O (·)는 함수가 아니므로 어떻게 함수와 같을 수 있습니까?

47

나는 큰 표기법의 의미를 완전히 이해 합니다. 내 문제는 우리가 라고 말할 때 , 여기서 은 크기 입력에 대한 알고리즘의 실행 시간입니다 . $O$ $T(n)=O(f(n))$ $T(n)$ $n$

나는 그것의 의미를 이해합니다. 그러나 과 은 서로 다른 두 가지입니다. $T(n)$ $O(f(n))$

$T(n)$ 은 정확한 숫자이지만 는 숫자를 내뿜는 함수가 아니므로 기술적으로 은 과 같다고 말할 수 없습니다. 당신 은 의 가치 가 무엇입니까, 당신의 대답은 무엇입니까? 답이 없습니다. $O(f(n))$ $T(n)$ $O(f(n))$ $O(f(n))$

asymptotics landau-notation notation

— doubleE
소스

7

간단히 말해, 의 = 기호는 "같음"을 의미하지 않습니다. 문제는이 가정에 근거합니다. 그렇게 말하는 출처를 찾았습니까?

T (n) = O (f (n))

$T(n)=O(f(n))$

— ShreevatsaR

20

이것은 단지 수학적 표기법 :( 학대하는 많은 방법 중 하나입니다

— technical_difficulty

13

64가 숫자라면 어떻게 64가 될 수 있습니까?

— TaW

7

Wikipedia는 항상 답을 찾기에 좋은 곳입니다. 여기에는 정확한 요점을 설명 하는 섹션 이 있습니다.

— Dukeling

3

@mathreadler 알고리즘이 없습니다. big-O가 알고리즘에 대해 말하는 것은 소수가 누군가의 키에 대해 말하는 것이라고 생각하는 것과 같습니다. big-O는 수학 함수의 성장률에 대해 이야기하는 표기법입니다. 십진수는 숫자의 표기법입니다. 수학 함수는 일부 알고리즘의 실행 시간 일 수 있지만 반드시 그럴 필요는 없습니다. 그 숫자는 누군가의 키일 수 있지만 반드시 그런 것은 아닙니다.

— David Richerby

107

엄밀히 말하면 은 일련 의 함수입니다. 따라서 의 값 은 단순히 보다 빠르게 증가하지 않는 모든 함수의 집합입니다 . 표기 기록 막에 종래의 방법이 . $O(f(n))$ $O(f(n))$ $f(n)$ $T(n) = O(f(n))$ $T(n) \in O(f(n))$

이것은 또한 표기법 의 일부 경고를 명확하게 합니다. 예를 들어, 쓰지만 이라고 쓰지 마십시오 . Donald Knuth (컴퓨터 프로그래밍 기술, 1.2.11.1)를 인용하면 : $O$ $(1/2) n^2 + n = O(n^2)$ $O(n^2)=(1/2)n^2 + n$

가장 중요한 고려 사항은 단방향 평등에 대한 아이디어입니다 . [...]의 경우 와 포함 식이다 표기법 다음 표기법 함수 세트로 나타낸 것을 의미 은 표시되는 집합에 포함 됩니다 . $\alpha(n)$ $\beta(n)$ $O$ $\alpha(n)=\beta(n)$ $\alpha(n)$ $\beta(n)$

— 빈첸초
소스

3

두 번째 단락을 이해하지 못합니다. 을 쓸 때 이라는 의미에 동의합니다 . 그러나 은 는 의미가 없습니다 (유형 오류입니다). 그렇다면 왜 이지만 두 번째 단락에서?

f = O (f (n))

$f = \mathcal{O}(f(n))$

f \in O (f (n))

$f \in \mathcal{O}(f(n))$

O (f (n)) = O (g (n))

$\mathcal{O}(f(n)) = \mathcal{O}(g(n))$

O (f (n)) \in O (g (n))

$\mathcal{O}(f(n)) \in \mathcal{O}(g(n))$

O (n^{2}) \in O (n^{3})

$\mathcal{O}(n^2) \in \mathcal{O}(n^3)$

O (n^{3}) \notin O (n^{2})

$\mathcal{O}(n^3) \notin \mathcal{O}(n^2)$

— Alex Vong

7

둘 다 설정되면 으로 해석되기 때문에

O (n^{2}) \subset O (n^{3})

$O(n^2) \subset O(n^3)$

— RiaD

1

실제로 필요한 곳에 단어를 사용합니다. 계산에서는 일반적으로 한쪽 면만 필요합니다

— RiaD

11

나는 어떤 텍스트 나 다른 심각한 소스에서 O (n ^ 2) = O (n ^ 3)를 본 적이 없다. 당신은 하나를 인용 할 수 있습니까?

