책을 쌓을 때 일반적으로 가장 큰 책을 맨 아래에 놓고 가장 작은 책을 맨 위에 놓습니다. 그러나 잠복 OCD를 사용하면 두 권의 책 중 하나는 짧지 만 (높이는) 다른 책보다 넓은 경우 매우 불안합니다. 어떤 순서로 주문하든 맨 위의 책은 한 쪽의 맨 아래 책을 넘어 확장됩니다.

예를 들어 한 책에 치수가 (10,15)있고 다른 책에 치수 가 있다고 가정합니다 (11,14). 어떤 식 으로든 아무리 두어도 오버행이 발생합니다. 그러나 치수가 (4,3)및 (5,6)인 책이있는 경우 책을 책 아래에 배치하여 돌출부를 피할 수 있습니다.

이 도전의 목적을 위해 우리는 바로 아래 의 책과 관련해서 만 돌출부를 고려할 것 입니다. 예 내가 스택이있는 경우 (5,5), (3,3), (4,4)(제정신 사람이 할 것하지 않는 것이), 오버행 등 상위 책 수는, 그것은 아래 책을 넘어 확장되지 않지만. 마찬가지로, 스택 (3,3), (3,3), (4,4)또한 하단 하나를 넘어 확장 상단 책에도 불구하고, 단 하나의 오버행이있다.

도전

책 치수에 대한 정수 쌍 목록이 제공되면 돌출부 수가 최소화되도록 해당 쌍 / 책을 정렬하십시오. 당신은 책을 회전해서는 안됩니다-나는 모든 쪽이 같은 방향을 향하게하고 싶습니다. 오버행 수가 동일한 솔루션이 여러 개인 경우 해당 순서를 선택할 수 있습니다. 정렬 알고리즘이 안정적 일 필요는 없습니다. 구현시 책 크기가 각각 2 ¹⁶ 미만이라고 가정 할 수 있습니다 .

시간 복잡성 : 이 기능을 좀 더 흥미롭게 만들려면 알고리즘의 가장 복잡한 최악의 복잡성은 스택 크기에서 다항식이어야합니다. 따라서 가능한 모든 순열을 테스트 할 수는 없습니다. 알고리즘의 최적 성과 복잡성에 대한 간단한 증거와 선택적으로 큰 임의의 입력에 대한 스케일링을 보여주는 플롯을 포함하십시오. 물론 최대 크기의 입력을 코드가 O (1)에서 실행되는 인수로 사용할 수 없습니다.

프로그램이나 함수를 작성하고 STDIN, ARGV 또는 함수 인수를 통해 편리한 (전처리되지 않은) 목록 형식으로 입력 한 후 결과를 인쇄하거나 반환 할 수 있습니다.

이것은 코드 골프이므로 가장 짧은 대답 (바이트)이 이깁니다.

나는 다항식 솔루션이 존재한다고 확신하지만, 당신이 나를 잘못 증명할 수 있다면, 골프 제출 대신에 그러한 증거를 제출할 수 있습니다. 이 경우 P ≠ NP로 가정 할 수 있습니다 . 나는 첫 번째 올바른 증거를 받아들이고 그에 대한 현상금을 수여합니다.

예

In:  [[1, 1], [10, 10], [4, 5], [7, 5], [7, 7], [10, 10], [9, 8], [7, 5], [7, 5], [3, 1]]
Out: [[10, 10], [10, 10], [9, 8], [7, 7], [7, 5], [7, 5], [7, 5], [4, 5], [3, 1], [1, 1]]

In:  [[4, 5], [5, 4], [5, 4], [5, 4], [5, 4], [4, 5], [4, 5], [4, 5], [5, 4], [4, 5]]
Out: [[4, 5], [4, 5], [4, 5], [4, 5], [4, 5], [5, 4], [5, 4], [5, 4], [5, 4], [5, 4]]
  or [[5, 4], [5, 4], [5, 4], [5, 4], [5, 4], [4, 5], [4, 5], [4, 5], [4, 5], [4, 5]]

In:  [[2, 3], [1, 1], [5, 5], [7, 1]]
Out: [[5, 5], [2, 3], [7, 1], [1, 1]]
 or  [[5, 5], [2, 3], [1, 1], [7, 1]]
 or  [[7, 1], [5, 5], [2, 3], [1, 1]]
 or  [[7, 1], [1, 1], [5, 5], [2, 3]]

나는 이것을 손으로 만들었으므로 실수를 발견하면 알려주십시오.

피시스 , 30

FN_SQFbYIgeeYeb~b]NB)E~Y]]N;sY

이것은 grc의 멋진 알고리즘의 직접적인 골프입니다. 컴파일 된 파이썬 코드에서 위의 pyth 프로그램과 정확히 일치합니다.

