컴퓨터 그래픽에 동종 좌표가 사용되는 이유는 무엇입니까?

컴퓨터 그래픽에 동종 좌표가 사용되는 이유는 무엇입니까?

동질 좌표가 행렬 변환에 사용되지 않으면 어떤 문제가 발생합니까?

그래픽에 사용되는 수학을 단순화하고 통합합니다.

• 그들은 당신이 행렬로 번역을 표현할 수 있습니다.

• 원근 투영에서 깊이로 나눗셈을 나타낼 수 있습니다.

첫 번째는 아핀 지오메트리와 관련이 있습니다. 두 번째는 투영 형상과 관련이 있습니다.

이름이 있습니다 : 동종 좌표는 잘 ... 동종입니다. 균질하다는 것은 회전, 변환, 스케일링 및 기타 변형을 균일하게 표현하는 것을 의미합니다.

균일 한 표현으로 최적화가 가능합니다. 3D 그래픽 하드웨어는 4x4 매트릭스에서 매트릭스 곱셈을 수행하도록 특화 될 수 있습니다. 곱셈은 ​​종종 사용되기 때문에 0 또는 1로 곱셈을 인식하고 저장하는 것도 전문화 될 수 있습니다.

동종 좌표를 사용하지 않으면 강력하게 최적화 된 하드웨어를 최대한 활용하기 어려울 수 있습니다. 프로그램이 인식하는 것은 동종 좌표에 대해 하드웨어의 최적화 된 명령을 사용할 수 있다는 것 (일반적으로 컴파일러이지만 상황이 더 복잡 할 수 있음)은 다른 표현을 최적화하는 데 어려움을 겪을 것입니다. 덜 최적화 된 명령어를 선택하므로 하드웨어의 잠재력을 사용하지 않습니다.

소니 PS4는 대규모 매트릭스 곱셈을 수행 할 수 있습니다. 그것은 너무 비싸서 한동안 팔려 나갔습니다. 왜냐하면 더 비싼 슈퍼 컴퓨터 대신 클러스터가 사용 되었기 때문입니다. 그 후 소니는 하드웨어를 군사용으로 사용할 수 없도록 요구했습니다. 그렇습니다. 슈퍼 컴퓨터는 군사 장비입니다.

연구자들은 그래픽이 포함되어 있지 않더라도 그래픽 카드를 사용하여 행렬 곱셈을 계산하는 것이 일반적이되었습니다. 범용 CPU보다 크기가 더 우수하기 때문입니다. 비교를 위해 현대의 ​​멀티 코어 CPU는 16 개 파이프 라인 (x0.5 또는 x2는 그다지 중요하지 않음)이고 GPU는 1024 개 파이프 라인입니다.

실제 병렬 처리를 허용하는 것은 파이프 라인보다 핵심이 아닙니다. 코어는 스레드에서 작동합니다. 스레드는 명시 적으로 프로그래밍해야합니다. 파이프 라인은 명령 수준에서 작동합니다. 칩은 자체적으로 명령을 병렬화 할 수 있습니다.

보어:

동종 좌표는 또한 무한대를 나타낼 수 있습니다 : 3D에서 0 , 즉x,y,z방향 무한대의 점$(x,y, z, 0) = \frac{x,y,z}0$$x,y,z$ . 일반적으로 유한 또는 무한 위치의 광원은 같은 방식으로 표현 될 수 있습니다.

원근 변환의 경우 원근 왜곡없이 PC의 초기 그래픽 하드웨어와 달리 올바르게 보간 할 수 있습니다.

개인적 취향으로서 나는 항상 가능한 동질적인 좌표를 사용하지 않고 평범한 직교 공식을 선호했다.

주된 이유는 동종 좌표가 쓸모없는 저장 및 계산을 포함하는 변환 행렬 (0, 0, 0, 1)에서 4 개의 사소한 항목을 사용하기 때문입니다 (또한 "기본적으로"기본적으로 사용되는 범용 매트릭스 계산 루틴의 오버 헤드 이 경우).

단점은 방정식을 쓸 때 더 많은주의가 필요하고 행렬 이론의 지원을 잃지 만 지금까지는 살아 남았습니다.

행렬을 사용하여 변환을 표현한다고 가정합니다. 포인트는 저장 될 수있다 당신은 회전 나타낼 수있다 [ U는 V ] = [ C O S ( θ ) - s의 I N ( θ ) s의 I N ( θ ) C O S ( θ를 ) ] [ X를 y ] 및 [ u v ] = [ k 1 로 스케일링

$$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos(\theta)&-sin(\theta)\\sin(\theta)&cos(\theta)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$ 선형 변환이라고하며 행렬 곱셈으로 변환 할 수 있습니다. 그러나 행렬 곱셈으로는 번역을 수행 할 수 없습니다. 대신[ u v ]=[ x y ]+[ s t ]를 수행해야합니다.이를 아핀 변환이라고합니다. 그러나 이것은 (계산적으로) 바람직하지 않습니다. $$\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k1&0\\0&k2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}$$

R과 S를 회전 및 스케일링 행렬로하고 T를 변환 벡터로합니다. 컴퓨터 그래픽에서 한 지점으로 일련의 변환을 수행해야 할 수도 있습니다. 이것이 얼마나 까다로운 지 상상할 수 있습니다.

$$p'=SR(Sp+T)+T$$

$$M=TSRTS$$ $$p'=Mp$$

$$p=\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$$ $$R=\begin{bmatrix}cos(\theta)&-sin(\theta)&0\\sin(\theta)&cos(\theta)&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ $$S=\begin{bmatrix}k1&0&0\\0&k2&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ $$T=\begin{bmatrix}1&0&t1\\0&1&t2\\0&0&1\end{bmatrix}$$ 몇 가지 예를 들어서 실제로 원하는 변환을하도록 설득해야합니다. 여러 행렬을 곱하여 일련의 변환을 구성 할 수 있습니다.

$$p=\begin{bmatrix}x\\y\\w\end{bmatrix}$$ $$Q=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&-1&0\end{bmatrix}$$

아핀 좌표의 계산에는 종종 더하기 또는 곱하기에 비해 값이 많은 나눗셈이 필요합니다. 투영 좌표를 사용할 때 일반적으로 분할 할 필요가 없습니다.

프로젝션 좌표 (보다 일반적으로 프로젝션 지오메트리)를 사용하면 특수한 경우도 제거되어 모든 것이 더 단순하고 균일 해집니다.

• 더 간단한 공식
• 더 적은 특별한 경우
• 통일과
• 이중성