— Yakk

1

더 엄격하게하려면 및 은 함수가 아니고 및 은됩니다. 그러나 "어떤 이유로"나는 사람들이 읽을 텍스트에 을 쓰는 것을 보지 못했습니다 .

f (n)

$f(n)$

n^{3}

$n^3$

f

$f$

n \mapsto n^{3}

$n \mapsto n^3$

n \mapsto n^{2} \in O (n \mapsto n^{3})

$n \mapsto n^2 \in \mathcal{O}(n \mapsto n^3)$

— JiK

43

$O$ 는 즉, 함수 받아들이고 (최대) 의 점근 적 경계를 공유하는 함수 세트를 생성합니다 . 엄밀히 말하면 올바른 표기법은 또는 짧은 이지만 수학, 과학 및 CS에서는 그냥 사용하는 것이 일반적입니다. 양쪽에 있는 인수 함수를 고려하고 있음을 나타내는 표현식 어딘가에있는 변수 . 따라서 도 꽤 좋습니다.

\begin{aligned} O : (N \to R) & \to P (N \to R) \\ f & \mapsto O (f) \end{aligned}

$\begin{align} O : (\mathbb{N}\to \mathbb{R}) &\to \mathbf{P}(\mathbb{N}\to \mathbb{R}) \\ f &\mapsto O(f) \end{align}$

f

$f$

f

$f$

(n \mapsto T (n)) \in O (n \mapsto f (n))

$(n \mapsto T(n)) \in O(n\mapsto f(n))$

T \in O (f)

$T \in O(f)$

$n$

T (n) \in O (f (n))

$T(n) \in O(f(n))$

T (n) = O (f (n))

$T(n) = O(f(n))$ 당신이 의심 한 것처럼, 꽤 잘못입니다. 그것은 매우 일반적으로 사용되므로 사람들이 이것을 작성할 때의 의미를 명심하십시오.

나는 작성하지 말 것을 권고 하지만 의견은 다릅니다 . $T(n) = O(f(n))$

— 좌회전
소스

11

T (n) = O (f (n)

$T(n)=O(f(n)$ 는 표기법의 표준 사용이므로 잘못되었다고 주장하는 것은 도움이되지 않습니다. (IMO는 가 함수 라고 주장 하지만 기술적으로는 사실이지만 실제로는 도움이되지 않습니다. 그것에 대해 생각합니다).

O

$O$

— 데이비드 Richerby에게

38

@DavidRicherby 어떤 것이 완전히 표준이지만 그렇게해서는 안됩니다. 이 한 예입니다. 사람들이 이것에 의해 무엇을 의미하는지 아는 것은 여전히 좋은 일이지만 (OP가 이미 말했듯이)이 표기법이 기술적으로 가짜인지 확인하는 것이 어떻게 도움이되지 않습니까? 왜 것입니다 당신이 그것을 사용합니까? 짝수 경우 버전은 모호하지 않습니다, 어느 쪽도이다 하나, 그리고 더 많은 사람들이 더 나은 그 표기로 전환합니다. 작성하기가 더 어색하지 않은 한 실제로 수학적으로 의미가있는 것을 고수하는 것이 좋습니다. 은 완벽하게 읽고 쓸 수 있습니다.

