Python (PyPy JIT v1.9 포함) ~ 1.9 초
사용하여 여러 다항식 이차 체를 . 나는 이것을 코드 도전으로 삼았으므로 외부 라이브러리 (표준 log함수 이외의 다른)를 사용하지 않기로 결정했다 . 타이밍을 설정하는 경우 PyPy JIT를 사용해야합니다 . cPython 보다 4-5 배 빠릅니다 .
업데이트 (2013-07-29) :
처음 게시 한 이후로 몇 가지 사소하지만 크게 변경하여 전체 속도를 약 2.5 배 증가시킵니다.
업데이트 (2014-08-27) :
이 게시물이 여전히 주목을 받고 my_math.py있으므로, 사용중인 모든 사람을 위해 두 가지 오류 수정을 업데이트 했습니다.
isqrt결함이 있으며 때로는 완벽한 제곱에 매우 가까운 값에 대해 잘못된 출력을 생성합니다. 이것은 수정되었으며 훨씬 더 나은 시드를 사용하여 성능이 향상되었습니다.is_prime업데이트되었습니다. 완벽한 사각 2 스프링을 제거하려는 이전의 시도는 반쯤 마음에 들었습니다. 테스트 된 값에 제곱이 없는지 확인하기 위해 Mathmatica에서 사용하는 기술인 3-sprp check를 추가했습니다.
업데이트 (2014-11-24) :
계산이 끝날 때 사소한 합치점이 발견되지 않으면 프로그램은 이제 추가 다항식을 체질합니다. 이것은 이전에 코드에서로 표시되었습니다 TODO.
mpqs.py
from my_math import *
from math import log
from time import clock
from argparse import ArgumentParser
# Multiple Polynomial Quadratic Sieve
def mpqs(n, verbose=False):
if verbose:
time1 = clock()
root_n = isqrt(n)
root_2n = isqrt(n+n)
# formula chosen by experimentation
# seems to be close to optimal for n < 10^50
bound = int(5 * log(n, 10)**2)
prime = []
mod_root = []
log_p = []
num_prime = 0
# find a number of small primes for which n is a quadratic residue
p = 2
while p < bound or num_prime < 3:
# legendre (n|p) is only defined for odd p
if p > 2:
leg = legendre(n, p)
else:
leg = n & 1
if leg == 1:
prime += [p]
mod_root += [int(mod_sqrt(n, p))]
log_p += [log(p, 10)]
num_prime += 1
elif leg == 0:
if verbose:
print 'trial division found factors:'
print p, 'x', n/p
return p
p = next_prime(p)
# size of the sieve
x_max = len(prime)*60
# maximum value on the sieved range
m_val = (x_max * root_2n) >> 1
# fudging the threshold down a bit makes it easier to find powers of primes as factors
# as well as partial-partial relationships, but it also makes the smoothness check slower.
# there's a happy medium somewhere, depending on how efficient the smoothness check is
thresh = log(m_val, 10) * 0.735
# skip small primes. they contribute very little to the log sum
# and add a lot of unnecessary entries to the table
# instead, fudge the threshold down a bit, assuming ~1/4 of them pass
min_prime = int(thresh*3)
fudge = sum(log_p[i] for i,p in enumerate(prime) if p < min_prime)/4
thresh -= fudge
if verbose:
print 'smoothness bound:', bound
print 'sieve size:', x_max
print 'log threshold:', thresh
print 'skipping primes less than:', min_prime
smooth = []
used_prime = set()
partial = {}
num_smooth = 0
num_used_prime = 0
num_partial = 0
num_poly = 0
root_A = isqrt(root_2n / x_max)
if verbose:
print 'sieving for smooths...'
