초기 상태 / 수락 상태가 다른 두 DFA에서 허용되는 언어의 차이점은 무엇입니까?

최근 에 Math SE에 대해 질문 했습니다. 아직 응답이 없습니다. 이 질문은 그 질문과 관련이 있지만 컴퓨터 과학에 대한 더 많은 기술적 세부 사항입니다.

두 개의 DFA가 주어짐 $A = (Q, \Sigma, \delta, q_1, F_1)$ 과 $B = (Q, \Sigma, \delta, q_2, F_2)$ 여기서 상태 집합, 입력 알파벳 및 전환 기능 $A$ 과 $B$ 초기 상태와 최종 (수락) 상태가 다를 수 있습니다. 허락하다 $L_1$ 과 $L_2$ 받아들이는 언어이다 $A$ 과 $B$ 각각.

네 가지 경우가 있습니다.

$q_1 = q_2$ 과 $F_1 = F_2$ .
$q_1 \neq q_2$ 과 $F_1 = F_2$ .
$q_1 = q_2$ 과 $F_1 \neq F_2$ .
$q_1 \neq q_2$ 과 $F_1 \neq F_2$ .

내 질문은

차이점은 무엇입니까 $L_1$ 과 $L_2$ 경우 2, 3 및 4?

이 줄을 따라 더 구체적인 질문이 있습니다.

오토 마톤의 전이 모노 아이드는 입력 스트링에 의해 유도 된 상태 세트의 모든 기능 세트입니다. 자세한 내용 은 페이지 를 참조하십시오. 전이 모노 아이드는 상태 집합에 작용하는 모노 아이드로 간주 될 수있다. 자세한 내용은이 Wiki 페이지 를 참조하십시오.

많은 문헌에서, 단일체 작용이 전이적일 때, 즉 하나의 상태에서 다른 상태로의 적어도 하나의 전이 (입력 문자열)가 항상있을 때, 오토 마톤은 강력하게 연결된 것으로 불린다.

만약 $A$ 과 $B$ 오토마타에 강력하게 연결되어 있습니다. 차이점은 무엇입니까? $L_1$ 과 $L_2$ 위의 2, 3 및 4의 경우?

이러한 문제에 대해 자세히 논의한 문헌이 있습니까?

많은 책과 기사를 검색했는데 지금까지 도움이되지 않았습니다. 적절한 키워드가 아직 없다고 생각합니다. 따라서 나는 도움을 구하고 있습니다. 모든 포인터 / 참조는 대단히 감사하겠습니다.

formal-languages reference-request finite-automata

— 스카 아후
소스

"차이점"이란 무엇을 의미합니까? 당신은 여부를 알고 싶어

L_{1}

$L_1$ 과

L_{2}

$L_2$ 사례 2,3,4에서 다를 수 있습니까?

— Hendrik Jan

@HendrikJan 아래에 제공된 Shaull 답변을 읽으면 이해할 수 있습니다.

L_{1}

$L_1$ 과

L_{2}

$L_2$ 다를 수 있습니다. (그는

L (A)

$L(A)$ 과

L (B)

$L(B)$ ). 나는 그들이 달라야하는지 모른다. 그건 내 질문의 일부입니다. 나는 "차이점은 무엇입니까?"라고 물었습니다. 나는 그들이 달라야 함을 암시하지 않았다.

— scaaahu

이후 $A,B$ 강력하게 연결되어 있다면 $q_1\neq q_2$ 단어가있다 $p_1,p_2$ 그런 $\delta(q_1,p_1)=q_2$ 과 $\delta(q_2,p_2)=q_1$ .

사례 2를 고려한 다음 $w\in L(A)$ iff $p_2w\in L(B)$ , $x\in L(B)$ iff $p_1 x\in L(A)$ . 따라서 언어 간을 전환하기 위해 접두사를 추가 할 수 있습니다.

사례 3을 고려한 다음 다시 연결하십시오. $|F_1|$ 말 $s_1,...,s_k$ 그런 모든 $q_i\in F_1$ 당신은 그것을 가지고 $\delta(q_i,s_i)\in F_2$ , 그리고 다른 방향과 비슷하게 $B$ 에 $A$ ).

따라서 접미사를 작성하여 언어를 전환 할 수 있습니다.

이것들을 결합하면 접두사와 접미사를 사용하여 차이점을 특성화 할 수 있습니다. 예를 들어 4의 경우 $w\in L(B)$ iff $p_1 w s_i$ 에 $L(A)$ 일부 $s_i$ 미리 정해진 유한 세트로.

사실,이 단어들에 대해 흥미로운 것을 말할 수도 있습니다. $C$ DFA가 되려면 $q_1$ 초기 상태이며 $q_2$ 마지막 상태입니다. 2의 경우 $L(B)=L(C)\cdot L(A)$ (그리고 다른 방향과 비슷하게).

접미사에 관해서는 어떤 최종 상태를 끝내게 될지를 미리 결정할 수 없기 때문에 상황이 더 복잡합니다. 나는 당신이 이것을 연결로 쓸 수 있는지 확실하지 않지만, 당신은 쓸 수 있습니다 $L(B)=\bigcup_{q\in F_1}L(A_q)\cdot L(E_q)$ 어디 $A_q$ DFA는 $A$ 설정 중 $F=\{q\}$ , $E_q$ 에서 시작하는 DFA입니다. $q$ 최종 상태 $F_2$ .

사례 4의 경우 두 가지를 결합 할 수 있습니다.

이것이 실제 답변이 아니라 상태가 아닌 단어를 사용하여 속성을 특성화하는 것에 대해 걱정할 수도 있지만, 이것은이 분야의 일반적인 대답입니다 (Myhill-Nerode 정리와 유사).

— 숄
소스

나는 당신의 대답을 이해합니다. 내 문제는 예를 들어

p_{1}

$p_1$ 독특하지 않다. 즉

p_{1}

$p_1$ 그런

δ (q_{1}, p_{1}) = q_{2}

$\delta(q_1,p_1) = q_2$ . 따라서 차이가 많은 접두사가 있습니다.

L (A)

$L(A)$ 과

L (B)

$L(B)$ . 더 정확한 답이 있습니까?

— scaaahu

좀 더 정확한 정보로 답변을 편집했습니다.

— Shaull

DFA의 아이디어가 정말 마음에 듭니다

C

$C$ . 나는 사례 3과 4를 해결하는 방법에 대해 대략적인 생각을 가지고 있다고 생각합니다. 대단히 감사합니다. 이 답변을 수락하기 전에 잠시 기다립니다.

— scaaahu

게시물의 추가 수정 사항에 유의하십시오.

— Shaull

좋은 생각. 한 번에 하나의 최종 상태를 취한 다음 노동 조합을 취합니다. 내 해석이 정확하기를 바랍니다.

— scaaahu