T (n) = O (f (n))

$T(n) = O(f(n))$

=

$=$

\in

$\in$

\in

$\in$

— leftaroundabout

1

@leftaroundabout“쓰기가 더 어색한 경우가 아니라면”손가락을 대고 있습니다. — 작업 은 실제로 용어 가없는 특수한 경우를 제외하고는 쓰기가 훨씬 더 어색 합니다. LHS와 정확히 하나의 RHS. (예를 들어 , 내 대답 과 같은 무증상으로 작업하고 O () 표기법의 모든 이점을 포기하고 정당화되지 않은 가정에 의존해야한다는 대답과 비교하십시오. 표기법의 목적은 생각을 돕는 것입니다. 훨씬 더 "="의 의미 변화에 의해 여기 얻기 위해

\in

$\in$

O ()

$O()$

— ShreevatsaR을

2

@ShreevatsaR 어디로 가고 있는지 확실하지 않습니다. 나는 링크 된 게시물을 완전히 읽지 못했지만 TBH 귀하의 게시물은 가장 복잡하고 많은 (많은 모호한, "지금은 책에서 이것을 찾을 수 없습니다") 규칙 이 필요하지만 다른 답변은 첫 번째 원칙에서 해결책을 쉽게 제공하십시오. 어쨌든 "불량" 기호를 및 으로 바꾸는 것을 막는 것은 무엇 입니까?

=

$=$

\in

$\in$

\subset

$\subset$

— leftaroundabout

1

@ShreevatsaR 저는 규칙 / 이론을 세우는 것이 이론의 핵심이라는 데 동의합니다. 그러나 가장 중요한 것은 정확히 적용 할 때 각 규칙에 대해 명확하게 공식화하는 것 입니다. IMO 형식 이론은이를위한 최고의 프레임 워크이지만, 순진한 세트는 실제로는 충분히 가깝습니다. 그러나 / / 기호를 포함하는 대수적 표현의 순진한“방정식” 은 그렇지 않습니다. —“그들은 당신이 세트 이론의 형식주의”,“사명 달성!”,“인간의 생각과 맞지 않는…”을 생각하게합니다. – 그렇지 않습니까? 실제로 is-a-relationship에 대해 이야기하는 것이 유형 이론을 사용하는 것입니다.

O

$O$

o

$o$

Θ

$\Theta$

— leftaroundabout

13

형식적으로 말하면, 함수의 집합이다 되도록 일부에 대한 상수 모두 충분히 큰 . 따라서 가장 놀랍도록 정확한 작성 방법은 입니다. 그러나 대신 사용하는 것이 완전히 표준이며 은 합니다. 우리는 집합 거의 조작하지 않기 때문에 본질적으로 결코 모호하지 않습니다 . $O(f(n))$ $g$ $g(n)\leq k\,f(n)$ $k$ $n$ $T(n)\in O(f(n))$ $=$ $\in$ $T(n)=O(f(n))$ $T(n)\in O(f(n))$ $O(f(n))$

어떤 의미에서, 등식을 사용하면 은 "일부 함수 와 같이 은 충분히 큰 "을 의미하며, 이는 다음과 같은 것을 쓸 수 있음을 의미합니다 입니다. 예를 들어 또는 보다 훨씬 정확 합니다. $O(f(n))$ $g$ $g(n)\leq f\,g(n)$ $n$ $f(n) = 3n + O(\log n)$ $f(n)=\Theta(n)$ $f(n)=O(n+\log n)$

— 데이비드 리처 비
소스

쓸 수도 있습니다 . 으로 여러 단계 계산을 것이 편리 할 수 있음을 인정합니다 .

f (n) - 3 n \in O (\log n)

$f(n) - 3n \in O(\log n)$

f (n) = \dots = 3 n + O (\log n)

$f(n) = \ldots = 3n + O(\log n)$

— leftaroundabout

재 배열은 독립형 진술에서만 작동합니다. 계산 중에는 그 종류의 일이 작동하지 않고 여러 함수가 Landau 표기법으로 함께 흡수되는 경우가 훨씬 흔합니다. ( 과 같은 스터프 )

f (x) = e^{- x} (e^{2 x} + O (x)) = e^{x} + o (1)

$f(x) = e^{-x}(e^{2x}+O(x)) = e^x+o(1)$

— David Richerby

4

저런 저런 계산을 찾았습니다. 그 등호는 더 이상 양방향이 아닙니다. 을 쓰는 데 문제가 더 있는지 잘 모르겠습니다 . 나는 또한 표기법의 남용이라고 생각합니다. 기본적으로 연산자를 오버로드하는 반면 와 을 들어서 세트에서 작동 하는 것을 선호 합니다.

