비이성적 인 언어는 CFL이 아닙니다

나는 교과서에서 열심히 연습하고 있으며, 진행 방법을 알 수 없습니다. 여기에 문제가 있습니다. 언어가 있다고 가정합니다 여기서 는 비이성적 인 숫자입니다. 이 문맥없는 언어가 아님 을 어떻게 증명할 수 있습니까?$L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$$\gamma$$L$

경우에 합리적, 그것은 언어를 받아들이는 문법을 구성하는 매우 쉽습니다. 그러나 는 비이성적이므로 실제로 무엇을 해야할지 모르겠습니다. 펌핑 보조기구가 여기에서 작동하는 것처럼 보이지 않습니다. Parikh의 정리는 아마도이 언어에 반 선형 Parikh 이미지가없는 것처럼 직관적으로 보일 것입니다.$\gamma$$\gamma$

이 연습은 제 4 장의 연습 25 인 Jeffrey Shallit의 "정식 언어 및 오토마타 이론의 두 번째 과정"에서 발췌 한 것입니다.

도움을 주시거나 올바른 방향으로 조금씩 움직여 주시면 감사하겠습니다. 감사합니다!

Parikh의 정리에 따르면, 에 문맥이없는 경우 세트 는 반선 형일 것입니다. 형성 , 일부 .$L$$M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$$S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$$u_i = (a_i,b_i)$

분명히 및 각 대한 그렇지 않으면 은 충분히 큰 입니다. 따라서 ( 가 유리하기 때문에). 이것은 모든 가 만족함을 의미 .$u_0 \in M$$u_i \in M$$i > 0$$u_0 + N u_i \notin M$$N$$g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$$g(S)$$(a,b) \in S$$a/b \leq g(S)$

이제 가정 의 조합이다 , 다음 정의 . 상기 프로그램마다 그 조합 만족의 , 우리는 모순을 얻었다 보낸 .$M$$S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$$g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$$(a,b)$$a/b \leq g < \gamma$$\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$

경우 합리적, 증명에 실패하고, 실제로 semilinear이다 실제로, 구성에 의해 , 우측의 임의의 쌍 은 만족시킨다 ( 이므로 ). 반대로, 라고 가정하십시오 . 및 동안 에서 를 뺍니다 . 결국 (이후 의미$\gamma$$M$

이 답변에서 를 제외한 모든 변수 는 양의 정수를 나타냅니다. 비이성적 인 이 주어지면 합리적인 수의 순서가 되도록 가까울 것이다 보다 작은 다른 유리수보다 그 분모보다 적은 .$\gamma$$\gamma>0$$\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$$\dfrac{a_i}{b_i}$$\gamma$$\gamma$$b_i$

펌핑 보조기구가 작동하는 것으로 나타났습니다!

모순을 위해 는 문맥이없는 언어 인 의 펌핑 길이 라고하자 . 하자 인 단어 하지만 "거의". 참고 . 고려하십시오 . 여기서 모든 대해 및 입니다 .$p$$L$$s=a^{a_p}b^{b_p}$$L$$|s|>b_p\ge p$$s=uvwxy$$|vx|> 1$$s_n=uv^nwx^ny\in L$$n\ge0$

하자 하고 수있을 S와 에서의 각각.$t_a$$t_b$$a$$b$$vx$

• 만약 또는 위해 충분한 크기의 수의 비율 의 그것의 들에 보다 커질 것이다 , 즉 .$t_b=0$$\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$$n$$a$$b$$s_n$$\gamma$$s_n\not\in L$
• 그렇지 않으면 입니다. 이후 , . 따라서, 이후 , 있다고하는 .$\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$$t_b<b_p$$\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$$b_p-t_b<b_p$$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$$s_0\not\in L$

위의 모순은 컨텍스트가없는 것을 보여줍니다 .$L$

다음은 쉬운 두 가지 연습 문제입니다.

1. 운동 표시 그런 여기서 문맥 자유 아니다 무리수이다.$L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$$\gamma$

2. 운동 표시하는 여기서 문맥 자유이다 유리수이다.$L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$$\gamma$