while True:
# find an integer value A such that:
# A is =~ sqrt(2*n) / x_max
# A is a perfect square
# sqrt(A) is prime, and n is a quadratic residue mod sqrt(A)
while True:
root_A = next_prime(root_A)
leg = legendre(n, root_A)
if leg == 1:
break
elif leg == 0:
if verbose:
print 'dumb luck found factors:'
print root_A, 'x', n/root_A
return root_A
A = root_A * root_A
# solve for an adequate B
# B*B is a quadratic residue mod n, such that B*B-A*C = n
# this is unsolvable if n is not a quadratic residue mod sqrt(A)
b = mod_sqrt(n, root_A)
B = (b + (n - b*b) * mod_inv(b + b, root_A))%A
# B*B-A*C = n <=> C = (B*B-n)/A
C = (B*B - n) / A
num_poly += 1
# sieve for prime factors
sums = [0.0]*(2*x_max)
i = 0
for p in prime:
if p < min_prime:
i += 1
continue
logp = log_p[i]
inv_A = mod_inv(A, p)
# modular root of the quadratic
a = int(((mod_root[i] - B) * inv_A)%p)
b = int(((p - mod_root[i] - B) * inv_A)%p)
k = 0
while k < x_max:
if k+a < x_max:
sums[k+a] += logp
if k+b < x_max:
sums[k+b] += logp
if k:
sums[k-a+x_max] += logp
sums[k-b+x_max] += logp
k += p
i += 1
# check for smooths
i = 0
for v in sums:
if v > thresh:
x = x_max-i if i > x_max else i
vec = set()
sqr = []
# because B*B-n = A*C
# (A*x+B)^2 - n = A*A*x*x+2*A*B*x + B*B - n
# = A*(A*x*x+2*B*x+C)
# gives the congruency
# (A*x+B)^2 = A*(A*x*x+2*B*x+C) (mod n)
# because A is chosen to be square, it doesn't need to be sieved
val = sieve_val = A*x*x + 2*B*x + C
if sieve_val < 0:
vec = set([-1])
sieve_val = -sieve_val
for p in prime:
while sieve_val%p == 0:
if p in vec:
# keep track of perfect square factors
# to avoid taking the sqrt of a gigantic number at the end
sqr += [p]
vec ^= set([p])
sieve_val = int(sieve_val / p)
if sieve_val == 1:
# smooth
smooth += [(vec, (sqr, (A*x+B), root_A))]
used_prime |= vec
elif sieve_val in partial:
# combine two partials to make a (xor) smooth
# that is, every prime factor with an odd power is in our factor base
pair_vec, pair_vals = partial[sieve_val]
sqr += list(vec & pair_vec) + [sieve_val]
vec ^= pair_vec
smooth += [(vec, (sqr + pair_vals[0], (A*x+B)*pair_vals[1], root_A*pair_vals[2]))]
used_prime |= vec
num_partial += 1
else:
# save partial for later pairing
partial[sieve_val] = (vec, (sqr, A*x+B, root_A))
i += 1
num_smooth = len(smooth)
num_used_prime = len(used_prime)
if verbose:
print 100 * num_smooth / num_prime, 'percent complete\r',
if num_smooth > num_used_prime:
if verbose:
print '%d polynomials sieved (%d values)'%(num_poly, num_poly*x_max*2)
print 'found %d smooths (%d from partials) in %f seconds'%(num_smooth, num_partial, clock()-time1)
print 'solving for non-trivial congruencies...'
used_prime_list = sorted(list(used_prime))
# set up bit fields for gaussian elimination
masks = []
mask = 1
bit_fields = [0]*num_used_prime
for vec, vals in smooth:
masks += [mask]
i = 0
for p in used_prime_list:
if p in vec: bit_fields[i] |= mask
i += 1
mask <<= 1
# row echelon form
col_offset = 0
null_cols = []
for col in xrange(num_smooth):
pivot = col-col_offset == num_used_prime or bit_fields[col-col_offset] & masks[col] == 0
for row in xrange(col+1-col_offset, num_used_prime):
if bit_fields[row] & masks[col]:
if pivot:
bit_fields[col-col_offset], bit_fields[row] = bit_fields[row], bit_fields[col-col_offset]
pivot = False
else:
bit_fields[row] ^= bit_fields[col-col_offset]
if pivot:
null_cols += [col]
col_offset += 1
# reduced row echelon form
for row in xrange(num_used_prime):
# lowest set bit
mask = bit_fields[row] & -bit_fields[row]
for up_row in xrange(row):
if bit_fields[up_row] & mask:
bit_fields[up_row] ^= bit_fields[row]
# check for non-trivial congruencies
for col in null_cols:
all_vec, (lh, rh, rA) = smooth[col]
lhs = lh # sieved values (left hand side)
rhs = [rh] # sieved values - n (right hand side)
rAs = [rA] # root_As (cofactor of lhs)
i = 0
for field in bit_fields:
if field & masks[col]:
vec, (lh, rh, rA) = smooth[i]
lhs += list(all_vec & vec) + lh
all_vec ^= vec
rhs += [rh]
rAs += [rA]
i += 1
factor = gcd(list_prod(rAs)*list_prod(lhs) - list_prod(rhs), n)
if factor != 1 and factor != n:
break
else:
if verbose:
print 'none found.'
