간단한 재 작성 시스템을위한 합류 증명

다음과 같은 용어로 구성된 간단한 언어가 있다고 가정하십시오.

$\mathtt{true}$
$\mathtt{false}$
경우 기간이다는 이렇게이다 $t_1,t_2,t_3$ $\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$

이제 다음과 같은 논리적 평가 규칙을 가정하십시오.

\begin{matrix} \frac{}{i f t r u e t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to t_{2}} [E-IfTrue] \frac{}{i f f a l s e t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to t_{3}} [E-IfFalse] \\ \frac{t_{1} \to t_{1}^{'}}{i f t_{1} t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to i f t_{1}^{'} t h e n t_{2} e l s e t_{3}} [E-If] \end{matrix}

$\begin{gather*} \dfrac{} {\mathtt{if}\: \mathtt{true} \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to t_2} \text{[E-IfTrue]} \quad \dfrac{} {\mathtt{if}\: \mathtt{false} \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to t_3} \text{[E-IfFalse]} \\ \dfrac{t_1 \to t_1'} {\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to \mathtt{if}\: t_1' \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3} \text{[E-If]} \\ \end{gather*}$

다음과 같은 펑키 규칙을 추가한다고 가정합니다.

\frac{t_{2} \to t_{2}^{'}}{i f t_{1} t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to i f t_{1} t h e n t_{2}^{'} e l s e t_{3}} [E-IfFunny]

$\dfrac{t_2 \to t_2'} {\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2' \:\mathtt{else}\: t_3} \text{[E-IfFunny]}$

주어진 평가 규칙에 따라이 간단한 언어를 위해 다음을 증명하고자합니다.

정리 : 만약 및 다음이 일부 용어 등이 와 . $r \rightarrow s$ $r \rightarrow t$ $u$ $s \rightarrow u$ $t \rightarrow u$

의 구조를 유도하여 이것을 증명하고 있습니다. 여기까지 내 증거가 있습니다. 모두 잘 작동했지만 마지막 사건에 갇혀 있습니다. 의 구조에 대한 유도 가 충분하지 않은 것 같습니다. 아무도 나를 도울 수 있습니까? $r$ $r$

증명. 유도함으로써 이 취할 수있는 모든 형태를 분리합니다 : $r$ $r$

$r$ 은 상수이며, 일반적인 형태는 아무 것도 평가하지 않으므로 증명할 것이 없습니다.
$r=$ true이면 else 입니다. (a) 두 파생물 모두 E-IfTrue 규칙으로 수행되었습니다. 이 경우 이므로 증명할 것이 없습니다. (b) 하나의 이탈은 E-IfTrue 규칙으로, 다른 하나는 E- 재미 규칙으로 수행되었습니다. 가 E-IfTrue로 수행 되었다고 가정 하면 다른 경우도 동일하게 입증됩니다. 우리는 이제 입니다. 우리는 또한 true이면 그렇지 않으면 이며 (전제) 가 있음을 알고 있습니다 . 이제 선택 하면 사례가 끝납니다. $r_2$ $r_3$ $s=t$ $r \rightarrow s$ $s = r_2$ $t =$ $r'_2$ $r_3$ $r_2 \rightarrow r'_2$ $u = r'_2$
$r=$ false 인 경우 else . 위와 동일하게 입증되었습니다. $r_2$ $r_3$
$r=$ 경우 다음 다른 와 참 또는 거짓. (a) 두 가지 모두 E-If 규칙으로 수행되었습니다. 우리는 지금 알고 경우 다음 다른 및 $r_1$ $r_2$ $r_3$ $r_1 \neq$ $s =$ $r'_1$ $r_2$ $r_3$ $t =$ $r''_1$ $r_2$ $r_3$ $r_1 \rightarrow r'_1$ $r_1 \rightarrow r''_1$ $r'''_1$ $r'_1 \rightarrow r'''_1$ 및 . 우리는 지금 말로 사건을 결론 경우 다음 다른 하고 알아 차린 그 와 전자의 경우 규정에 의해. (b) 하나는 E-If 규칙에 의해 그리고 하나는 E-Funny 규칙에 의해 도출되었다. $r''_1 \rightarrow r'''_1$ $u =$ $r'''_1$ $r_2$ $r_3$ $s \rightarrow u$ $t \rightarrow u$

후자의 경우, E-If와 E-Funny에 의한 하나의 파생물이 내가 누락 된 경우입니다 ... 나는 가설을 사용할 수없는 것 같습니다.

도움을 주시면 감사하겠습니다.

— 대구
소스

@Gilles는 편집을 매우 잘 수행했습니다. 나는 SE의 TeX 엔진이 모든 것을 가능하게했다는 것을 몰랐다 ... :-)

— codd

내가 틀렸거나이 연습이 Pierce "Types and Programming Languages"에서 가져 왔습니까?

