2 차원 피크 찾기 복잡성 (MIT OCW 6.006)

43:30 에 MIT OCW 6.006 의 암송 비디오 에서

주어진 $m \times n$ 매트릭스 $A$ 와 $m$ 열과 $n$ 피크가 인접한 이웃보다 크거나 같은 임의의 값인 2 차원 피크 발견 알고리즘 인 행을 다음과 같이 설명했습니다.

참고 : 통해 열을 설명하는 데 혼란이있는 경우 $n$, 사과드립니다. 그러나 이것은 암송 비디오가 그것을 묘사하는 방법이며 비디오와 일치하려고했습니다. 그것은 나를 매우 혼란스럽게했다.

1. 가운데 열을 선택 $n/2$// 복잡성이있다$\Theta(1)$

2. 열의 최대 값을 구합니다 $n/2$// 복잡성이있다 $\Theta(m)$ 있기 때문에 $m$ 열의 행

3. Horiz를 확인하십시오. 최대 값의 행 이웃, 최대 값보다 크면 피크가 발견되고 그렇지 않으면$T(n/2, m)$// 복잡성이있다$T(n/2,m)$

그런 다음 재발을 평가하기 위해 암송 강사는 말합니다.

$T(1,m) = \Theta(m)$ 최대 값을 찾기 때문에

$$T(n,m) = \Theta(1) + \Theta(m) + T(n/2, m) \tag{E1}$$

나는 비디오에서 52:09에 다음 부분을 이해합니다. $m$행 수는 변하지 않기 때문에 상수처럼. 그러나 이것이 어떻게 다음 제품으로 이어지는 지 이해하지 못합니다.

그렇게 생각합니다 $m$ 상수처럼 취급되므로 이렇게 취급됩니다 $\Theta(1)$ 에서 제거 $(E1)$위. 그러나 나는 점프하기가 힘들다.$(E2)$. 우리가 지금의 경우를 고려하고 있기 때문에 이것은$T(n/2)$ 일정하게 $m$?

전반적인 아이디어를 "볼"수 있다고 생각합니다. $\Theta(\log n)$m 개의 행 수에 대해 최악의 경우 연산이 수행됩니다. 내가 알아 내려고하는 것은 점프를 설명하는 방법입니다.$(E1)$ 에 $(E2)$ 다른 사람에게, 즉 진정한 이해를 얻습니다.

내가 알기로는 $\Theta$(m) 주어진 열의 모든 요소를 ​​평가하고 그 요소 중 어느 것이 전체 최대 값인지 식별 ​​할 시간. 어디$\Theta (\lg(n))$ 최악의 시나리오에서는 알고리즘이 평가해야한다는 것입니다 $\lg(n)$피크를 찾기 전에 행렬의 열. 그러면 총 작업은$\Theta(m\lg(n))$

예를 들어, 행렬에 32 개의 열과 8 개의 행이 있다고 가정합니다.

1. 열 16과 같은 중간 열을 가져 와서이를 평가하고 열의 전체 피크가 오른쪽의 요소로 대체됨을 알 수 있습니다. 1-16 열을 삭제하고 17-32 열에 초점을 맞 춥니 다.
2. 나머지 행렬의 가운데 열 (24 열)을 찾아 전역 피크를 평가합니다 (두 번째 열 평가). 오른쪽으로 이동해야합니다. 열 17-24를 삭제하고 25-32에 초점을 맞 춥니 다.
3. 중간을 찾으십시오 (열 28)-당신은 평가하고 (제 3 열 평가), 당신은 오른쪽으로 이동해야한다는 것을 알았습니다. 열 25-28을 떨어 뜨리고 29-32에 집중하십시오.
4. 열 30 (4 번째 평가)을 평가하고 오른쪽으로 이동해야하며 29-30 열을 삭제하십시오.
5. 나머지 열 중 하나 (5 번째 열 평가)를 평가하면 완료됩니다.

총 5 개의 열 평가를 완료했습니다. 5 =$\lg(32)$ = $\lg(n)$ 여기서 n은 행렬의 열 수이고 lg는 log base 2입니다.

개요 분석이 올바르지 않은 것 같습니다. 올바른 복잡성은$O(m)$ 어디 $m$행렬의 더 큰 차원 (행 또는 열)입니다. 자세한 내용은이 다른 올바른 분석 을 참조하십시오 . 실수의 일부는 되풀이 관계를 정의하지 않습니다$T(n,m)$ 의 관점에서 $T(n,m)$(용지에서 올바르게 처리됨). 이 논문은 무한 시리즈를 보여 주거나 사용한다 :

$\begin{eqnarray*} T(n) & = & T \left({n \over 2}\right) + cn \\ T(n) & = & T(1) + cn \left( 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \cdots \right) \\ &= & O(n) \end{eqnarray*}$