + rep_b[1][1]
                    )
                )
            )



# for n,reps in repr.iteritems():
#   for d,r in reps.iteritems():

for n in range(1,257):
    print str(n)+"="+repr[n].iteritems().next()[1][0]

for n in (8191,13071,524287,2147483647,1449565302,1746268229,126528612,778085967,1553783038,997599288):
    print str(n)+"="+vaguely_decent_repr(n)

산출:

1=[[]]
2=[[[]]]
3=[[[[]]]]
4=[[[[[]]]]]
5=[[[[[[]]]]]]
6=[[[[[[[]]]]]]]
7=[[[[[[[[]]]]]]]]
8=[[[]]]  [[[[]]]]
9=[[[[]]]]  [[[]]]
10=[[[[[]]]]  [[[]]]]
11=[[[[[[]]]]  [[[]]]]]
12=[[[[[]]]]] [[[[]]]]
13=[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]
14=[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]
15=[[[[[[]]]]]] [[[[]]]]
16=[[[]]]   [[[[]]]]
17=[[[[]]]   [[[[]]]]]
18=[[[[[]]]   [[[[]]]]]]
19=[[[[[[]]]   [[[[]]]]]]]
20=[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]
21=[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]
22=[[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]]
23=[[[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]]]
24=[[[[[[[]]]]]]] [[[[[]]]]]
25=[[[[[[]]]]]]  [[[]]]
26=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]]
27=[[[[]]]]   [[[]]]
28=[[[[[]]]]   [[[]]]]
29=[[[[[[]]]]   [[[]]]]]
30=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]]
31=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]]]
32=[[[]]]  [[[[[[]]]]]]
33=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]
34=[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]]
35=[[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]]]
36=[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]]
37=[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]]]
38=[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]]]]
39=[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]]]]]
40=[[[[[]]]]  [[[]]]] [[[[[]]]]]
41=[[[[]]]  [[[[]]]] [[[[[[]]]]]]]
42=[[[[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[]]]]]]]
43=[[[[[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[]]]]]]]]
44=[[[[[[]]]]  [[[]]]]] [[[[[]]]]]
45=[[[[]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]
46=[[[[[]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]]
47=[[[[[[]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]]]
48=[[[]]]   [[[[]]]] [[[[]]]]
49=[[[[[[[[]]]]]]]]  [[[]]]
50=[[[[[[[[[]]]]]]]]  [[[]]]]
51=[[[[[[[[[[]]]]]]]]  [[[]]]]]
52=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[]]]
53=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[]]]]
54=[[[[]]]]   [[[]]] [[[]]]
55=[[[[[]]]]   [[[]]] [[[]]]]
56=[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]
57=[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]]
58=[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]
59=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]]
60=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]] [[[]]]
61=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]] [[[]]]]
62=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]]] [[[]]]
63=[[[[]]]]  [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
64=[[[[[]]]]]  [[[[]]]]
65=[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]
66=[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]
67=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]
68=[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]
69=[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]]
70=[[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]
71=[[[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]]
72=[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]] [[[]]]
73=[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]] [[[]]]]
74=[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]]] [[[]]]
75=[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]
76=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]]
77=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]]]
78=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]
79=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]]
80=[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]]]
81=[[[[]]]]  [[[[[]]]]]
82=[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]
83=[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]]
84=[[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]]]
85=[[[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]]]]
86=[[[[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]]]]]
87=[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[[]]]]
88=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[[]]]]]
89=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[[]]]]]]
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91=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]] [[[[]]]]]
92=[[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]] [[[[]]]]]]
93=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]]] [[[[]]]]
94=[[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]]] [[[[]]]]]
95=[[[[[[]]]   [[[[]]]]]]] [[[[[[]]]]]]
96=[[[]]]  [[[[[[]]]]]] [[[[]]]]
97=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]] [[[[]]]]]
98=[[[[[[[[]]]]]]]]  [[[]]] [[[]]]
99=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]] [[[[]]]]
100=[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]
101=[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]]
102=[[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]]]
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107=[[[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[[]]]]]]]]
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110=[[[[[[]]]]   [[[]]] [[[[[]]]]]]]
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큰 경우 1275b

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