코인 플립 비교기를 사용할 때 무작위 순열을 반환하는 "정렬"알고리즘이 있습니까?

표준 검색 알고리즘에 사용 된 비교기가 공정한 코인 플립으로 대체 될 때 실행 시간이 변경되는지, 그리고 또한 균일 한 순열 생성기를 작성하지 못하는 Microsoft의 눈에 띄는 오류 에 대해 질문 하는 사람은 이 질문 에서 영감을 얻었 습니다. :

비교기의 구현에 따라 비교 기반 정렬 알고리즘이 있습니까?

1. 실제 비교자를 사용할 때 요소를 정렬 된 순서로 반환합니다 (즉, 비교는 표준 정렬 알고리즘에서 예상하는 것을 수행합니다)
2. 비교기가 공정한 동전 뒤집기로 대체 될 때 (즉, x < y = truex와 y의 값에 관계없이 확률 1/2로 반환) 요소의 균일 한 무작위 순열을 반환합니다.

정렬 알고리즘의 코드는 동일해야합니다. 비교할 수있는 비교 "블랙 박스"내부의 코드 일뿐입니다.

입력 튜플에 대해 다음과 같은 결정 론적 (비교기없이) 알고리즘이 작동합니다. $(a_1,\dots,a_n)$:

1. 할 일 피셔 - 예이츠 셔플 일부 정적 쌍으로 비교를 사용하여 (예를 들어$a_1 < a_2$)를 코인 플립으로 사용합니다 (수락 거부 샘플링 수행). 비교기가 출력되는 경우$1$ 처음에는 결정적 인 경우 무한 거부 루프를 피하기 위해 거꾸로 사용하십시오.
2. (옵션 속도 향상 : 한 쌍을 시도하십시오 $n$ 시간, 어디서 $n$길이 또는 입력입니다. 두 출력이 다르면 (1)에서 얻은 순열을 반환합니다.
3. 병합 정렬을 사용하여 배열을 정렬하십시오.

비교 자로 결정 론적 순서 관계가 주어지면이 알고리즘은 배열을 시간순으로 정렬합니다. $\mathcal{O}(n \log n)$ Fisher-Yates 셔플이 실행되기 때문에 $\mathcal{O}(n)$ 최대를 사용하여 $\mathcal{O}(\log n)$각 단계 및 병합 정렬에서 비 랜덤 "랜덤 비트"(예 : 비교기 호출)는 동일한 점으로 복잡합니다. 이 경우 (1)의 결과는 전혀 쓸모가 없지만 실제 정렬이 이루어 지므로 아무런 해가 없습니다.

비교기 (1)가 각 순열에 대해 동일한 확률로 배열을 순열하고 실제 (3)을 생략 해야하는 경우 (2) 또는 (2) 임의성을 결정하지 못한 경우) 실제 동전 뒤집기를 고려할 때 이것은 아닙니다 결과 분포는 (1) 때문에 모든 순열에 균일하게 분포 된 입력 순서에만 의존하므로 전체 알고리즘의 결과도 균일하게 분포되기 때문에 해가 발생합니다. 각 합격-거부 샘플링을 반복해야하는 횟수는 기하 분포 (확률로 거부)$< \frac{1}{2}$) 따라서 예상 값이 있습니다 $< 2$. 각 반복은 최대 사용$\log n$런타임 분석은 결정 론적 경우와 거의 동일하지만, 그래서 비트, 우리는 단지 얻을 것으로 예상 런타임 의를$\mathcal{O}(n \log n)$비 종료의 가능성으로 ( 거의 확실하게 종료합니다 ).

Joe가 지적한대로 : (1)의 첫 번째 비트에 대한 테스트가 마음에 들지 않으면 (3)을 수행 한 다음 (1)을 사용하십시오. $a_n < a_1$ 항상 $0$결정적인 경우에 배열이 이미 정렬되어 있기 때문입니다. 또한 난수의 상한이 동일한 순열을 생성하므로 루프 범위의 상한에서 난수를 빼야합니다. 그러나 몸값의 경우 항상 셔플을 수행해야하므로 (2)는 금지되어 있습니다.

1. Set $b_{1,1} = a_1$
2. If $a_2 < a_1$ then $b_2 = (a_2,a_1)$ and $(c,d):= (2,1)$ else $b_2 = (a_1,a_2)$ and $(c,d):= (1,2)$. In either case $a_d < a_c$ will always be $0$ (i.e. false) for a nonrandom comparator.
3. To obtain $b_{k}$ for $k \geq 3$ obtain $b_{k-1}$ first.
4. Let $l=\lceil log_2 k \rceil$ and $k' = 2^l$, i.e. $k'$ is the least power of $2$ not smaller than $k$.
5. Let $i_0 = 0$. For every $j \in \{1,\dots,l\}$ let $$i_j = \begin{cases} i_{j-1} + 2^{l-j} & i_{j-1} + 2^{l-j} > k-1 \wedge a_d < a_c\\ i_{j-1} & i_{j-1} + 2^{l-j} > k-1 \wedge \neg (a_d < a_c)\\ i_{j-1} + 2^{l-j} & i_{j-1} + 2^{l-j} \leq k-1 \wedge b_{k-1,i_{j-1} + 2^{l-j}} < a_k \\ i_{j-1} & i_{j-1} + 2^{l-j} \leq k-1 \wedge \neg(b_{k-1,i_{j-1} + 2^{l-j}} < a_k) \\ \end{cases}$$
6. If $i_l > k$ repeat (5.) else $b_k=(b_{k-1,1},\dots,b_{k-1,i_l -1},a_k,b_{k-1,i_l},\dots,b_{k-1,k-1})$
7. Output $b_n$

Random case: 5 + the if clause of 6 is essentially acceptance-rejection sampling. The rest of the algorithm is a naive shuffle: shuffle the first $k-1$ elements and add the $k$-th element to each position with equal probability. If we used the normal insertion sort, we would get a binomial distribution instead.

Note that this algorithm is inefficient in both modes compared to the Fisher-Yates shuffle and merge sort as inserting an element to an arbitrary position is expensive if using an array and binary search needs linear time if using a list. But perhaps a modification of heap sort or tree sort in a similar way could lead to a faster algorithm.

No, this is impossible unless $n \leq 2$. The probability that a permutation is generated by your algorithm using a random comparator is dyadic, i.e. of the form $A/2^B$, whereas the probability should be $1/n!$. When $n > 2$, there is no way to write $1/n!$ in the form $A/2^B$.