완벽한 반사를 위해 표면에 G2 연속성이 필요한 이유는 무엇입니까?

완벽한 반사를 위해 왜 표면에 G2 연속성이 있어야합니까 (클래스 A 표면)?

수학적 답변을 원합니다.

rendering

— 발레리오
소스

어떤 맥락? 아니면 어디서 읽었는지 참조하십시오. 이해가되지 않기 때문입니다. 또한 내가 실수하지 않으면 Gn 연속성은 조각 별 다항식 표면에 대해서만 정의되며 표면이 다항식 일 이유는 없으며 실제로 대부분의 표면이 조각 별 선형입니다.

— tom

G2는 매개 변수화와 독립적으로 기하 n- 유도 성을 언급합니다.

— Fabrice NEYRET

@tom 그는 CAD와 같은 일반적인 서피스 디자인에 대해 이야기하고 있습니다. 다항식 일 필요는 없지만 실제로는 원호와 원뿔을 제외하고 종종 존재합니다.

— joojaa

@joojaa 난 아직도 왜 특수 표기법 Gn을 사용하는지 의아해합니다. 수학에서는 Cn 미분 매니 폴드의 표준 개념이 있습니다. Gn과 Cn도 같은가요? 나는 Gn 매니 폴드가 조각 별 다항식이므로 패치 이음새를 제외하고 C-infty 매니 폴드라고 생각했습니다.

— tom

@tom C 연속성은 파라 메트릭 연속성이고 G는 geonetric 연속성이며이 경우 2 개의 개별 지오메트리에 걸친 연속성입니다.

— joojaa

답변:

여러분이 볼 수있는 것은 위치의 미분 인 법선의 연속성입니다. -> G1-only 표면은 G0-only normal field, 즉 눈에서 알 수있는 법선 (따라서 반사)의 급격한 변화 변화와 함께 G2 표면에는 G1 법선 필드가있어 눈에 부드럽습니다.

— 패브릭 네이 렛
소스

G0 연속성은 별도의 표면이 만나고
G1 표면이 같은 각도로 만나는 연속성
G2 연속성은 각도 변화가 접촉 지점에서 일치 함을 의미합니다.

G2 요건이 표면 품질이 우수하다는 의미는 아닙니다. 이것 없이는 표면에 연속적인 반사 흐름이 없어서 인간이 그 차이를 볼 수 있다는 것을 의미합니다. 그것은 좋을 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

수학적으로 표면 법선은 다음과 같습니다.

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

양쪽이 파생 되었기 때문에 표면 법선의 기능 필드가 원래 표면보다 1도 작습니다. 따라서 반사가 1도 연속이 되려면 2도 연속성이 있어야합니다.

지금까지 우리는 표면의 연속성과 반사의 연속성 사이의 관계를 설정했습니다. 지금까지 표면 반사가 1도 연속적이어야한다는 것을 증명하는 것은 없습니다. 왜 우리가 수학의 영역을 벗어나 생물학의 영역에 들어가야하는지 이해하기 위해.

눈에는 망막의 구조 수준에서 가장자리 감지 알고리즘이 장착되어 있습니다. 이 에지 감지 알고리즘은 본질적으로 입력 신호의 이산 미분으로 작동합니다. 따라서 표면이 G2 연속이 아닌 경우 사람 가장자리 감지가 시작되어 나타납니다. 참고 자료는 마하 밴드 등에서 읽습니다 .

에지 검출이 분리되어 있기 때문에 G2 연속성이 충분하지 않습니다. 변화는 국부적으로 만족 될뿐만 아니라 망막에서도 만족되어야한다. 따라서 변경 사항은 여전히 문제가 발생하지 않을 정도로 얕아 야합니다.

— 주자
소스

"변화는 국부적으로 만족할뿐만 아니라 망막에서도 만족되어야한다"는 것은 무엇을 의미 하는가?

— Dan Hulme

눈에 지속적인 신호가 기록되지 않습니다. 표면이 기술적으로 수학적 수준으로 제시된 조건을 충족하더라도 이산 적입니다. 이산 샘플 간격에 변화가 없으면 충분하지 않을 수 있습니다. 따라서 경사는 여전히 사람의 눈으로 볼 수있을만큼 커야합니다.

— joojaa

당신은 (정상적인) 도함수가 연속적이어야 할 필요는 없지만 그 도함수는 약간의 한계 아래에 있어야한다고 말하는 것 같습니다. 그것이 당신이 의미하는 바라면, 나는 당신의 대답의 마지막 단락이 더 명확 할 것이라고 생각합니다.

— Dan Hulme

@ DanHulme은 파생물을 제한하는 것이 아니라 경사의 문제가 아니라 경사면의 벽입니다. 따라서 이산 샘플링에 관한 것입니다. 따라서 매우 예리한 각도이지만 작은 기울기 차이는 연속적인 것처럼 보일 수 있습니다. 또한 짧은 벽에서 계속되는 변화는 날카 로워 보일 수 있습니다. 수학에 관한 것이 아니라 샘플링에 관한 것입니다. 생물학적 시스템으로서 정량화하기는 어렵습니다.

— joojaa