f (x) \in e^{x} (e^{2 x} + O (x)) \subset e^{x} + o (1)

$f(x) \in e^x(e^{2x}+O(x)) \subset e^x + o(1)$

=

$=$

+

$+$

\cdot

$\cdot$

— leftaroundabout

가능성있는 점근선 함수 집합 및이 집합의 결정되지 않은 요소 (예 : 대해 약간 다른 표기법을 사용할 수 있습니다 . 따라서 이면 모호한 대신 를 쓸 수 있습니다 . 그러면 문제없이 쓸 수 있습니다 . 지정되지 않은 요소에 대한 다른 가능한 표기법 수도있을 , ...

O (h)

$O(h)$

\in O (h)

$\mathord{\in}O(h)$

f - g \in O (h)

$f-g \in O(h)$

f = g + \in O (h)

$f = g+\mathord{\in}O(h)$

f = g + O (h)

$f = g+O(h)$

\in O (h) = f - g

$\mathord{\in}O(h) = f-g$

O (h)

$O(h)$

\dot{O} (h)

$\dot O(h)$

\hat{O} (h)

$\hat O(h)$

— 미셸 Fioc

11

프롤로그 : 큰 표기법은 인간의 마음에 사랑받는 언어의 일부로서 일부 표기법의 힘과 모호성의 전형적인 예입니다. 얼마나 많은 혼란이 있었더라도, 우리가 쉽게 식별하고 효율적으로 동의 할 수있는 아이디어를 전달하는 표기법의 선택으로 남아 있습니다. $O$

나는 큰 표기법의 의미를 완전히 이해 합니다. 내 문제는 우리가 라고 말할 때 , 여기서 은 크기 입력에 대한 알고리즘의 실행 시간입니다 . $O$ $T(n)=O(f(n))$ $T(n)$ $n$

죄송하지만 큰 표기법 의 의미를 이해하면 문제가 없습니다 . $O$

나는 그것의 의미를 이해합니다. 그러나 과 은 서로 다른 두 가지입니다. 은 정확한 숫자이지만 는 숫자를 내뿜는 함수가 아니므로 기술적으로 은 과 같다고 말할 수 없습니다. 당신 은 의 가치 가 무엇입니까, 당신의 대답은 무엇입니까? 답이 없습니다. $T(n)$ $O(f(n))$ $T(n)$ $O(f(n))$ $T(n)$ $O(f(n))$ $O(f(n))$

중요한 것은 의미론 이다. 중요한 것은 사람들이 관심있는 점근 적 행동이나 시간 또는 공간의 복잡성을 설명하는 정확한 해석에 쉽게 동의 할 수있는 방법입니다. 의 기본 정확한 해석 / 정의 은 Wikipedia 에서 번역 된대로 $T(n)=O(f(n))$

$T$ 는 실수 또는 복소수 값의 함수이고 는 실수 값의 무한한 부분 집합에 정의 된 실제 값 함수이므로 은 충분히 큰 값에 대해 모두 양수입니다 . 충분히 큰 모든 값에 대해 의 절대 값은 최대 의 양의 상수 배수입니다 . 즉, 양의 실수가 존재 과 실수 그러한가 $f$ $f(n)$ $n$ $n$ $T(n)$ $f(n)$ $M$ $n_0$

${\text{ for all }n\geq n_{0}, |T(n)|\leq \;Mf(n){\text{ for all }}n\geq n_{0}.}$

이 해석은 정의 로 간주 됩니다 . 다양한 방식으로 크게 도움이 될 수있는 다른 모든 해석 및 이해는 부차적이며 결과적입니다. 모든 사람 (적어도 모든 답변자)은이 해석 / 정의 / 의미에 동의합니다. 이 해석을 적용 할 수 있다면 대부분의 시간이 좋을 것입니다. 긴장을 풀고 편안하십시오. 영어 나 프랑스어의 불규칙성 또는 대부분의 자연어에 대해 너무 많이 생각하지 않는 것처럼 너무 많이 생각하고 싶지 않습니다. 해당 정의에 따라 표기법을 사용하십시오.

