베이스 10을 거치지 않고베이스를베이스로 변환하는 수학은 무엇입니까?

나는 어떤 기초에서 어떤 기초로 변환하는 것에 대한 수학을 조사해 왔습니다. 이것은 무엇보다 내 결과를 확인하는 것입니다. mathforum.org에서 내 답변으로 보이는 것을 찾았지만 여전히 올바른지 확실하지 않습니다. 큰 숫자에서 작은 숫자로 변환하는 것이 좋습니다. 왜냐하면 단순히 첫 자릿수를 기본 숫자로 곱하기 때문에 다음 자릿수 반복을 추가하고 싶습니다. 작은베이스에서 더 큰베이스로 변환 할 때 문제가 발생합니다. 이 작업을 수행 할 때 원하는 더 큰베이스를 더 작은베이스로 변환하는 방법에 대해 설명합니다. 예를 들어 밑 4에서 밑 6으로 가려면 숫자 6을 밑 4를 12로 바꾸면됩니다. 그러면 큰 것에서 작은 것으로 바꿀 때와 똑같은 일을합니다. 내가 가진 어려움은 한 숫자가 다른 숫자에 무엇인지 알아야한다는 것입니다. 그래서 6이 4에 무엇인지 알아야 할 필요가 있습니다. 테이블이 필요하기 때문에 마음에 큰 문제가 생깁니다. 더 나은 방법으로 이것을하는 방법을 아는 사람이 있습니까?

기본 전환이 도움이 될 것이라고 생각했지만 해당 작업을 찾을 수 없습니다. 그리고 사이트에서 10을 거치지 않고 기본에서 기본으로 변환 할 수있는 것처럼 보이지만 먼저 첫 번째 숫자를 기본에서 기본으로 변환하는 방법을 알아야합니다. 그것은 무의미합니다.

주석가들은 문자를 숫자로 변환 할 수 있어야한다고 말합니다. 그렇다면 이미 알고 있습니다. 그러나 그것은 내 문제가 아닙니다. 내 문제는 큰 염기를 작은 염기로 변환하기 위해 먼저 내가 가지고있는 기본 번호를 원하는 기본 번호로 변환해야한다는 것입니다. 이 작업을 수행 할 때 이러한 기본을 다른 기본으로 변환 할 수 있으면 이미 문제를 해결했기 때문에 목적을 무효화합니다.

편집 : 10 이하의 기지에서 10 이하의 다른 기지로 변환하는 방법을 알아 냈습니다. 또한 10보다 큰 기지에서 10 이하의 기지로 갈 수 있습니다. 문제는 10보다 큰 기본에서 10보다 큰 다른 기본으로 변환 할 때 시작됩니다. 또는 10보다 작은 기본에서 10보다 큰 기본으로 이동하면 코드가 필요하지 않습니다. 코드가 필요하지 않습니다. 코드에 적용됩니다.

이것은 나에게 매우 기본적인 질문으로 보입니다. 조금만 강의하면 실례합니다. 여기서 배울 점 은 숫자가 숫자가 아니라는 것 입니다. 숫자는 추상적 인 수학적 객체 인 반면 숫자 표현은 구체적인 것, 즉 종이의 일련의 심볼 (또는 계산 메모리의 일련의 비트 또는 숫자를 전달할 때 만드는 일련의 사운드)입니다. 당신을 혼란하면 결코 사실입니다 볼 수 있지만, 항상 그 자리 표현을. 따라서 숫자 가 표현 이라고 생각하게 됩니다.

따라서 올바른 질문은 "한베이스에서 다른베이스로 변환하는 방법"이 아니라 "어떤 숫자가 주어진 자릿수 문자열로 표시되는지 어떻게 알 수 있습니까?"와 " 주어진 번호 ".

