소개

가장 일반적인 두 삼각 함수, sine및 cosine(또는 sin과 cos짧은 경우), 행렬 값의 함수로 확장 될 수있다. 행렬 값 아날로그를 계산하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다.

다음과 같은 두 가지 중요한 삼각 정체성을 고려하십시오.

이러한 아이덴티티를 사용하여 sin와에 대한 다음 방정식을 도출 할 수 있습니다 cos.

행렬 지수는 모든 정사각형 행렬 존재에 의해 주어진다 :

여기서 ⁰ 항등 행렬이며 I 과 동일한 치수 . 행렬 지수를 사용하여이 두 삼각 함수 (및 다른 모든 삼각 함수)는 행렬의 함수로 평가할 수 있습니다.

도전

정사각 행렬 A가 주어지면 sin(A)및 의 값을 출력합니다 cos(A).

규칙

• 입력 및 출력은 편리하고 합리적인 형식 (2D 배열, 언어 매트릭스 형식 등) 일 수 있습니다.
• 단일 프로그램, 2 개의 독립 프로그램, 단일 기능 또는 2 개의 기능을 작성할 수 있습니다. 두 함수를 작성하도록 선택하면 코드가 두 함수 (예 : 가져 오기 및 도우미 함수)간에 공유 될 수 있습니다.
• 입력 행렬의 값은 항상 정수입니다.
• 부동 소수점 부정확의 결과로 솔루션에 정확도 문제가있을 수 있습니다. 언어에 마법의 무한 정밀도 값이있는 경우 솔루션은 완벽하게 작동해야합니다 (무한 시간 및 / 또는 메모리가 필요하다는 사실을 무시하고). 그러나 이러한 마법의 무한 정밀도 값은 존재하지 않기 때문에 정밀도가 제한되어 부정확 한 부분이 허용됩니다. 이 규칙은 출력에서 ​​특정 정도의 정밀도를 요구하여 발생하는 복잡한 문제를 피하기 위해 마련되었습니다.
• 행렬 인수 (쌍곡선 삼각 함수 포함)에 대한 삼각 함수를 계산하는 내장은 허용되지 않습니다. 다른 행렬 내장 (예 : 곱셈, 지수화, 대각 화, 분해 및 행렬 지수)이 허용됩니다.

테스트 사례

체재: A -> sin(A), cos(A)

[[0]] -> [[0]], [[1]]
[[0, 2], [3, 5]] -> [[-0.761177343863758, 0.160587281888277], [0.240880922832416, -0.359709139143065]], [[0.600283445979886, 0.119962280223493], [0.179943420335240, 0.900189146538619]]
[[1, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 1, 0]] -> [[0.841470984807897, -0.158529015192103, 0.841470984807897], [0, 0, 0], [0, 1, 0]], [[0.540302305868140, -0.459697694131860, -0.459697694131860], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
[[1, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]] -> [[0.841470984807897, 0, 0, 0, 0], [0, 0.841470984807897, 0, 0, 0], [0, 0, 0.841470984807897, 0, 0], [0, 0, 0, 0.841470984807897, 0], [0, 0, 0, 0, 0.841470984807897]], [[0.540302305868140, 0, 0, 0, 0], [0, 0.540302305868140, 0, 0, 0], [0, 0, 0.540302305868140, 0, 0], [0, 0, 0, 0.540302305868140, 0], [0, 0, 0, 0, 0.540302305868140]]
[[-3, 2, -6], [3, 0, 4], [4, -2, 7]] -> [[-0.374786510963954, 0.135652884035570, -1.35191037980742], [1.14843105375406, 0.773644542790111, 1.21625749577185], [1.21625749577185, -0.135652884035570, 2.19338136461532]], [[4.13614256031450, -1.91289828483056, 5.50873853927692], [-2.63939111203107, 1.49675144828342, -3.59584025444636], [-3.59584025444636, 1.91289828483056, -4.96843623340878]]

추가 자료

Math.SE에 대한이 훌륭한 질문 에는 삼각 함수의 행렬 값 아날로그에 대한 대체 파생물이 포함됩니다.

줄리아, 33 19 바이트

A->reim(expm(A*im))

이것은 2 차원 부동 소수점 배열을 받아들이고 코사인과 사인에 각각 해당하는 배열의 튜플을 반환하는 함수입니다. 이는 사인이 맨 먼저 나열되는 테스트 사례의 순서와 반대입니다.

실수 행렬 A의 경우

과

즉, A 의 사인과 코사인은 행렬 지수 e ^iA 의 허수와 실수 부분에 해당합니다 . 행렬 함수 (Higham, 2008)를 참조하십시오 .

