길이 6, 크기 32 및 거리 2의 이진 코드가 있습니까?

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문제는 , st, 의 존재를 증명하거나 반증하는 것입니다 ; ; . ( 는 해밍 거리를 나타냄) $C$ $|c| = 6,\forall c\in C$ $|C| = 32$ $d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$ $d$

만족스러운 코드를 만들려고했습니다. 내가 얻을 수있는 최선의 방법은 , 의 크기를 16으로 는 이론적으로 크기의 상한입니다. 문제를 해결하기 위해 다음에 무엇을해야할지 모르겠습니다. $C = C'\times C'$ $C' = \{000,011,110,101\}$

information-theory coding-theory encoding-scheme

— 미안 구
소스

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예, 그런 세트가 있습니다. 실제로 다음 예제를 찾기 위해 올바른 길을 가고 있습니다.

하자 . 다음을 확인할 수 있습니다. $C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$

난이도가 증가하는 순서대로 나열된 네 가지 관련 운동이 있습니다. 질문에서와 같이 이진 코드 만 관련이 있습니다.

연습 1. 길이가 6이고 길이가 최소 2 인 32 워드 세트의 또 다른 예를 제시하십시오.

연습 2 답과 연습 1에 주어진 두 세트 만 있다는 것을 보여 준다.

연습 3. 적어도 2의 주어진 길이와 페어 단위 거리의 단어로 위의 내용을 일반화하십시오. (Hint, .) $32=2^{6-1}$

운동 4. 경우 (Yuval 교수의 대답에 기재된 상기 일반화) 의 길이의 코드의 최대 크기 인 최소 페어 거리 다음 . $A(n,d)$ $n$ $d$ $A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$

— 존 엘
소스

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생각 에 대해서도 구체적으로, 6 일 수있다 및 모두 같은 와 모두 1의 짝수를 가지고 있기 때문이다. 아니면 뭔가 빠졌습니까?

d (u, v)

$d(u,v)$

u = 000000

$u=000000$

v = 111111

$v=111111$

u \in C

$u\in C$

v \in C

$v\in C$

— siegi 2019

@siegi, 감사합니다. 업데이트되었습니다.

— John L.

@Miangu 대답이 도움이 되었습니까? 수락을 고려 했습니까? (이 의견은 피드백에 따라 삭제됩니다.)

— John L.

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코드 워드와 최소 거리 의 선형 코드에서 짝수의 모든 단어 . $2^{n-1}$ $2$

보다 일반적으로, 만약 의 길이의 코드의 최대 크기 인 과 최소 거리 다음에, . $A_2(n,d)$ $n$ $d$ $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$

— 유발 필름 러스
소스

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좋은 사실. 그런데 왜 대신 사용하지 않겠습니까? 오, 두 글자

A (n, d)

$A(n,d)$

A_{2} (n, d)

$A_2(n,d)$

— John L.

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아래 첨자는 필드를 나타냅니다 .

F_{2}

$\mathbb{F}_2$

— 유발 Filmus