자 이제 파이썬에서 숫자 표현을 숫자로 변환하는 함수와 반대의 작업을위한 함수를 만들어 봅시다. 참고 : 우리가 기능을 실행할 때 파이썬 코스의 것입니다 화면에 인쇄 가베이스 (10)에있어하지만 수가이가 않습니다 하지 컴퓨터 (그렇지 않은)베이스 (10)에 숫자를 유지하고 있음을 의미한다. 컴퓨터가 숫자를 나타내는 방식과 는 관련 이 없습니다 .

def toDigits(n, b):
    """Convert a positive number n to its digit representation in base b."""
    digits = []
    while n > 0:
        digits.insert(0, n % b)
        n  = n // b
    return digits

def fromDigits(digits, b):
    """Compute the number given by digits in base b."""
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + d
    return n

우리가 이것을 테스트하자 :

>>> toDigits(42, 2)
[1, 0, 1, 0, 1, 0]
>>> toDigits(42, 3)
[1, 1, 2, 0]
>>> fromDigits([1,1,2,0],3)
42

변환 기능으로 무장 한 문제는 쉽게 해결됩니다.

def convertBase(digits, b, c):
    """Convert the digits representation of a number from base b to base c."""
    return toDigits(fromDigits(digits, b), c)

시험:

>>> convertBase([1,1,2,0], 3, 2) 
[1, 0, 1, 0, 1, 0]

참고 : 우리는 기본 10 표현을 통과 하지 못했습니다 ! 기본 표현을 숫자 로 변환 한 다음 숫자를 기본 . 그 숫자는 표현 되지 않았다 . (실제로 컴퓨터는 컴퓨터를 어떻게 든 표현해야했으며 칩에서 발생하는 전기 신호와 펑키 한 물건을 사용하여 컴퓨터를 표현했지만 분명히 0과 1은 아니 었습니다.)$b$$c$

나는 이것을 이해하는 가장 좋은 방법은 외계인 (적어도 비유로서)과 토론하는 것이라고 생각합니다.

정의 는 기본 의 숫자 입니다. 는 숫자 의 문자열 임을 의미합니다 .$x$$b$$x$$<b$

예제 숫자 10010011011은 밑이 2 인 숫자이고, 문자열 68416841531은 밑이 10 인 숫자이며, BADCAFE는 밑이 16 인 숫자입니다.

이제 나는 모든 사람이 평생 동안 에서 일하도록 가르치는 행성 QUUX에서 자랐고 를 기반으로하는 당신을 만난다고 가정 해보십시오 . 숫자를 보여 주면 어떻게해야합니까? 그것을 해석하는 방법이 필요합니다.$q$$b$

정의 나는 다음 공식에 의해 기수 수를 해석 할 수있다 (참고 : 는 기수 의 수이다 )$b$$b$$q$

$$\begin{array}{rcl} [\![\epsilon]\!] &=& 0 \\ [\![\bar s d]\!] &=& [\![\bar s]\!] \times b + d \end{array}$$

여기서 은 빈 문자열을 나타내고 는 숫자 끝나는 문자열을 나타냅니다 . 이 표기법에 대한 추가 사항이 추가되었다는 내 증거를 참조하십시오 .$\epsilon$$\bar s d$$d$

여기서 무슨 일이 있었습니까? 베이스 숫자를 주었고 숫자가 실제로 무엇인지에 대한 이상한 철학없이 베이스 로 해석했습니다 .$b$$q$

키 이것 의 핵심은 와 가 기본 숫자 에서 작동하는 함수라는 것 입니다. 기본 숫자 (문자열)에 재귀 적으로 정의 된 간단한 알고리즘 입니다.$\times$$+$$q$$q$

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전체적으로 실제 숫자가 아닌 변수를 사용했기 때문에 약간 추상적 인 것처럼 보일 수 있습니다. 따라서 기본 13 생물 (기호 )이고 기호를 사용하여 7을 데 익숙 가정 해 봅시다 .$0123456789XYZ$$\alpha \beta \gamma \delta \rho \zeta \xi$

그래서 나는 당신의 알파벳을 보았습니다.

$$\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|} \hline 0 & \alpha & 1 & \beta & 2 & \gamma \\ 3 & \delta & 4 & \rho & 5 & \zeta \\ 6 & \xi & 7 & \beta\alpha & 8 & \beta\beta \\ 9 & \beta\gamma & X & \beta\delta & Y & \beta\rho \\ & & Z & \beta\zeta & & \\ \hline \end{array}$$