continue
break
if verbose:
print 'factors found:'
print factor, 'x', n/factor
print 'time elapsed: %f seconds'%(clock()-time1)
return factor
if __name__ == "__main__":
parser =ArgumentParser(description='Uses a MPQS to factor a composite number')
parser.add_argument('composite', metavar='number_to_factor', type=long,
help='the composite number to factor')
parser.add_argument('--verbose', dest='verbose', action='store_true',
help="enable verbose output")
args = parser.parse_args()
if args.verbose:
mpqs(args.composite, args.verbose)
else:
time1 = clock()
print mpqs(args.composite)
print 'time elapsed: %f seconds'%(clock()-time1)
my_math.py
# divide and conquer list product
def list_prod(a):
size = len(a)
if size == 1:
return a[0]
return list_prod(a[:size>>1]) * list_prod(a[size>>1:])
# greatest common divisor of a and b
def gcd(a, b):
while b:
a, b = b, a%b
return a
# modular inverse of a mod m
def mod_inv(a, m):
a = int(a%m)
x, u = 0, 1
while a:
x, u = u, x - (m/a)*u
m, a = a, m%a
return x
# legendre symbol (a|m)
# note: returns m-1 if a is a non-residue, instead of -1
def legendre(a, m):
return pow(a, (m-1) >> 1, m)
# modular sqrt(n) mod p
# p must be prime
def mod_sqrt(n, p):
a = n%p
if p%4 == 3:
return pow(a, (p+1) >> 2, p)
elif p%8 == 5:
v = pow(a << 1, (p-5) >> 3, p)
i = ((a*v*v << 1) % p) - 1
return (a*v*i)%p
elif p%8 == 1:
# Shank's method
q = p-1
e = 0
while q&1 == 0:
e += 1
q >>= 1
n = 2
while legendre(n, p) != p-1:
n += 1
w = pow(a, q, p)
x = pow(a, (q+1) >> 1, p)
y = pow(n, q, p)
r = e
while True:
if w == 1:
return x
v = w
k = 0
while v != 1 and k+1 < r:
v = (v*v)%p
k += 1
if k == 0:
return x
d = pow(y, 1 << (r-k-1), p)
x = (x*d)%p
y = (d*d)%p
w = (w*y)%p
r = k
else: # p == 2
return a
#integer sqrt of n
def isqrt(n):
c = n*4/3
d = c.bit_length()
a = d>>1
if d&1:
x = 1 << a
y = (x + (n >> a)) >> 1
else:
x = (3 << a) >> 2
y = (x + (c >> a)) >> 1
if x != y:
x = y
y = (x + n/x) >> 1
while y < x:
x = y
y = (x + n/x) >> 1
return x
# strong probable prime
def is_sprp(n, b=2):
if n < 2: return False
d = n-1
s = 0
while d&1 == 0:
s += 1
d >>= 1
x = pow(b, d, n)
if x == 1 or x == n-1:
return True
for r in xrange(1, s):
x = (x * x)%n
if x == 1:
return False
elif x == n-1:
return True
return False
# lucas probable prime
# assumes D = 1 (mod 4), (D|n) = -1
def is_lucas_prp(n, D):
P = 1
Q = (1-D) >> 2
# n+1 = 2**r*s where s is odd
s = n+1
r = 0
while s&1 == 0:
r += 1
s >>= 1
# calculate the bit reversal of (odd) s
# e.g. 19 (10011) <=> 25 (11001)
t = 0
while s:
if s&1:
t += 1
s -= 1
else:
t <<= 1
s >>= 1
# use the same bit reversal process to calculate the sth Lucas number
# keep track of q = Q**n as we go
U = 0
V = 2
q = 1
# mod_inv(2, n)
inv_2 = (n+1) >> 1
while t:
if t&1:
# U, V of n+1
U, V = ((U + V) * inv_2)%n, ((D*U + V) * inv_2)%n
q = (q * Q)%n
t -= 1
else:
# U, V of n*2
U, V = (U * V)%n, (V * V - 2 * q)%n
q = (q * q)%n
t >>= 1
# double s until we have the 2**r*sth Lucas number
while r:
U, V = (U * V)%n, (V * V - 2 * q)%n
q = (q * q)%n
r -= 1
# primality check
# if n is prime, n divides the n+1st Lucas number, given the assumptions
return U == 0
# primes less than 212
small_primes = set([
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97,101,103,107,109,113,
127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,
