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라고 말합니다 $L \subseteq \{0\}^*$. 그러면 $L^*$ 가 규칙적 임을 어떻게 증명할 수 있습니까?

$L$ 이 규칙적 이라면 물론 $L^*$ 도 규칙적입니다. $L$ 이 유한 인 경우 , 규칙적이며 다시 $L^*$ 가 규칙적입니다. 또한 $L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$ 이고, $L$ 은 규칙적이지 않으며, $L \subseteq \{0\}^*$ 그리고 $L^*$ 는 규칙적입니다.

하지만 어떻게 어떤 부분 집합이를 보여 $L$ 의 $\{0\}^*$ ?

있다고 가정 $L$ 두 단어를 포함 $w_1$ 및 $w_2$ 등 이들 단어의 길이 $|w_1|$와 $|w_2|$공통 요소가 없습니다. 그런 다음, 우리는이 말을 연결하여 형성 될 수없는 긴 단어의 길이를 가지고있다 $(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$ ( Frobenius의 번호를). 다시 말해, 언어에 길이가 공통 인자를 갖지 않는 단어가 있으면, 최소 길이의 단어는 모두 $L^*$ 입니다. 필연적으로 Myhill-Nerode의 구별 할 수없는 관계에 한정된 수의 등가 클래스가 있기 때문에 이것이 규칙적임을 쉽게 알 수 있습니다.

에있는 모든 단어의 길이가 공통 요소를 공유하면 어떻게됩니까? 이런 경우에 L * 도 규칙적 이라는 것을 알기가 어렵지 않습니다 . 간단하게 대신 그 길이에있는 최소한의 길이보다 큰 모든 단어의 유의하십시오 L의 * , 대신 그 길이 워드 길이의 GCD의 배수 모든 단어에있을 것입니다 사실이 될 것이다 L의 *을 , 그리고 그 길이 말이 이 GCD의 배수가 될 것이다 아니며, 이후 ( L의 K ) * 모든 정수 정기적 인 K , L * 정규이다.$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

이것은 비공식적이지만 공식화하는 데 필요한 모든 것이 여기에 있어야합니다.

$w$$L^*$$L$ w ˚ L L∗= ˚ L ∗ ˚ L L$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

하자 의 부분 집합 및 에서 단어 . 는 로 단어의 연결로 표현 될 수있다 iff 의 요소의 합으로 표현할 수 있습니다. 여기서 는 의 단어 길이 집합입니다 . 따라서 문제는 특정 집합에서 정수의 합으로 정수를 표현하는 것으로 줄어 듭니다 (반복이 허용 된 경우) : can다음과 같이 표현 될 와 및 ?L w L w L | 승 | S ⊂ N S M | 승 | k 1 s 1 + … + k m s m ∀ i , s i ∈ S k 1 ∈ $M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

이것은 산술에서 잘 알려진 문제이며, 계수 가 음수 일 수있는 경우 ( ) : 요소의 최대 공약수의 배수이면 표현 가능합니다 . 음이 아닌 계수가 필요한 경우에도 여전히 충분히 큰.k는 I ∈ Z | 승 | S gcd S | 승 $(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

정의 된 무한 시퀀스 고려하십시오 . 이것은 시작하여 정수 (의 감소 시퀀스이다 가 특정 인덱스 후 일정하므로, 과 . 중국인 나머지 정리하여 모든 요소 될 수있다 표현 와 와 . 만약 및 그러면 음이 아닌 모든 계수를 선택할 수 있습니다. g i$(g_i)_{i\ge\min S}$g min S = min S j g j = gcd S S k 1 s 1 + … + k m s m ∀ i , k i ∈ Z { s 1 , … , s $g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$x ∈ S x ≥ s 1 ⋅ … ⋅ s $\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

충분한 산술. 하자 . 모든 단어는 길이가 최대 인 의 단어를 연결하는 것으로 표현 될 수 있습니다 ( 예 : . 우리는 또한 갖기 때문에 , 우리가 때문에 정기적 인, 유한 따라서 일정한이다.LLgjL⊆ ˚ L * ˚ L ⊆LL∗= ˚ L ∗ ˚ $\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

또는 단일 문자 알파벳의 일반 언어 특성을 사용하십시오 .