비 균일 합리적 B 스플라인 (NURBS) 기본 사항

NURBS 곡선을 이해하려고하지만 (나중에 표면!) 내부 작업의 기본을 이해하는 데 약간의 어려움이 있습니다. 누군가 제게 몇 가지를 설명해 주시겠습니까? 베 지어 곡선에서 나올 때이 두 가지를 비교하면 특히 유용합니다.

1. "합리적 기저 함수는" (합리적) 베 지어 곡선의 번스타인 다항식 같은 작은 비트를 보인다. 매개 변수 u도 0에서 1로 이동 합니까 ?

2. 커브에 "세부 사항을 추가"하는 방법? 더 복잡한 모양을 설명해야하는 경우 베 지어를 사용하면 여러 베 지어를 함께 "스티치"할 수 있습니다. 덜 자주, 정도를 높이십시오. NURBS의 정도를 높이고 여러 NURBS 곡선을 나란히 배치 할 수 있다는 것을 알고 있지만 이것이 어떻게해야합니까?

3. 적어도 나에게 Wikipedia 기사는이 "매듭 벡터"에 대해 명확하지 않은 것 같습니다. 어쨌든 무엇입니까?

B- 스플라인과 베 지어는 거의 같은 것의 평행 한 발명품입니다. 베 지어가 탄젠트 피팅 아이디어에서 시작하려고하는 경우. B- 스플라인은 기본 기능에 대한 아이디어로 시작합니다. NURB 스플라인 (또는 실제로 합리적인 부분)은 B- 스플라인의 일반 화일 뿐이므로 공학에 특히 관심이있는 정확한 원뿔형 섹션 *을 설명 할 수 있습니다.

먼저 간단한 NURB 스플라인 용어로 시작하겠습니다. 이 곡선의 이론적 근거는 베지 어와는 약간 다릅니다. 먼저 범위의 개념이 있습니다. 스팬은 너브에서 여러 스팬을 가질 수 있다는 점을 제외하고는 전체 베 지어 스플라인과 거의 같습니다.

이미지 1 : 1 입방 NURBS 스팬 이것은 공식에서 약간 비정형입니다

각 스팬은 곡선도 + 1 제어점 **으로 형성됩니다. 각 곡선은 여러 개의 점으로 구성 될 수 있습니다. 각 연속 범위는 하나의 점을 삭제하고 목록에서 하나의 점을 더 추가하여 이전 범위의 점을 재사용합니다. 따라서 곡선에 더 많은 점을 추가하는 것만 큼 복잡한 곡선을 만드는 것이 쉽습니다.

참고 : 이미지 곡선은 비정형 적으로 약간 매개 변수화되어 있으며 다음 섹션에서 이것이 의미하는 바는 설명하지 않습니다. 내가 매듭의 개념을 취할 때. 이것은 커브가 서로 어떻게 접착되는지 설명하는 가장 쉬운 방법입니다.

이미지 2 : 2 큐빅 스팬은 서로 이어지며 각 스팬은 4 포인트를 사용합니다. 함께 그들은 하나의 곡선을 형성합니다. 그들은 대부분의 포인트를 서로 공유합니다.

지금까지 복잡성을 추가하는 것에 대한 두 가지 질문에 대답했을 것입니다. 그러나이 구성표가 베 지어 곡선보다 더 나은 연속성을 보장한다고 덧붙이고 싶습니다. 또한 선체를 형성하는 점 배열을 만들 수 있습니다. 닫힌 곡선 형성.

이미지 3 : 닫힌 입방 형 NURBS 표면은 점이있는 스팬을 갖습니다. 각 색상은 하나의 범위입니다.

매개 변수화

이 시점까지는 스팬을 함께 묶는 것이 베 지어 곡선을 "재봉"하는 것과 같은 속임수라고 말할 수 있습니다. 그러나 차이점이 있습니다. 커브는 길이에 따라 매개 변수화됩니다. 따라서 곡선은 분리되어 있지 않으며 베 지어와 같이 각 범위에서 0에서 1까지 보간하지 않습니다. 대신 기본 커브는 cusomizable 매개 변수 범위를 갖습니다. 이 매개 변수는 매듭이라는 것에 저장되며 각 매듭은 시퀀스에서 임의의 값을 증가시킬 수 있습니다. 따라서 전체 곡선 u 범위를 0-1 또는 0-12로 매개 변수화 할 수 있습니다. 매개 변수화도 균일하지 않아도됩니다.

이 매개 변수화는 곡선의 모양을 변경합니다. 이것이 왜 유용한가? 커브를 따라 장력을 조정할 수 있습니다. 또는 곡선의 길이를 U 매개 변수로 인코딩 할 수 있습니다. NURBS 곡선이 베 지어 곡선처럼 완전히 또는 부분적으로 작동하게하는 한 가지 독특한 용도가 있습니다.

이미지 4 : 같은 점이 다른 매듭 시퀀스입니다. 녹색 NURBS 곡선은 0-1 대신 매개 변수 범위가 0-2 인 베 지어 곡선에 해당합니다.

좋아, 매듭은 무엇입니까? 그것들은 단순히 기본 기능의 범위입니다. 4 개의 점이있는 입방 형 b- 스플라인에는 4 개의 보간 기능이 있으므로 8 노트가 필요합니다. 3 개의 함수가 겹치고 최대 1.0 인 영역 만 선을 그릴 수 있습니다.

이미지 5 : 두 가지 기본 함수, 베 지어와 균일 한 세그먼트 매개 변수가 0-1 범위로 확산되었습니다.

그리고 지금 우리는 대부분 질문 1에 대한 답을 설명했습니다. 범위는 정의되지 않았지만 기본 함수를 적절하게 늘릴 수 있습니다. 마지막으로 매듭 벡터는 단순히 기본 함수의 매개 변수 범위를 생성합니다. 커브의 모양을 결정하는 또 하나의 추가 사항이 있으며 가중치 벡터입니다. 그러나 다른 이야기를 들려 주어야합니다.

*이 경우이 합리성은 다항식이있는 원을 설명 할 수 없으므로 NURBS 곡선이 다항식 일 필요는 없음을 의미합니다.

** 다른 유형의 점을 정의 할 수 있습니다.