— Fabio F.

@FabioF. 그것은 실제로 Pierce 's Types and Programming Languages 책에서 발췌 한 것입니다. 그는 유도를 수행하는 방식 때문에 불분명하다는 증거를 제공합니다. 그래서 구조에 대한 유도를 통해 스스로 증명하려고했습니다. 나는 그것이 책에서 나온 것이라고 언급하려고 생각했지만 오히려 관련이 없다고 생각했습니다. 그러나 잘 알았습니다!

— codd

답변:

자, 경우를 생각해 봅시다. , 는 E-If 규칙을 적용하여 도출되었으며 는 E-Funny 규칙을 적용하여 도출되었습니다. So $r = \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $s$ $t$ 여기서, 및 $s = \mathtt{if}\: t'_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $t_1 \rightarrow t'_1$ 여기서 . $t = \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t'_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $t_2 \rightarrow t'_2$

우리가 찾고 있는 는 $u$ . 는 규칙 E-Funny를따르고 는 규칙 E-If를 따릅니다. $u = \mathtt{if}\: t'_1 \:\mathtt{then}\: t'_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $s \rightarrow u$ $t \rightarrow u$

— sepp2k
소스

나를 이길. 좋은 작업.

— Patrick87

어이, 난 정말 너무 멀리보고 있었다 ... 감사합니다!

— codd

당신은 그들을 섞 었지 만

는 E-Funny의 뒤를 따릅니다. 아니면 뭔가 잘못보고 있습니까?

s \to u

$s \rightarrow u$

— codd

@Jeroen 네 말이 맞아-내가 섞 었어. 지금 수정했습니다.

— sepp2k

이 최대를보고 싶을 경우 약간의 용어에 도움이 될 수 있습니다 :이 규칙은 재 작성 규칙 , 그들은 형 systems¹와는 아무 상관이 없습니다. 증명하려는 재산을 합류 라고합니다 . 보다 구체적으로, 강력한 합류 : 한 단계에서 용어를 다른 방식으로 줄일 수 있으면 다음 단계에서 다시 수렴 할 수 있습니다. 일반적으로, 합류는 단계 번호와 거기 할 수 있도록 한 다음의 경우 및 다음가 되도록 및 $r\to^*s$ $r\to^*t$ $u$ $s\to^*u$ $t\to^*u$ — 용어가 다른 방식으로 축소 될 수있는 경우, 거리가 멀어 지더라도 결국 수렴 될 수 있습니다.

이와 같이 귀납적으로 정의 된 재 작성 규칙의 속성을 입증하는 가장 좋은 방법은 축소 된 용어의 구조가 아니라 감소의 파생 구조를 유도하는 것입니다. 여기서는 규칙이 왼쪽 항의 구조를 따르기 때문에 작동하지만 규칙에 대한 추론은 더 간단합니다. 이 용어로 뛰어 드는 대신, 모든 규칙 쌍을 취하고 어느 용어가 두 용어의 왼쪽이 될 수 있는지 알 수 있습니다. 이 예에서는 결국 같은 경우가 있지만 조금 더 빠릅니다.

문제가 발생하는 경우 한쪽은 "if"부분을 줄이고 다른 쪽은 "then"부분을 줄입니다. (변경하는 두 부분 사이에는 중첩이 없어 에서 [E-IF, , 그리고 아무런 제약이 없다 [E-IfFunny])에서 [E-IF] 또는에 에서 [E-은 IfFunny]. 둘 다 규칙이 적용되는 용어가 그래서 - 이는 형식이어야 $t1$ $t_2$ $t_2$ $t_1$ 에서는 다음 순서로 규칙을 적용하도록 선택할 수 있습니다. $\mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3$

\begin{array}{rcl} i f r_{1} t h e n r_{2} e l s e r_{3} \\ [E-If] ↙ & ↘ [E-IfFunny] \\ i f r_{1}^{'} t h e n r_{2} e l s e r_{3} & i f r_{1} t h e n r_{2}^{'} e l s e r_{3} \\ [E-IfFunny] ↘ & ↙ [E-If] \\ i f r_{1}^{'} t h e n r_{2}^{'} e l s e r_{3} \end{array}

$\begin{array}{rcl} & \mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3 & \\ {\small \text{[E-If]}} \swarrow & & \searrow {\small \text{[E-IfFunny]}} \\ \mathtt{if}\: r_1' \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3 & & \mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2' \:\mathtt{else}\: r_3 \\ {\small \text{[E-IfFunny]}} \searrow & & \swarrow {\small \text{[E-If]}} \\ & \mathtt{if}\: r_1' \:\mathtt{then}\: r_2' \:\mathtt{else}\: r_3 & \\ \end{array}$

¹ _{때때로 유형과 재 작성을 볼 수 있지만 그 핵심은 직교 개념입니다.}

— 질 'SO- 악마 그만해'
소스