$T(n)$ 은 정확한 숫자이지만 는 숫자를 내뿜는 함수가 아니므로 기술적으로 은 과 같다고 말할 수 없습니다. 당신 은 의 가치 가 무엇입니까, 당신의 대답은 무엇입니까? 답이 없습니다. $O(f(n))$ $T(n)$ $O(f(n))$ $O(f(n))$

실제로, 질문이 잘못 제기 되었기 때문에 대답이 없었습니다. 은 정확한 숫자를 의미하지 않습니다. 이름이 이고 형식 매개 변수가 의 에 된 )를 나타냅니다. 라고 쓰면 정확하고 훨씬 더 정확합니다 . 경우 매핑하는 함수이며 에 및 함수 맵이다 에 , 또한 기록에 종래 또는 $T(n)$ $T$ $n$ $n$ $f(n)$ $T=O(f)$ $T$ $n$ $n^2$ $f$ $n$ $n^3$ $f(n)=O(n^3)$ $n^2=O(n^3)$ . 정의는 가 함수인지 여부를 나타내지 않습니다. 왼쪽이 오른쪽과 같다고 말하지는 않습니다! 등호는 평등의 의미에서 평등을 의미하지 않는다고 의심 할 권리가 있습니다. 평등의 양쪽을 바꿀 수 있으며 동등한 관계에 의해 뒷받침되어야합니다. (등호 남용의 또 다른 유명한 예는 일부 언어에서 보다 성가신 대신 대부분의 프로그래밍 언어에서 할당을 의미하기 위해 등호를 사용하는 것입니다 .) $O$ :=

우리가 아니라 하나의 평등에 대해 우려하는 경우 (내가 아니라 언어를 남용하기 시작하고 그것. 평등하지 않지만, 그것은 평등이 거기 표기법에 등호가 또는 그것이 평등의 일종으로 해석 될 수 있기 때문에 ), 이면이 답변이 완료됩니다. $T(n)=O(f(n))$

그러나 문제는 실제로 계속됩니다. 예를 들어 이란 무엇입니까? 이 평등은 위의 정의에 포함되지 않습니다. 자리 표시 자 규칙이라는 또 다른 규칙을 소개하려고 합니다. 다음은 Wikipedia에 명시된 자리 표시 자 규칙에 대한 전체 설명입니다 . $f(n)=3n+O(\log n)$

더 복잡한 사용법에서 는 방정식의 여러 위치에서 각면에 여러 번 나타날 수 있습니다. 예를 들어, 다음은 됩니다. $O(\cdots)$ $n\to \infty$

$(n+1)^{2}=n^{2}+O(n)$
$(n+O(n^{1/2}))(n+O(\log n))^{2}=n^{3}+O(n^{5/2})$
$n^{O(1)}=O(e^{n})$

다음과 같은 문장의 의미는 각각 만족하는 모든 기능에 대한 좌측을 각각 만족하는 일부 기능있다 오른쪽에되도록 방정식에 모든 이러한 기능을 대체 양측을 동일하게 만듭니다. 예를 들어, 위의 세 번째 방정식은 "모든 함수 에 대해 와 같은 . " $O(\cdots)$ $O(\cdots)$ $f(n) = O(1)$ $g(n) = O(e^n)$ $n^{f(n)} = g(n)$

실제 자리 표시 자 규칙의 다른 예 를 보려면 여기 를 확인 하십시오 .

내가 지금까지 큰 표기법에 대한 이론적 인 설명을 사용하지 않았다는 것을 알았을 것입니다. 내가 한 것은 " 은 함수의 집합 "과 같은 이론적 인 설명 없이도 보여주기 위한 것입니다. 우리는 여전히 큰 표기법을 완전하고 완벽하게 이해할 수 있습니다 . 이 이론적 설명이 유용하다면 어쨌든 계속 진행하십시오. $O$ $O(f(n))$ $O$

big , , small , small , multivariable 사용법 등과 같이 점근선 동작 표기법 패밀리에 대한보다 자세한 분석 및 사용 패턴에 대해서는 CLRS의 "점근선 표기법"섹션을 확인할 수 있습니다 . 위키 백과 항목 도 꽤 좋은 참조입니다. $\Theta$ $\Omega$ $o$ $\omega$

마지막으로, 여러 변수 1 과 2 로 큰 표기법 이있는 고유 한 모호성 / 논쟁이 있습니다. 그것들을 사용할 때 두 번 생각하고 싶을 수도 있습니다. $O$