그래서 나는 당신이 base 에서 일한다는 것을 알고 있으며 , 당신이 쓴 어떤 숫자가 어떤 base 7 숫자에 해당하는지 알고 있습니다.$\beta\xi$

물리학에 대해 이야기하고 기본 상수 (예 : )에 대해 이야기하고 있다면 이것을 해석해야합니다.$60Z8$

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ \end{array}$$

그래서 나는 를 곱하는 것으로 시작 하지만 이것은 나에게 초등학교 물건입니다.$\beta \zeta \times \beta\xi$

Quux 곱셈표

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline \\ \times & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \hline \beta & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \gamma & \gamma & \rho & \xi & \beta\beta & \beta\delta & \beta\zeta \\ \delta & \delta & \xi & \beta\gamma & \beta\zeta & \gamma\beta & \gamma\rho \\ \rho & \rho & \beta\beta & \beta\zeta & \gamma\gamma & \gamma\xi & \delta\delta \\ \zeta & \zeta & \beta\delta & \gamma\beta & \gamma\xi & \delta\rho & \rho\gamma \\ \xi & \xi & \beta\zeta & \gamma\rho & \delta\delta & \rho\gamma & \zeta\beta \\ \beta\alpha & \beta\alpha & \gamma\alpha & \delta\alpha & \rho\alpha & \zeta\alpha & \xi\alpha \\ \hline \end{array}$$

그래서 찾아 내가 할을 :$\beta \zeta \times \beta\xi$

$$\begin{array}{ccc} & \beta & \zeta \\ \times & \beta & \xi \\ \hline & \xi & \gamma \\ & \rho & \\ \beta & \zeta & \\ \hline \delta & \beta & \gamma \\ \gamma & & \\ \end{array}$$

그래서 나는 이것을 멀리 가지고있다.

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ \end{array}$$

이제 이전에 언급 한 알고리즘을 사용하여 추가를 수행해야합니다.

$$\begin{array}{ccc} \delta & \beta & \gamma \\ & \beta & \beta \\ \hline \delta & \gamma & \delta \\ \end{array}$$

그래서

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \gamma \delta \\ \end{array}$$

이 방법을 계속하면

$$[\![60Z8]\!] = \zeta\delta\xi\gamma\rho.$$

---

요약 : 기본 자릿수 문자열 측면에서 숫자에 대한 자체 개념이 있는 경우 기본 산술 기본 연산-기본 에서 작동하는 기본 산술 연산을 기반으로 기본 에서 자체 시스템으로 숫자를 해석하는 방법이 있습니다 .b $q$$b$$q$

이것은 Andrej 코드 의 리팩토링 (Python 3) 일뿐 입니다. Andrej의 코드 번호는 숫자 목록 (스칼라)을 통해 표시되는 반면 다음 코드 번호는 사용자 정의 문자열 에서 가져온 기호 목록을 통해 표시됩니다 .

def v2r(n, base): # value to representation
    """Convert a positive number to its digit representation in a custom base."""
    b = len(base)
    digits = ''
    while n > 0:
        digits = base[n % b] + digits
        n  = n // b
    return digits

def r2v(digits, base): # representation to value
    """Compute the number represented by string 'digits' in a custom base."""
    b = len(base)
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + base[:b].index(d)
    return n

def b2b(digits, base1, base2):
    """Convert the digits representation of a number from base1 to base2."""
    return v2r(r2v(digits, base1), base2)

사용자 정의 기준에서 값을 표현으로 변환하려면 다음을 수행하십시오.

>>> v2r(64,'01')
'1000000'
>>> v2r(64,'XY')
'YXXXXXX'
>>> v2r(12340,'ZABCDEFGHI') # decimal base with custom symbols
'ABCDZ'

표현 (사용자 정의 기준)에서 값으로 변환을 수행하려면 다음을 수행하십시오.

