간단한 그래프의 두 스패닝 트리에는 항상 공통 모서리가 있습니까?

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나는 몇 가지 경우를 시도하고 간단한 그래프의 두 스패닝 트리에 공통 모서리가 있음을 발견했습니다. 지금까지 카운터 예제를 찾을 수 없었습니다. 그러나 나는 이것을 증명하거나 반증 할 수 없었다. 이 추측을 어떻게 증명하거나 반증 하는가?

graphs graph-theory spanning-trees

— 시그마 씨
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아니오, 완전한 그래프 고려하십시오 . $K_4$

다음과 같은 에지 분리형 스패닝 트리가 있습니다. 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 비요른 호스 한센
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하나의 나무는 자형, 다른 하나는 자형 으로하여 각 나무를 평평하게 만들 수 있습니다 . 오른쪽 상단 꼭지점에서 왼쪽 하단 꼭지점까지의 가장자리를 정사각형을 벗어나는 곡선으로 그려서 전체를 평면으로 만들 수 있습니다.

N

$N$

Z

$Z$

— 누적

@kelalaka 우리는하지 않습니다 필요 완전한 그래프를, 더는 (에 일이 같은 종류의 일을 상상할 - 나는 내 생각을 놓쳤다하지 않는 한, 당신은 제거 할 수있는 몇되지 않는 가장자리가 더 이상 완전한 (때문에 만들기 각 정점에는 2-4 개의 순회 모서리가 연결되어 있어야하며 각 정점 에는 5 개의 모서리가 사용 가능하므로 각 정점은 하나 이상의 사용되지 않은 모서리에 연결됩니다.) 는 아마도 가장 좋은 예일 것입니다. 잘 알려져 있고 쉽게 시각화 할 수 있고 (비교적으로 적은 수의 가장자리) 매우 간단한 스패닝 트리를 가지고 있습니다.

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

— Fund Monica의 소송

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관심이 많은 독자를 위해 그래프를 가장자리 분리형 트리 로 분해하는 연구가 있습니다 .

예를 들어, 전통적인 종이 에 그래프 분해 문제에 연결된 요소 $n$ WT 관한 Tutte 및 의해 한정된 그래프 스패닝 트리 에지 이산 C. St.JA 내쉬 - 윌리엄스가 포함 그래프 특성화 제공 페어 에지 - 이산을 스패닝 나무. $k$

예를 들어, Dalibor Froncek에 의한 스패닝 트리로 완성 된 그래프의 Bi-cyclic 분해는 완전한 그래프 를 동형 스패닝 트리 로 분해하는 방법을 보여줍니다 . $K_{4k+2}$ ${2k+1}$

예를 들어 Petr Kovář와 Michael Kubesa가 가능한 최대 각도 를 가진 스패닝 트리로 완성 된 그래프를 종이 로 추출한 논문은 주어진 최대 각도를 가진 트리에 대해 을 분해하는 방법을 보여줍니다 . $K_{2n}$

더 검색 할 수 있습니다. 예를 들어 Google은 스패닝 트리로 그래프의 분해를 검색합니다 .

— 패스 잭
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편집 : 이것은 주석에서 지적한대로 올바르지 않습니다. 다른 답변에서 수 의 스패닝 트리는 가장자리를 공유하지 않고 수행 할 수 있습니다. $K_4$

아니요, 그래프의 두 스패닝 트리에 공통 모서리가있는 것은 아닙니다.

휠 그래프를 고려하십시오.

루프를 "내부"로 모서리를 가진 스패닝 트리와 외부 루프에서 다른 트리를 만들 수 있습니다.

— 고쿨
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그러나 외부 루프는 중심 노드에 도달하지 않습니다

— amI

맞습니다. 다른 답변이 충분하면이 답변을 삭제하겠습니다.

— Gokul

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아웃 루프에서 "코드"와 "반지름"및 그 보완을 빼면이를 수정할 수 있습니다.

— boboquack

예. 실제로 나는 그런 식으로 만 보았다. @boboquack

— 시그마 씨.

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@Bjorn과 @Gokul이 제시 한 그래프를 관찰 한 후, 가 포함 된 모든 완전한 그래프 에 가장자리가 분리 된 두 개의 스패닝 트리가 있다는 결론에 도달했습니다 . $K_n$ $n\geq4$

바퀴 모양의 그림에 주어진 그래프에는 가장자리가 분리 된 두 개의 스패닝 트리가 있습니다. 실제로, 하나의 바퀴는 다른 바퀴의 보완 그래프이기 때문에 모든 바퀴에는 가장자리가 분리 된 정확히 스패닝 트리가 있습니다. $2$

이제 @Bjorn의 솔루션을주의 깊게 살펴보면 그래프와 스패닝 트리가 그림에 표시된 그래프와 동형이라는 것을 알 수 있습니다. 사실, 모든 완전한 그래프 와 직접적으로 모든 완전한 전체 그래프 것을 다음, 그래서 그것의 서브 그래프로 휠이 있다 적어도 2 (또는 정확히 ?) 분리 된 가장자리에 나무를 걸쳐. $K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

추신 :이 관찰은 더 흥미로운 질문을 낳습니다 . $2$

가장자리가 분리 된 개 이상의 스패닝 트리 가있는 완전한 그래프가 있습니까? 또는 항상 가장자리가 분리 된 정확히 스패닝 트리를 갖습니다. $2$ $2$
가장자리가 분리 된 나무에 걸쳐있는 서브 그래프로서 휠 또는 휠 이외의 그래프가 있습니까?

— 시그마 씨
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이 질문들과 그 이상은 내가 인용 한 논문에서 답을 얻었습니다. 관심이 있다면 살펴볼 수 있습니다.

— Apass.Jack

감사합니다 @ Apass.Jack 귀하의 답변을 보았습니다. 그것을 볼 것입니다.

— 시그마 씨.

1

들어 , 저는 믿습니다 $K_{2k}$

G_{1} = {(v_{2 i}, v_{2 i + 1}), (v_{2 i}, v_{2 i + 2}), \dots, (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

G_{2} = {(v_{2 i + 1}, v_{2 i + 2}), (v_{2 i}, v_{2 i}), \dots (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

대해 반례이다. 즉, 첫 번째 그래프의 경우 인덱스가 짝수 인 정점을 가져와 다음 정점에 연결하고 마지막 정점을 제외한 모든 정점도 그 이후의 정점에 연결합니다. 두 번째 그래프의 경우 홀수 꼭지점 으로이 작업을 수행하십시오. $0\leq i < k$

귀납적으로 정점 에 대한 반례가 있으면 새로운 정점을 한 그래프의 한쪽 가장자리와 다른 모서리의 다른 가장자리와 연결하여 꼭지점으로 반례를 쉽게 구성 할 수 있습니다. $n$ $n+1$

— 축적
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그래프에 브리지 (예 : 제거시 그래프 연결이 끊어진 가장자리)가있는 경우이 가장자리는 모든 스패닝 트리에 속해야합니다. 직관적으로 브리지는 두 끝점을 연결하는 유일한 에지이므로 연결된 모든 하위 그래프에 속해야합니다.

반면에 그래프의 가장자리가주기에 속하는 경우이 가장자리를 포함하지 않는 스패닝 트리가 있습니다.

따라서 그래프의 모든 모서리가 사이클에 속하는 경우 모든 스패닝 트리에 공통 인 에지가 없습니다 (즉, 스패닝 트리의 에지 세트의 교차점이 빈 세트).

— 2019 년
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