— 패스 잭
소스

10

에서 알고리즘 디자인 매뉴얼 [1], 당신은이 문제에 대한 단락을 찾을 수 있습니다 :

, 및 포함한 Big Oh 표기법 은 함수를 비교할 때 대등 한 평등 개념을 제공합니다. 과 같은 표현식을 보는 것은 다소 애매 하지만 상한과 하한으로 정의로 돌아가서 의미를 항상 해결할 수 있습니다. 여기서 "="인 "" 중 하나를 의미하는 것으로 읽는 것이 가장 유익합니다 . 분명히 는 인 함수 중 하나입니다 . $O$ $\Omega$ $\Theta$ $n^2 = O(n^3)$ $n^2$ $O(n^3)$

엄밀히 (가 언급 한 바와 같이 말하기 데이비드 Richerby의 코멘트 ) 당신에게 평등의 대략적인 개념을 제공 보다 적게보다는 또는 동등한-의 대략적인 개념을, 그리고 와보다 큰 또는 동등한의 거친 개념 -에. $\Theta$ $O$ $\Omega$

그럼에도 불구하고 Vincenzo의 답변에 동의합니다 . 을 함수 집합으로, = 기호를 설정된 멤버십 기호 해석하면 . $O(f(n))$ $\in$

[1] Skiena, SS 알고리즘 디자인 매뉴얼 (제 2 판). 스프링거 (2008)

— 마리오 세르 베라
소스

7

일반적으로, 와 같은 문장 은 해석되어 로 해석 될 수 있습니다

f = O (g)

$f = O(g)$

there exists h \in O (g) such that f = h .

$\text{there exists } h \in O(g) \text{ such that }f = h\,.$

데이비드 Richerby 우리 물품 여기서 언급처럼이 상황에서 더욱 유용하게 의미하는 "존재 되도록 . " $f(n) = n^3 + O(n^2)$ $g(n) \in O(n^2)$ $f(n) = n^2 + g(n)$

이 실존 적 수량화 해석이 매우 유용하다는 것을 알았습니다.

f (n) \leq O (n^{3})

$f(n) \leq O(n^3)$

일부는 훨씬 더 심각한 스타일의 위반을 발견 할 수 있지만 " 과 같은 가 있습니다."라고 쓰는 공간 절약적인 방법 일뿐 입니다. $C$ $f(n) \leq C n^3$

— usul
소스

그의 교과서에서 Jeff Edmonds는 사용합니다 .

\leq

$\le$

— Theodore Norvell

2

많은 다른 포스터 함수 세트를 나타내는 바와 같이 큰-O가 생각 될 수 있음을 설명했고, 표기 것을 을 가리 (의 함수로서 ) 에 설정 은 표시됩니다 (다시 매개 변수로 을 고려함 ). 영어 텍스트에서는 혼동을 피하기 위해 " is "로 작성하는 것이 좋습니다. $n^2 = O(n^3)$ $n^2$ $n$ $O(n^3)$ $n$ $n^2$ $O(n^3)$

표기법이 혼동 될 수 있지만, 와 를 동일한 표기법의 일부로 생각하는 데 도움이 될 수 있습니다 . 즉, 를 하나의 기호 인 것처럼 취급 하는 것이 좋습니다. 프로그래밍 언어로 작성할 때하는 것과는 조금 다릅니다 . 인접한 두 개의 심볼이 눈에 들어갑니다. $O$ $=$ $= O$ >=

표기법의 또 다른 까다로운 측면은 매개 변수 역할을하는 변수가 함수 선언이나 람다 표기법과 같은 방식 으로 명시 적으로 식별되거나 바인딩 되지 않는다는 것입니다. 가 상수 라는 것을 암시 할 수 있기 때문에 와 같이 와 같은 식에서와 같이 두 개의 변수가 관련된 경우에는 특히 혼란 스러울 수 있습니다 . 다시 말하지만, 일부 알고리즘은 Big-O 세트에서 복잡성이 두 변수에 따라 기술적으로 다르지만 실제로 그 중 하나는 고정되어 있습니다. 또한 하나의 알고리즘의 복잡성을 측정하는 여러 가지 합리적인 방법이있을 수 있습니다. 입력이 숫자 인 경우, 예를 들어, 알고리즘이있을 값에 $O(mn)$ $O(n^c)$ $c$ $O(n)$ $n$ 숫자 의 비트 크기에서 이지만 숫자의 복잡성 이론 자체는 있지만 비트 크기가 일반적으로 올바른 매개 변수입니다. $O(2^b)$

이 모든 것은 Big-O가 부정확성에 의해 비공식적 인 표기법이며, 저자가 말하는 것을 이해하기 위해 종종 다른 맥락을 사용해야합니다.