179,181,191,193,197,199,211])
# pre-calced sieve of eratosthenes for n = 2, 3, 5, 7
indices = [
1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97,101,103,107,109,113,121,127,131,
137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,
179,181,187,191,193,197,199,209]
# distances between sieve values
offsets = [
10, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6,
6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4,
2, 4, 8, 6, 4, 6, 2, 4, 6, 2, 6, 6,
4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 2,10, 2]
max_int = 2147483647
# an 'almost certain' primality check
def is_prime(n):
if n < 212:
return n in small_primes
for p in small_primes:
if n%p == 0:
return False
# if n is a 32-bit integer, perform full trial division
if n <= max_int:
i = 211
while i*i < n:
for o in offsets:
i += o
if n%i == 0:
return False
return True
# Baillie-PSW
# this is technically a probabalistic test, but there are no known pseudoprimes
if not is_sprp(n, 2): return False
# idea shamelessly stolen from Mathmatica
# if n is a 2-sprp and a 3-sprp, n is necessarily square-free
if not is_sprp(n, 3): return False
a = 5
s = 2
# if n is a perfect square, this will never terminate
while legendre(a, n) != n-1:
s = -s
a = s-a
return is_lucas_prp(n, a)
# next prime strictly larger than n
def next_prime(n):
if n < 2:
return 2
# first odd larger than n
n = (n + 1) | 1
if n < 212:
while True:
if n in small_primes:
return n
n += 2
# find our position in the sieve rotation via binary search
x = int(n%210)
s = 0
e = 47
m = 24
while m != e:
if indices[m] < x:
s = m
m = (s + e + 1) >> 1
else:
e = m
m = (s + e) >> 1
i = int(n + (indices[m] - x))
# adjust offsets
offs = offsets[m:] + offsets[:m]
while True:
for o in offs:
if is_prime(i):
return i
i += o
샘플 I / O :
$ pypy mpqs.py --verbose 94968915845307373740134800567566911
smoothness bound: 6117
sieve size: 24360
log threshold: 14.3081031579
skipping primes less than: 47
sieving for smooths...
144 polynomials sieved (7015680 values)
found 405 smooths (168 from partials) in 0.513794 seconds
solving for non-trivial congruencies...
factors found:
216366620575959221 x 438925910071081891
time elapsed: 0.685765 seconds
$ pypy mpqs.py --verbose 523022617466601111760007224100074291200000001
smoothness bound: 9998
sieve size: 37440
log threshold: 15.2376302725
skipping primes less than: 59
sieving for smooths...
428 polynomials sieved (32048640 values)
found 617 smooths (272 from partials) in 1.912131 seconds
solving for non-trivial congruencies...
factors found:
14029308060317546154181 x 37280713718589679646221
time elapsed: 2.064387 seconds
참고 : --verbose옵션을 사용하지 않으면 타이밍이 약간 향상됩니다.
$ pypy mpqs.py 94968915845307373740134800567566911
216366620575959221
time elapsed: 0.630235 seconds
$ pypy mpqs.py 523022617466601111760007224100074291200000001
14029308060317546154181
time elapsed: 1.886068 seconds
기본 개념
일반적으로, 2 차 체는 다음 관찰에 기초한다 : 임의의 홀수 복합 n 은 다음과 같이 표현 될 수있다 :
확인하기가 그리 어렵지 않습니다. 이후 , n은 홀수의 두 보조 인자 사이의 거리 , n은 짝수이어야 2D , X는 그들 사이의 중간 지점이다. 또한, n의 배수에 대해 동일한 관계가 유지됩니다.
그러한 x 와 d 를 찾을 수 있다면 , x + d 와 x-d는 모두 n 을 정의로 나누기 때문에 ( n 은 반드시 소수는 아님) n의 결과를 가져옵니다 . 사소한 합의를 허용 한 결과 다음과 같은 형태로이 관계가 더욱 약화 될 수 있습니다.
따라서 일반적으로 mod n 과 동일한 두 개의 완벽한 제곱을 찾을 수 있다면 n a la gcd (x ± d, n) 의 계수를 직접 생성 할 가능성이 높습니다 . 꽤 간단 해 보이죠?