Q = eval(input())
Y = []
for N in sorted(Q)[::-1]:
     for b in Y:
         if Y[-1][-1] >= b[-1]:
             b += [N]
             break
     else:
         Y += [[N]]
print(Psum(Y))

이 문맥에서 Psum(Y)함수는 python과 같습니다 sum(Y,[]).

실제 컴파일 및 실행 코드 (에서 pyth -d) :

Y=[]
Q=copy(eval(input()))
for N in neg(Psorted(Q)):
 for b in Y:
  if gte(end(end(Y)),end(b)):
   b+=[N]
   break
 else:
  Y+=[[N]]
Pprint("\n",Psum(Y))

파이썬, 113

P=[]
for n in sorted(input())[::-1]:
 for p in P:
  if p[-1][1]>=n[1]:p+=[n];break
 else:P+=[[n]]
print sum(P,[])

책 목록을 먼저 내림차순으로 정렬 한 후 (너비 먼저, 높이로), 겹치지 않고 책을 더미로 분할합니다. 각 책을 배치 할 위치를 결정하기 위해 책의 높이를 각 파일의 상단 책 높이와 비교합니다. 가능한 첫 번째 파일에 배치되거나 새 파일이 작성됩니다.

나는 시간 복잡성에별로 좋지 않지만 O ( N ² ) 의 최악의 경우를 믿습니다 . 각각 최대 N 개의 반복이있는 두 개의 루프가 있습니다 . 나는 또한 파이썬의 내장 정렬 사용 O를 ( N 로그 N ).

이 알고리즘이 최적의 솔루션을 생성한다는 첫 번째 증거는 잘못된 것으로 판명되었습니다. 이것을 증명하는 것에 대한 대화에서 위대한 토론에 대해 @xnor와 @ Sp3000에게 큰 감사를 전합니다 ( 여기에서 시작할 수 있습니다 ). 올바른 증거를 제시 한 후 @xnor는 그 일부가 이미 완료되었음을 발견했습니다 ( Dilworth 's theorem ).

어쨌든 증명에 대한 개요는 다음과 같습니다 (@xnor 및 @ Sp3000에 대한 신용).

먼저, 우리는 antipile 또는 antichain이라는 개념을 정의합니다 ( @xnor에서 인용 ) :

antipile 높이를 감소하지만, 폭 증가 책의 순서입니다
그래서, 각각의 연속이 책은 엄격하게 키가 있지만 확실히 작은 폭
참고 있다는 antipile의 다른 책을 통해 antipile 오버행의 모든 책은
antipile 캔 이내에, 두 개의 책 없습니다 같은 더미에있을
당신이 X 도서의 antipile을 찾을 수 있다면, 결과적으로 다음, 그 책은 다른 더미에 있어야합니다
그래서, 가장 큰 antipile의 크기가 더미의 수에 하한입니다

그런 다음 책을 너비 (첫 번째)와 높이 (초) *로 내림차순으로 정렬합니다.

각 책 B 에 대해 다음과 같이합니다.

1. B 가 첫 번째 파일에 맞을 수 있으면 B 를 배치합니다.
2. 그렇지 않으면, 우리는 B 가 위에 놓일 수있는 가장 빠른 * 파일 x 를 찾습니다 . 필요한 경우 새 파일이 될 수 있습니다.
3. 다음으로 B 를 P에 연결합니다 . 여기서 P 는 이전 파일 x-1 의 최상위 책입니다 .
4. 우리는 지금 그것을 알고 있습니다 :
   • 책은 너비별로 내림차순으로 정렬되므로 B 는 P 보다 너비가 엄격하게 * 작습니다.
   • B는 높이보다 엄격하게 더 큰 P , 또는 우리는 배치했을 B를 상단에 P

이제 우리는 모든 책 (첫 번째 파일의 책을 제외하고)에서 너비가 크고 높이가 낮은 이전 파일의 책으로 연결되는 링크를 구성했습니다.

@ Sp3000의 우수한 다이어그램은 이것을 잘 보여줍니다.

마지막 말뚝 (오른쪽)에서 첫 번째 말뚝 (왼쪽)까지의 경로를 따라 가면 파일 제거를 얻을 수 있습니다. 중요한 것은이 파일의 길이는 파일 수와 같습니다. 따라서 사용 된 파일 수는 최소입니다.

마지막으로 책을 겹치지 않고 최소 개수의 말뚝으로 구성 했으므로 최소 겹침 수를 가진 하나의 말뚝을 얻기 위해 서로 쌓아 놓을 수 있습니다.

_{* 이 유용한 의견 은 몇 가지 사항을 설명합니다}