항상 그렇듯이 자신의 글에서 혼란을 피하는 것이 가장 좋으며, 피하고 대신 또는 영어 "… is in…"를 사용하는 것이 좋습니다 . $= O$ $\in O$

— ezrakilty
소스

" "일반적으로 판독 될 " 의 큰 O -squared이고 -cubed"또는 " 순서 -squared 인 -cubed."

n^{2} = O (n^{3})

$n^2=O(n^3)$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— David Richerby

2

여러 번 이루어진 요점에 밑줄을 긋기 위해 NG de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis에서 인용 할 수 있습니다 .

이러한 모든 공식의 일반적인 해석은 다음과 같이 표현 될 수 있습니다. 기호 와 관련된 표현 은 함수의 클래스로 간주됩니다. 만약 범위 간주하고 폼의 모든 기능의 클래스를 나타내고, 함께 , . 그리고 는 클래스가 클래스에 포함되어 있음을 의미합니다. $O$ $0 < x < \infty$ $O(1) + O(x^2)$ $f(x) + g(x)$ $f(x) = O(1)\,\,(0 < x < \infty)$ $g(x) = O(x^2)\,\,(0 < x < \infty)$ $x^{-1}O(1) = O(1) + O(x^{-2})$ $x^{-1}O(1)$ $O(1) + O(x^{-2})$ . 때로는 관계의 왼쪽이 클래스가 아니라 단일 함수 [...]입니다. 그런 다음 관계는 왼쪽의 함수가 오른쪽의 클래스 멤버임을 의미합니다.

기호 는 대칭을 제안하고 그러한 대칭이 없기 때문에 그러한 관계에 대해 실제로 잘못된 기호 라는 것이 분명합니다 . 예를 들어, 는 정확하지만 가 잘못되었습니다. 그러나 일단이 경고가 주어지면 sign 을 사용하면 크게 해를 끼치 지 않으며 관습적인 것 외에 다른 이유없이이를 유지해야합니다. $=$ $O(x) = O(x^2)\,\,(x \rightarrow \infty)$ $O(x^2) = O(x)\,\,(x \rightarrow \infty)$ $=$

도널드 크 누스 (Donald Knuth)는 또한 수학자 들이 영어에서 "is"라는 단어를 사용할 때 기호를 자주 사용한다고 지적했다 . "아리스토텔레스는 남자이지만 남자는 반드시 아리스토텔레스 일 필요는 없습니다." $=$

그러나 Bender와 Orszag의 표기법 ( 과학자와 엔지니어를위한 고급 수학적 방법 )은 훨씬 덜 혼란스럽고 고려할 가치가 있습니다. 한계에 대해서는 다음과 같이 말합니다.

f (x) \sim g (x) (x \to x_{0})

$f(x) \sim g(x)\,\,(x \rightarrow x_0)$

( " 는 점근 "으로 발음 됨 ) 의미 $f$ $g$

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 1

$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

과:

f (x) ≪ g (x) (x \to x_{0})

$f(x) \ll g(x)\,\,(x \rightarrow x_0)$

( " 는 와 비교하여 무시할 수 있음 "으로 발음 ) 의미 $f$ $g$

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 0

$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

그러나 big-oh 표기법의 이점은 상수 요소가 임의적이라는 것입니다. (그리고 약간의 표기법의 경우 상수 요소는 무엇이든 상관 없습니다.)

