아핀 변환이란 무엇입니까?

아핀 변환이란 무엇입니까? 포인트 나 다른 모양에도 적용됩니까? 그들이 "구성"될 수 있다는 것은 무엇을 의미합니까?

아핀 변환은 선형 변환 + 변환 벡터입니다.

$$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$$

개별 점이나 선 또는 베 지어 곡선에 적용 할 수 있습니다. 선의 경우 평행 선이 평행을 유지한다는 속성을 유지합니다. 베 지어 곡선의 경우 제어점의 볼록 껍질 특성이 유지됩니다.

곱하면, 원래 쌍 과 상수 목록 에서 "변환 된"좌표 쌍 을 산출하기위한 2 개의 방정식을 생성합니다. . ( X , Y ) ( , B , C , D , E , F ) X ' = ⋅ X + C ⋅ Y +의 $(x', y')$$(x, y)$$(a, b, c, d, e, f)$

$$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$$

편리하게는 선형 변환 및 평행 이동 벡터를 2D 동종 좌표에서 작동 할 수있는 3D 매트릭스에 결합 할 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$$

위의 동일한 두 방정식을 산출합니다.

매우 편리하게 , 행렬 자체는 함께 곱하여 원래의 2가 순차적으로 수행하는 것과 동일한 변환을 수행하는 (상수의) 제 3 행렬을 생성 할 수있다. 간단히 말하면, 행렬 곱셈은 연관성이 있습니다.

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$$

또는 몇 가지 기본 변환 유형을 고려하고 이들을 결합하여 더 복잡한 변환을 구성 할 수 있습니다.

신원 변환

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

스케일링

$$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

* 참고 : 스케일링 매개 변수 또는 하여 반사를 수행 할 수 있습니다 .$(S_x, S_y) = (-1,1)$$(1,-1)$

번역

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$$

y에 의한 스큐 x

$$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

y를 x로 기울이기

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

회전

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[참고 : 여기 왼쪽 에 행 벡터를 허용하는 Matrix 형식이 표시되었습니다 . 이 행렬의 조옮김은 오른쪽의 열 벡터와 함께 작동합니다.]

스케일링, 회전 및 변환으로 순수하게 구성된 행렬 은이 세 가지 구성 요소로 다시 분해 될 수 있습니다 .