그렇지 않으면 빼고 가능한 모든 x에 대해 철저한 검색을 수행하려면 [ √ n , √ ( 2n ) ] 에서 전체 범위를 검색해야합니다 . 이는 전체 시험 분할보다 약간 작지만 is_square각 반복에 대해 비싼 작업이 필요합니다. d 값을 확인하십시오 . n 이 √ n에 매우 가까운 인자를 가지고 있다는 것을 미리 알지 못한다면 , 시험 분할이 더 빠를 것입니다.
아마도 우리는이 관계를 더욱 약화시킬 수 있습니다. 우리가 x를 선택 했다고 가정 해 봅시다.
y 의 완전 소인수 분해 는 쉽게 알려져 있습니다. 만약 우리가 그러한 관계가 충분하다면, 우리가 그들의 제품이 완벽한 제곱이되도록 많은 y를 선택한다면 우리 는 적절한 d 를 구성 할 수 있어야한다 . 즉, 모든 주요 요소가 짝수 번 사용됩니다. 실제로, 우리가 포함하고있는 고유 한 주요 요소의 총 수보다 y 가 더 많으면 해결책이 존재합니다. 그것은 선형 방정식 시스템이됩니다. 이제 우리는 어떻게 그런 x를 선택 했는가? 그것은 체질이 시작되는 곳입니다.
체
다항식을 고려하십시오.
그런 다음 소수 p 및 정수 k 에 대해 다음이 적용됩니다.
이것은 다항식 mod p 의 근을 풀고 나면 , 즉 y (x) (0 (mod p) 와 같은 x를 찾았고 , ergo y 는 p 로 나눌 수 있다는 것을 의미합니다. 그런 x의 . 이런 식으로, x 의 범위에서 체를 걸러서 y의 작은 소인수를 식별 하고 모든 소인수가 작은 것을 찾을 수 있기를 바랍니다. k-smooth 라고하는 숫자로 , 여기서 k 는 가장 큰 소수입니다.
그러나이 방법에는 몇 가지 문제가 있습니다. x의 모든 값 이 적절 하지는 않지만 , 실제로는 √ n 주위에 거의 없습니다 . 더 작은 값은 ( -n 항 으로 인해) 크게 음수가되고 , 더 큰 값은 너무 커져서, 소인수 분해가 작은 소수만으로 구성 될 가능성은 없습니다. 이러한 x 는 여러 가지가 있지만 팩토링하는 컴포지트가 매우 작은 경우가 아니면 인수 분해를하기에 충분한 스무딩을 찾을 가능성이 거의 없습니다. 따라서 더 큰 n 의 경우 주어진 형태의 여러 다항식 을 체로 치러야 합니다.
여러 다항식
그래서 우리는 더 많은 다항식이 필요합니까? 이건 어때요:
작동합니다. 참고 것을 와 B는 말 그대로 임의의 정수 값이 될 수 있고, 수학은 여전히 보유하고 있습니다. 우리가해야 할 일은 몇 가지 임의의 값을 선택하고 다항식의 근을 풀고 0에 가까운 값을 체킹하는 것입니다. 이 시점에서 우리는 그것을 충분히 잘 부를 수 있습니다. 만약 당신이 충분한 방향으로 돌을 던지면 조만간 창문을 깰 수밖에 없습니다.
그 외에는 문제가 있습니다. 다항식의 기울기가 x 절편에서 크면 (절대 평평하지 않은 경우) 다항식 당 체에 적합한 몇 가지 값만있을 것입니다. 작동하지만 필요한 것을 얻기 전에 다항식을 많이 체질하게됩니다. 더 잘할 수 있을까요?
우리는 더 잘할 수 있습니다. 몽고메리 의 결과는 다음과 같습니다. A 와 B 를 선택 하면 만족스러운 C 가 존재합니다.
다항식 전체를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
또한 A를 완벽한 정사각형으로 선택하면 체질하는 동안 선행 A 항을 무시할 수있어 값이 더 작고 곡선이 훨씬 평평 해집니다. 그러한 해가 존재하기 위해서는 n 은 2 차 잔차 mod √ A 이어야하며 , Legendre 기호 를 계산하여 즉시 알 수 있습니다 :
( n | √A ) = 1 . 에 대한 해결하기 위해 참고 B 의 전체 소인수 분해 √A은 (모듈 형 제곱근 취하기 위해 알려질 필요가 √n (모드 √A) 이유) √A는 일반적으로 소수로 선택됩니다.