— 아호
소스

0

나는 이것을 stackoverflow로 넘겼다 . OP에 대한 가장 정확한 답변은 위에서 이미 언급되었지만 (아래의 # 1로 등가되는 클래스) 아래에 완전한 답변이 있습니다.

sets : " "는 을 의미합니다. 즉, 집합의 멤버십, 예 : " 의해 점진적으로 묶인 함수 세트 " 이것은 내가 알고있는 점근 법 표기법의 표준 수학적 처리입니다. 이 집합은 하위 집합에 해당하는 부분 순서를 갖습니다 예 : (일부 집합은 비교할 수 없음; DAG; 흥미로운 것은 다항식 계층 구조 참조) 예). $f= O(\cdot)$ $f \in O(\cdot)$ $\{\frac{1}{2} x^2, (5 x^2-x+5), 2.5x,...\}$ $x^2$ $O(x^2) < O(x^3) = O(x^3 + x)$

노트. " "는 합니다. 그러나, 주 위 달리이 분명 동치 관계 (같이 순진한 관계 X 것을 IFF 하지 등가 클래스 보낸 을 의미하지는 않는 ; " 의 요소 둘 다"의 사소한 동등성 관계 는 아마도 개념적으로는 수학적으로 흥미롭지 않지만, 에서는 다중 동등성 클래스는 함수의 공간을 분할합니다. $f= \Theta(\cdot)$ $f \in \Theta(\cdot)$ f X g $f \in O(g)$ $f \in O(g)$ $g \in f(g)$ $O(g)$ $\Theta$
와일드 카드 표현 : 당신의 정의를 이전 버전과 엔지니어 수 : (AN 존재 즉 기원 근처에 무관 심한 일부 반경 후 , 등이 모든 것을 위해 ...)하는 존재 (즉, ) 를 경계 로하는 상수 상수 배수로 , 그래서 우리는 단지 어떤 식 표현식으로 , 즉 바운드 자체와 우리가 신경 쓰지 않는 오류 용어 ( 묶인 오류 용어 에 대한 $f \in \Theta(g)$ $x_0$ $x>x_0$ $g$ $f$ $LOW*g(x) \le f(x) \le HIGH*g(x)$ $O(g)$ $k_1g(x)+err(x)$ $0 \le err(x) \le k_2g(x)$ $x>x_0$ ) .....에 대해 잠재적으로 제한이 없습니다. 예를 들어 라고 말하면 이 오류 용어는 입니다. 우리는 결코 이것을 적어 두지 않을 것입니다 ... 조금 어리석기 때문입니다. 그러나 나는 그렇게 생각하는 것이 합법적 일 수 있으며 평등의 개념을 보존 할 것이라고 믿는다. (여기에서 부정적인 징후를 올바르게 치료하고 있습니다. 중요 할 수 있습니다.) $x\le x_0$ $f = 2^{\Theta(x^2)}$ $f(x)=2^{k_1x^2+err(x)}$ $0 \le err(x) \le k_2x^2$

에이. 대신 위의 내용을 수정하십시오. $O$ $\Theta$

— 닌자 게코
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1 부는 이제 작동하는 것 같습니다. 그러나 2에서 오류 용어를 처리하는 것은 여전히 잘못입니다. 긍정적 인 용어 대해 를 로 쓸 수 없습니다 . 그리고 만약 당신이 라고 쓰려고한다면, 나는 당신이 오류 용어를 "걱정하지 않는다"고 말하는 것이 사실이라고 생각하지 않습니다. 오류 항은 이며 이는 보다 훨씬 큽니다 .

x^{2}

$x^2$

k_{1} x^{3} + e r r

$k_1x^3+\mathrm{err}$

e r r

$\mathrm{err}$

x^{2} = 2^{x} + e r r

$x^2 = 2^x+\mathrm{err}$

2^{x} - x^{2}

$2^x-x^2$

x^{2}

$x^2$

— David Richerby

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더 정확한 답은 함수 f가 '함수 g의 큰 O'라고 말할 때입니다. (즉, x ^ 2 + x는 O (x ^ 2)입니다) 우리는 어떤 값 C와 k에 대해 f (x) <C * g (x)이고 여기서 x> k입니다. 이것은 g가 f의 beaiver에 대한 상한임을 의미합니다.

예

x ^ 2 + 10x 4는 O (x ^ 2 + x)이며 이는 자체 O (x ^ 2)입니다.

— 다드 라크
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