P와 NP의 불평등에 대한 모순 증거?

계층 구조 정리를 사용하여 N이 NP가 아니라고 주장하려고합니다. 이것이 나의 주장이지만, 내가 선생님과 공제 후에 그것을 보여 주었을 때, 이것은 내가 받아 들여야 할 설득력있는 이유를 찾을 수 없을 때 문제가 있다고 말했다.

우리는 $P=NP$ 라고 가정하여 시작합니다 . 그런 다음 를 산출 한 다음 뒤에옵니다 . 우리는 모든 언어 를 로 줄일 수 있습니다 . 따라서 입니다. 반대로, 시간 계층 정리 는 언어가 아닌 언어 가 있어야한다고 말합니다 . 이로 인해 가 에 있고 아니라고 결론을 내릴 수 있는데 이는 첫 번째 가정과 모순됩니다. 그래서 우리는 결론에 도달했습니다 $\mathit{SAT} \in P$ $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ $NP$ $\mathit{SAT}$ $NP \subseteq TIME(n^k)$ $A \in TIME(n^{k+1})$ $TIME(n^k)$ $A$ $P$ $NP$ $P \neq NP$ .

내 증거에 문제가 있습니까?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— inverted_index
소스

$\mathit{SAT}$ 대신에 다음과 같이 작성하십시오 $SAT$ . 레슬리

— 람보 르트 (

더 좋은 방법은 complexity패키지를 사용 하고 간단히 작성하십시오 \SAT. (하지만이 스택에서는 사용할 수 없습니다.)

— Oliphaunt-Monica 복원

@Oliphaunt 게시물을 개선 할 수있는 경우 수정 사항을 제안하지 않으시겠습니까? 비록 여기에 차이가 있다면 나는 예상보다 훨씬 미묘하다고 말해야하지만.

— 이산 도마뱀

@Discretelizard 내가 자주하는 일이지만 이번에는 "너무 많은 일"이었습니다 (모바일에 있습니다 / 오전). 그 $와 \를 모두 입력하는 것은 까다로운 작업입니다. 대신 교육을 선택했습니다. (이 결정은 전적으로 합리적이지 않았을 수도 있습니다.)

— Oliphaunt-Monica Monica

답변:

그런 다음 $SAT \in P$ 를 산출 한 다음 $SAT \in TIME(n^k)$ 을 따릅니다 .

확실한.

스탠드로서 우리는 $NP$ 모든 언어 를 $SAT$ 로 줄일 수 있습니다 . 따라서 $NP \subseteq TIME(n^k)$ 입니다.

제 다항식 시간 감소는 무료로하지 않습니다. 우리는 말할 수 걸리는 $O(n^{r(L)})$ 언어를 줄이기 위해 시간 $L$ 에 $SAT$ , $r(L)$ 사용 된 다항식 시간 감소 지수이다. 이것은 당신의 논쟁이 분리되는 곳입니다. 어떠한 한정도 없다 $k$ 모두되도록 $L \in NP$ 우리가 $r(L) < k$ . 적어도 이것은 에서 따르지 않습니다. $P = NP$ 훨씬 더 강력한 진술이 될 것입니다.

그리고이 더 강력한 진술은 실제로 시간 계층 정리와 충돌합니다. 이는 $P$ 가 모든 는 물론 $TIME(n^k)$ 로 붕괴 될 수 없음 을 알려줍니다 . $NP$

— 오르프
소스

이제는 축소 자체의 시간 만이 아닙니다. 더 큰 문제로 줄일 수 있습니다. X in O (n ^ 5)를 해결할 수 있고 O (n ^ 6)에서 Y의 문제를 X의 O (n ^ 3) 크기의 인스턴스로 줄일 수 있다면 O (n ^ 15)가 필요합니다 전체적으로.

— gnasher729

흥미롭게도이 인수는 PTIME 완료 문제, 예를 들어 선형 시간으로 해결할 수있는 HORNSAT에도 적용됩니다 (P의 모든 문제가 선형 시간은 아닙니다).

— cody

$\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ 라고 가정하자 . 시간 계층 이론의 결정적 버전에서, 임의의에 대해 $r$ , 문제가 $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ 가 아닌 $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ . 이는 과 같은 가정에 의존하지 않는 무조건 결과입니다. $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

$r>k$ 선택하십시오 . 시간 에서 실행 되는 $X_r$ 에서 $\mathrm{3SAT}$ 로 결정 론적 감소가 있다고 가정 합니다. 최대 크기 의 인스턴스를 생성하며 , 최대 시간 로 해결할 수 있습니다 . 의 선택에 따라 이어야 하므로 $n^t$ $\mathrm{3SAT}$ $n^t$ $(n^t)^k=n^{tk}$ $X_r$ $tk>r-1$ $t>(r+1)/k$ . 이 함수는 $r$ 제한되지 않고 커집니다 .

이는 임의의 $\mathrm{NP}$ 문제를 $\mathrm{3SAT}$ 로 줄이는 데 걸리는 시간에 대한 제한이 없음을 의미합니다 . 하더라도 $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ , 여전히 그 감소가 취할 수있는 시간에 거기에 구속되지 것. 따라서, 특히 어떤 $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ 라도 $k'$ $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ , 또는일부대해심지어 $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ . $k''>k'$

— 데이비드 리처 비
소스