그러면이면 x ∈ [ -M, M ]
의 모든 값에 대해 다음을 표시 할 수 있습니다 .
그리고 마지막으로, 체를 구현하는 데 필요한 모든 구성 요소가 있습니다. 아니면 우리?
요인으로서의 소수
위에서 설명한 것처럼 우리의 체에는 하나의 큰 결함이 있습니다. 이 값을 식별 할 수 X는 (A)에 발생한다 Y 로 나누어 P 하지만이 있는지의 여부를 식별 할 수있는 Y는 바이 나누어 전력 의 P . 이를 결정하기 위해 더 이상 p 로 나눌 수 없을 때까지 체질 할 값에 대해 시험 분할을 수행해야합니다 . 우리는 임 페레스에 도달 한 것 같았습니다. 체의 요점은 그렇게 할 필요가 없었습니다 . 플레이 북을 확인할 시간입니다.
꽤 유용한 것 같습니다. y 의 모든 작은 소인수 의 ln 의 합이 ln (y) 의 예상 값에 가까워 지면 y 에 다른 요인이없는 것으로 간주 됩니다. 또한 예상 값을 약간 낮추면 여러 소수의 소수를 요인으로하는 값을 부드럽게 식별 할 수도 있습니다. 이러한 방식으로, 체를 '사전 스크리닝'프로세스로 사용할 수 있으며 매끄럽게 될 수있는 값만 고려할 수 있습니다.
이것은 몇 가지 다른 장점도 있습니다. 작은 소수는 ln 합계에 거의 영향을 미치지 않지만 가장 많은 시간이 필요합니다. 값 3을 체질하려면 11, 13, 17, 19 및 23을 합한 것보다 더 많은 시간이 필요합니다 . 대신, 우리는 처음 몇 소수를 건너 뛰고 특정 백분율이 통과했다고 가정하여 임계 값을 적절하게 조정할 수 있습니다.
또 다른 결과는, 많은 값들이 'slip through'될 수 있다는 것인데, 이것은 대부분 매끄럽지 만 하나의 큰 보조 인자를 포함합니다. 우리는이 값들을 버릴 수는 있지만, 정확히 동일한 보조 인자를 가진 다른 부드러운 값을 발견했다고 가정합니다. 그런 다음이 두 값을 사용하여 사용 가능한 y 를 구성 할 수 있습니다 . 그들의 제품에는이 큰 보조 인자 제곱이 포함될 것이기 때문에 더 이상 고려할 필요가 없습니다.
함께 모아서
마지막으로해야 할 일은 y 값을 사용 하여 적절한 x 와 d를 만드는 것 입니다. y 의 비 제곱 요인 , 즉 홀수 거듭 제곱의 주요 요인 만 고려한다고 가정 합니다. 그런 다음 각 y 는 다음과 같은 방식으로 표현 될 수 있습니다.
행렬 형식으로 표현할 수 있습니다.
그러면 문제 는 vM = ⦳ (mod 2) 와 같은 벡터 v 를 찾는데 , 여기서 ⦳ 는 널 벡터입니다. 즉, M 의 왼쪽 널 공간을 해결합니다 . 이것은 여러 가지 방법으로 수행 될 수 있으며, 가장 간단한 방법 은 행 추가 연산을 행 xor로 대체하여 M T 에서 가우시안 제거를 수행하는 것입니다 . 이로 인해 다수의 널 공간 기반 벡터가 생성되며, 이들의 조합은 유효한 솔루션을 생성합니다.
x 의 구성 은 매우 간단합니다. 사용 된 각 y에 대한 Ax + B 의 곱입니다 . d 의 구성 은 약간 더 복잡합니다. 모든 y 의 곱을 취한다면, 수십만 자릿수가 아닌 10 만 자릿수의 값으로 끝나고, 제곱근을 찾아야합니다. 이 계산은 비현실적으로 비쌉니다. 대신, 우리는 체질 과정에서 짝수의 소수를 추적 한 다음, 제곱근을 재구성하기 위해 비 제곱 요인의 벡터에 대해 and 및 xor 연산 을 사용할 수 있습니다 .
30000 자 한도에 도달 한 것 같습니다. 글쎄요, 충분하다고 생각합니다.