온라인으로 사용해보십시오! (모든 테스트 케이스 포함)

Dennis 덕분에 14 바이트를 절약했습니다!

Mathematica, 27 바이트

{Im@#,Re@#}&@MatrixExp[I#]&

@ Rainer P. 의 솔루션을 기반으로 합니다.

정사각 행렬 A을 인수로 받아서를 포함하는 목록을 출력합니다 {sin(A), cos(A)}.

입력은 N긴 정확한 공식 대신 숫자 값을 가져 오고 중첩 된 목록 대신 별도의 행렬로 Column결과를 표시하도록 형식화 됩니다.sin(A)cos(A)

값을 별도로 계산하려면 38 바이트 가 필요 합니다

{(#2-#)I,+##}/2&@@MatrixExp/@{I#,-I#}&

젤리 , 23 22 바이트

³æ*÷!
®Ḥ‘©r0Ç€s2_@/µÐL

온라인으로 사용해보십시오!

배경

이 접근법은 사인 및 코사인에 대한 Taylor 시리즈를 직접 계산합니다 .

결과가 더 이상 변경되지 않을 때까지 두 계열의 초기 항의 수를 증가 시키므로 정확도는 부동 소수점 유형의 정밀도에 의해서만 제한됩니다.

작동 원리

®Ḥ‘©r0Ç€s2_@/µÐL  Main link, Argument: A (matrix)

             µÐL  Loop; apply the chain until the results are no longer unique.
                  Return the last unique result.
®                   Yield the value of the register (initially zero).
 Ḥ                  Unhalve/double it.
  ‘©                Increment and copy the result (n) to the register.
    r0              Range; yield [n, ..., 0].
      ǀ            Apply the helper link to each k in the range.
        s2          Split the results into chunks of length 2. Since n is always
                    odd, this yields [[Ç(n), Ç(n-1)], ..., [Ç(1), Ç(0)]].
          _@/       Reduce the columns of the result by swapped subtraction,
                    yielding [Ç(1) - Ç(3) + ... Ç(n), Ç(0) - Ç(2) + ... Ç(n - 1)].


³æ*÷!             Helper link. Argument: k (integer)

³                 Yield the first command-line argument (A).
 æ*               Elevate A to the k-th power.
    !             Yield the factorial of k.
   ÷              Divide the left result by the right one.

C ++, 305 바이트

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
int x,i=0, j;void p(std::vector<double> v){int x=sqrt(v.size());for(i=0;i<x;i++){for(j=0;j<x;j++) std::cout << v[x] << " ";std::cout << "\n";}}int main(){std::vector<double> s, c;while(std::cin >> x){s.push_back(sin(x));c.push_back(cos(x));}p(s);p(c);}

입력은 stdin의 완벽한 제곱 인 숫자의 목록입니다. 출력은 표준 출력에서 ​​꽤 인쇄 된 2D 배열입니다

Matlab, 138121 52 50 바이트

행렬 지수가 허용되기 때문에 (내가 먼저 알지 못했던 것) 더 이상 도우미 기능을 정의 할 필요가 없으며 모든 것이 사소하게 해결 될 수 있습니다.

A=input('')*i;a=expm(A);b=expm(-A);[(b-a)*i,a+b]/2

입력은 매트릭스 [1,2;4,5]또는 예를 들어 대안 이어야합니다[[1,2];[3,4]]

예기치 않은 것은 (후시가 그렇게 예상치 못한) 코사인과 사인 행렬이 여전히 만족한다는 것입니다.

I = sin(A)^2+cos(A)^2

Matlab, 37 바이트

@(A){imag(expm(i*A));real(expm(i*A))}

줄리아 0.4, 28 바이트

A->imag({E=expm(im*A),im*E})

입력은 float의 행렬이고 output은 행렬의 배열입니다. 온라인으로 사용해보십시오!

세이지, 44 바이트

lambda A:map(exp(I*A).apply_map,(imag,real))

온라인으로 사용해보십시오 .

이 익명 함수는 각각 sin(A)및에 해당하는 2 개의 행렬 목록을 반환합니다 cos(A). exp(I*A)에 대한 행렬 지수 I*A( A모든 요소에 허수 단위를 곱한 값) 를 계산하고 모든 요소 에 적용된 matrix.apply_map(f)행렬을 반환합니다 f. 적용함으로써 imag및 real행렬에 (스칼라 값의 가상 및 실제 부품을 얻기를위한 기능을), 우리는의 값을 취득 sin(A)하고 cos(A), (도전 텍스트에서 참조) 오일러의 유명한 정체성 덕분에.