그래프에 가장자리를 추가 할 때 얼마나 짧은 거리가 변합니까?

하자 일부 완료 가중 될 무향 그래프. 우리는 두 번째 구성 그래프 G ' = ( V , E를 ' ) 가장자리를 행 하나씩 추가함으로써 E 에 E를 ' . 우리 는 총 G ' 에 Θ ( | V | ) 모서리를 추가 합니다.$G=(V,E)$$G'=(V, E')$$E$$E'$$\Theta(|V|)$$G'$

우리가 하나의 테두리를 추가 할 때마다 에 E ' , 우리가 모든 쌍 사이의 최단 거리를 고려 ( V , E ' ) 및 ( V , E ' ∪ { ( U , V ) } ) . ( u , v ) 를 더한 결과,이 최단 거리 중 몇 개가 변경 되었습니까 ? 우리가 i를 추가 할 때 변하는 가장 짧은 거리의 수를 C i 로 하자.$(u,v)$$E'$$(V, E')$$(V, E' \cup \{ (u,v) \})$$(u,v)$$C_i$$i$가장자리, 그리고 우리가 합계로 추가하는 가장자리의 수를 으로 하자 .$n$

얼마나 큰 ?$C = \frac{\sum_i C_i}{n}$

마찬가지로 , C = O ( N 2 ) 뿐만 아니라이. 이 한계를 개선 할 수 있습니까? 추가 된 모든 모서리에 대한 평균으로 C 를 정의 하므로 많은 거리가 변경되는 단일 라운드는 그다지 흥미롭지 않지만 C = Ω ( n ) 임을 증명합니다 .$C_i = O(|V|^2)=O(n^2)$$C=O(n^2)$$C$$C = \Omega(n)$

시간에 작동하는 기하학적 t 스패너를 탐욕스럽게 계산하는 알고리즘이 있으므로 C 가 o ( n 2 ) 이면 내 알고리즘이 원래 욕심 많은 알고리즘보다 빠르며 C 가 실제로 작은 경우 잠재적으로 가장 잘 알려진 알고리즘보다 빠릅니다 (의심 할지라도).$O(C n \log n)$$C$$o(n^2)$$C$

좋은 경계를 만드는 데 도움이되는 일부 문제 별 속성 : 추가되는 가장자리 는 항상 그래프에있는 가장자리보다 더 큰 가중치를 갖습니다 (반드시 반드시 더 클 필요는 없음). 또한 가중치는 u 와 v 사이의 최단 경로보다 짧습니다 .$(u,v)$$u$$v$

정점이 2D 평면의 점에 해당하고 정점 사이의 거리가이 점 사이의 유클리드 거리라고 가정 할 수 있습니다. 즉, 모든 정점 는 평면의 어떤 점 ( x , y ) 에 해당하며 모서리 ( u , v ) = ( ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ) 의 가중치는 같습니다 에 $v$$(x,y)$$(u,v)=((x_1,y_1),(x_2,y_2))$$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.}$

노드, n 개의 엣지 및 악의적으로 선택된 가중치가 있는 다음 선형 체인을 고려하십시오 .$n+1$$n$

^{[ 출처 ]}

$n \in \mathcal{O}(|V|)$$(u_i,b_j)$$i,j = 1,\dots,k$$k \approx \frac{n}{4}$$n \in \Theta(|V|)$$\Theta(|V|)$$\Theta(|V|^2)$

$n+2$$u_{k-1}$$b_{k-1}$$(u_1,b_1)$$\Theta(|V|^3)$

$(c_1,c_2)$$\approx n$$\approx \sum_{i=1}^{n}i^2 \in \Theta(n^3) = \Theta(|V|^3)$