>>> r2v('100','01')
4
>>> r2v('100','0123456789') # standard decimal base
100
>>> r2v('100','01_whatevr') # decimal base with custom symbols
100
>>> r2v('100','0123456789ABCDEF') # standard hexadecimal base
256
>>> r2v('100','01_whatevr-jklmn') # hexadecimal base with custom symbols
256

한 custome base에서 다른 custome base로 기본 변환을 수행하려면 다음을 수행하십시오.

>>> b2b('1120','012','01')
'101010'
>>> b2b('100','01','0123456789')
'4'
>>> b2b('100','0123456789ABCDEF','01')
'100000000'

기본 변환의 기본 toDigits()조작은 @AndrejBauer answer 의 조작입니다. 그러나 그것을 만들기 위해 숫자의 내부 표현에서 숫자를 만들 필요가 없습니다.이 숫자는 기본적으로 밑 2 표현으로 변환됩니다. 원래 기본 표현으로 필요한 조작을 수행 할 수 있습니다.

첫 번째 단계는 반복적 인 모듈로 분할 연산을 수행하는 것입니다

def convertBase(n,original_base,destination_base):
    digits = []    
    while not is_zero(n):
        digits.insert(0,modulo_div(n,original_base,destination_base))
    return digits

내부 표현이 숫자이므로 0을 테스트하기 위해 specilaised 함수를 만들어야합니다

def is_zero(n):
    for d in n:
        if d != 0:
            return False
    return True

결국 우리는 학교에서 배운대로 목적지별로 표준 구분 인 modulo_div 연산을 만들어야합니다.

def modulo_div(n,original_base,destination_base):
    carry = 0
    for i in range(len(n)):
        d = n[i]
        d+=original_base*carry 
        carry = d%destination_base 
        d=(d//destination_base)
        n[i] = d
        #print(i,d,carry)
    return carry

코드가 올바른지 확인하는 테스트 검사 만하면됩니다.

print(convertBase([1,1,2,0], 3, 2))
#[1, 0, 1, 0, 1, 0]

print(convertBase([1, 0, 1, 0, 1, 0], 2, 3))
#[1, 1, 2, 0]

컴퓨터 프로그램이 필요없는 기본 변환을 수행하는 쉬운 방법을 알고 있습니다. 그것은 어떤베이스에서베이스 2로 또는 그 반대로 변환하는 방법을 정의한 다음 먼저 첫 번째베이스에서베이스 2로 변환 한 다음베이스 2에서 다른베이스로 변환하여 한베이스에서 다른베이스로 커버하는 것입니다. 2는 어떤 염기에서나 곱하거나 나누기가 매우 쉽습니다.

어떤 기수를 기수 2로 변환하려면, 당신이해야 할 일은 어떤 숫자에 대해서도, 당신이 기수 2 표기법을 취하고 0에서 시작한 다음 각 숫자에 대해 그 자리가 0이고 해당 숫자가 1 인 경우 1을 더하는 것보다 두 배로 증가하면 해당 숫자 자체에 도달합니다. 이제 어떤 밑수에 해당 숫자가 주어지면 해당 밑수에 2를 나누어 몫과 나머지를 얻을 수 있습니다. 나머지가 1이면 마지막 이진수는 1이고 나머지가 0이면 마지막 이진수는 0입니다. 다시 2로 나눕니다. 나머지가 1이면 두 번째 마지막 숫자는 1이고 나머지가 0이면 두 번째 마지막 숫자는 0이며 몫이 0이 될 때까지 계속됩니다.

기본 2에서 기본으로 변환하려면 해당 기본에서 0부터 시작한 다음 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하는 각 이진 숫자에 대해 그 숫자가 0이면 두 배 숫자를 두 번 누른 다음 1을 두 번 추가하십시오. 해당 숫자가 1 인 경우 밑

일부 중간베이스로 변환하지 않고베이스 n에서베이스 10으로 변환 할 수 있습니다.

예를 들어,베이스 n에서베이스 9로 변환하려면베이스 10으로 변환하는 알고리즘을 사용하여 "10"을 "9"로 바꿉니다. 다른 기지에서도 마찬가지입니다.