반구형 고조파의 컨볼 루션

구형 고조파 (SH)는 소수의 계수로 저주파 구형 함수를 나타내는 방법입니다. 그것들은 몇 가지 훌륭한 수학적 특성을 가지고 있습니다. 예를 들어, 커널 함수 h (x)를 갖는 컨볼 루션 (원형 대칭을 가짐 )은

$(h * f) ^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

순위 3 SH에 대한 코사인 로브와 의 컨볼 루션 의 경우 , 계수를 사용하여 밴드를 간단하게 스케일링합니다.

$[\ pi, \ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ pi} {4}]$

많은 경우, 예를 들어 불투명 한 표면의 특정 지점에 대한 입사광은 구의 절반이 0 / 정의되지 않거나 사용되지 않기 때문에 완전한 구면 정보가 필요하지 않습니다. 따라서 반구형 고조파 (HSH)가 탄생했습니다.

HSH에서 임의의 커널 (원형 대칭 포함)과의 컨볼 루션은 어떻게 작동합니까? SH의 컨볼 루션을 확장 할 수 있습니까? 아니면 이것에 대해 자세히 설명하는 논문이 있습니까?

hemisphere

— 데이비드 쿠리
소스

당신은 "원형 대칭을 갖는 임의의 커널"을 씁니다 : 그것은 실제로 (반구형) 구역 고조파 부분과의 회선 만 필요하다는 것을 의미하지 않습니까? 대칭 축이 다른 경우에도 Zonal 컨벌루션 전후에 회전을 추가하여 사용할 수 있습니다. 회전 방법은 용지에 설명되어 있습니다. Zonal 부분 (m = 0)과의 통합은 비교적 쉬워야합니다. 그러나 구면 고조파와 마찬가지로 임의의 기능에 대해서는 분석적으로 해결할 수 없습니다. 코사인 로브와 같은 간단한 것들은 잘 작동해야합니다 (아직 시도하지는 않았습니다).

— Wumpf

@Wumpf 당신 말이 맞아요. SH의 경우, 나는 "[kernel function] h에서 대응하는 m = 0 항에 의해 f의 각 밴드를 스케일링한다"(Sloan의 Stupid SH Tricks를 인용). 질문은 HSH에 대해 동일한 작업을 수행 할 수 있습니까?

— David Kuri

이 답변은 몇 가지 중요한 측면에 대한 간단한 개요를 제공하려고합니다. HSH 정의가 다소 복잡하고 사전 평가 된 기능에 대한 개요를 찾을 수 없었기 때문에 지금 당장 너무 많은 시간이 걸리기 때문에 예제를 제공하지 않았습니다.

문제 설명 및 무차별 대입

임의의 기본 함수 집합으로 컨벌루션을 결정하고 따라서 계수를 계산하려면 일반적으로 도메인에 대한 적분을 계산해야합니다 (= SH의 구, HSH의 반구). HSH 기본 함수 H에 대한 계수 c 를 통해 각도 theta ( "위 / 아래") 및 phi ( "왼쪽 / 오른쪽") 에 대해 정의되는 반구 함수 f 를 나타 내기 위해해야하는 모든 것은 다음과 같습니다.

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f (\ theta, \ phi) \ cdot H_l ^ m (\ theta, \ phi) \ cdot sin (\ theta) \ , \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

죄 (세타)는 우리가 (헤미) 구체의 표면에 통합하기 때문에이있다. 개념적으로, 파이 를 변경함으로써 발생하는 영역의 크기 는 현재 세타에서 더 크거나 작습니다. 여기에 더 많은

정확성이나 계산 시간에 대해 신경 쓰지 않는다면 간단히 샘플링하여이 문제를 해결할 수 있습니다. 반구에 똑같이 분포 된 (!) 방향을 생성하고, f와 H의 곱을 계산하고 결과를 평균화합니다 (실제로 똑같이 분포 된 경우) sin (theta)이 필요하지 않습니다 .

분석 솔루션 시작하기

물론 우리는 우리의 기능에 대한 분석 솔루션을 갖고 싶어하지만, 이것이 매우 어려운 일입니다. 첫 번째 단계로 직교 방향에 주어진 함수를 구형 좌표로 변환해야 할 수도 있습니다. 이 부분은 여전히 쉽습니다. 다음과 같이 모든 x, y 및 z를 교체하십시오.

$(x, y, z) \ 오른쪽 화살표 (\ sin \ theta \ cos \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ theta)$

이것은 z 축이 반구의 "위쪽"(θ = 0) 인 시스템을 제공하는데, 이는 HSH로 표시되어야합니다. 그 후 컴퓨터 대수 시스템에 모든 것을 삽입하고 방정식을 풀 수 있습니다. 모든 m & l에 대해 풀려고하지 말고 한 번에 하나의 계수를 시도하십시오. 한 번 에 모든 계수를 설명하는 간결한 표현이 없기 때문입니다. HSH의 정의는 비교적 복잡하여 이러한 기능을 평가하는 것이 매우 지루합니다. 에서는 본 논문 제로 및 1 차 HSH 기저 함수는 직교 좌표에서 언급된다.

회전 및 영역 고조파에 대한 참고 사항

이 z- 축을 중심으로 회전 대칭 인 함수는 지수 m 이 0 인 모든 계수 인 구역 계수 에만 영향을 미치기 때문에 성공적인 분석 도출에 매우 적합 합니다. 이는 일반적인 구형 고조파 표현을 임의의 방향으로 회전시켜 데이터 손실없이 구형 고조파 표현을 생성 할 수있는 쉬운 공식이있는보다 일반적인 구형 고조파에 특히 유용합니다 ( 여기 참조) .). 즉, 방사형 대칭 "함수가 z를 가리키는"것으로 가정하여 ZSH 계수를 도출 한 다음 원하는 방향으로 회전 할 수 있습니다. 이것은 예를 들어 다양한 코사인 로브 변형에서 완벽하게 작동하며 질문에서 언급 한 요인을 제공합니다.

나쁜 소식 : HSH의 경우 z 이외의 다른 축을 중심으로 한 함수의 회전은 손실됩니다. 함수는 회전 후 정의되지 않은 반구를 "만질"수 있기 때문입니다. 따라서 편리한 "Hemi Zonal to HSH"회전 공식도 없습니다. 대신, 여러 가지 단점이있는 여러 가지 방법이 있습니다. 자세한 내용은 논문 및 프레젠테이션을 참조하십시오 .

그건 그렇고 :이 모든 것이 반구형 인 H-Basis로 더 쉽습니다 (그러나 원래 제한된 수의 주파수 대역에 대해서만 정의 됨).

— 범프
소스