Sierpiński 그래프의 해밀턴 사이클 수

나는이 포럼을 처음 접했고, 그의 두뇌를 유지하기 위해 이것을하는 물리학 자일뿐입니다. 가장 우아한 언어를 사용하지 않으면 은혜를 보여주세요. 다른 태그가 더 적합하다고 생각되면 의견을 남겨주세요.

내가 해결하기 위해 노력하고 이 문제 내가 해밀턴 사이클의 수를 계산해야하는 $C(n)$ 에서 번째 순서 시어 핀 스키 그래프 . (Sierpinski 그래프의 정의와 그림은 위의 링크를 참조하십시오)$n$$S_n$

을 찾았 지만 솔루션이 주어진 값 과 일치하지 않기 때문에 무언가를 엉망으로 . 나의 주장은 매우 기본적인 생각들로 구성되어 있으며, 실수를 찾을 수 없습니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다. 시간이 오래 걸리더라도 따라 가면서 그래프 를 보면 생각이 사소 해집니다 .$C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(a) 주어진 그래프 에서 외부 모서리 호출하십시오 . 그런 다음 다음 수량을 정의합니다.$S_n$$A,B,C$

$N(n) :=$ 에서 까지의 해밀턴 경로 수 .$A$$C$

$\bar{N}(n) :=$ B를 제외하고 각 노드를 한 번 방문하는 에서 C 까지의 경로 수 .$A$$C$$B$

또한 다음과 같은 경로 또는 ˉ N 유형 경로를 호출 합니다.$N$$\bar{N}$

(b) 그것은 쉽게 볼이 .$N(n)=\bar{N}(n)$

그 이유는 다음과 같습니다. 유형 경로를 고려하십시오 . 부터 하면 이 경로의 형식은 ( , . . . , X 1 , B , X 2 , . . . , C ) . 세그먼트 ( X 1 , B , X 2 ) 를 ( X 1 , X 2 ) 로 바꾸면 ˉ N- 타입 경로를 얻을 수 있습니다. 이 작업은 모든 N을 고유하게 매핑합니다.$N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$경로 π 형에 형 경로.$\bar{N}$

(c) 재귀 도출합니다 .$N(n+1)=2N(n)^3$

고려 발 형 경로 에 B를 상기 외각에 subtriangles를 나타낸다 , B , C 에 의한 T , T B , T C 각각. N 형 경로는 T A 에서 T B 를 통해 T C 에서 T C 까지 정확히 한 번만 각 하위 삼각형을 방문 할 것임 이 분명합니다 . 이제 서브 트라이앵글 T A 및 T C가 있는 노드 Z 를 고려하십시오.$N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$접촉. 이 지점이 경로에 의해 방문 될 때, (i) 를 떠나기 전에 또는 (ii) T C를 입력 한 후에 두 가지 가능성이있다 . 이 경우, T A , T B , T C 내부의 3 개의 서브 패스 는 각각 (i) N , N , ˉ N 또는 (ii) ˉ N , N , N 유형 입니다. 이것을 염두에두고 우리는 셀 수 있습니다$T_A$$T_C$$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

과(b)를 사용하여 상위 재귀에 도달합니다.$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$

(d) 재귀 (c) 를 풀고 N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 +를 구합니다 . . . + 3 n - 2 입니다.$N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(E) 그래프의 해밀 토니안 사이클 고려 . 세 개의 하위 삼각형 각각이 두 개의 노드를 통해서만 서로 연결되어 있으므로주기는 하나의 연결 노드를 통해 각 하위 삼각형을 정확히 한 번 입력 한 다음 "채우고", ​​마지막으로 다른 연결 노드를 통해 나옵니다. 따라서 해밀 토니안 사이클에서 S는 N 세 구성 N 모두의 구조를 갖는 형에 subtriangles 윤곽선 S N - 1 . 우리는 해밀턴 사이클의 수로 결론을 내릴 수 있습니다.$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

.$C(n) = N(n-1)^3$

그러나 그것은 n = 5를 따릅니다.$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

후자는 문제 페이지에 따라 얻어야합니다 (위 링크).

도움이나 의견에 다시 한번 감사드립니다.

좋은 생각! 문제가 단계 있는 것 같습니다 . 교체 ( X 1 , B , X 2 ) 에서 N에 의해 - 경로 ( X 1 , X 2하는 ) 제공 ˉ N에서 - 경로가 아닌 모든 ˉ N에서 - 경로를 포함한다 ( X 1 , X 2 ) . 따라서 이것은 형용사가 아닙니다. 이것은 N ( n ) ≤ ˉ N ( n ) 만을 나타 냅니다.$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

아니면 실제로 쇼에 수 의 결과로, N ( N + 1 ) = 3 N 3 .$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$