병목 현상 문제가있는 작업 예약

을 감안할 때 $n$ 일자리 $J_1,J_2,...,J_n$ , 각 작업은 필요 $T_i > 0, T_i \in N$ 시간이 완료.

각 작업은 한 번에 하나의 작업 만 처리 할 수있는 단일 시스템 M에 의해 사전 처리 및 사후 처리되어야하며 두 단계 모두 1 단위의 시간이 필요합니다. 사전 처리 된 후, 작업 $J_i$ 는 무제한 전력을 가진 기계로 전송되며 (무제한 수의 작업을 병렬로 처리 할 수 ​​있음) 시간 에서 준비된 $T_i$후 기계 M으로 즉시 전송되어야합니다. 사후 처리를 위해 다시.

관련된 결정 문제는 다음과 같습니다.

입력 : 처리 시간 $T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$ 의 $N$ 작업 정수 $K\geq 2N$
질의 : 우리는 시간의 모든 작업을 처리 할 수는 $\leq K$ 상기 "병목"모델을 사용?

이 문제는 이름이 있습니까?
복잡성은 무엇입니까? (그것을 인 $\sf{P}$ 이거나 그것을 $\sf{NP}$ - 완전한?)

UPDATE 29 월 :
로가 제대로 그의 대답에 M.Cafaro에 의해 발견, 문제가 유사하다 구속받지 않는 최소 마침 시간 문제 (UMFT) (참조의 제 17 장 스케줄링 알고리즘의 핸드북 이다) -hard (W.에 입증 Kern과 W. Nawijn, "단일 시스템에서 시간 지연이있는 다중 운영 작업 스케줄링"(1993 년 Twente University). 보시다시피, 모델에 따라 몇 가지 차이점이 있습니다.$\sf{NP}$

• 사전 / 사후 처리 시간이 일정 함 (1 시간 단위)
• 작업이 완료 되 자마자 즉시 후 처리해야합니다 (UMFT 모델은 지연 가능)

온라인에서 Kern & Nawijn 증명을 찾지 못 했으므로 위의 제한으로 인해 문제의 어려움이 바뀌는 지 여부는 여전히 알 수 없습니다.

마지막으로 전체 프로세스 는 큰 오븐이 있는 단일 쿡 로봇 처럼 생각할 수 있습니다 . 로봇은 한 번에 하나씩 다른 유형의 음식을 준비 할 수 있으며 (모두 준비 시간이 동일해야 함) 오븐에 넣고 요리가 끝나면 오븐에서 음식을 꺼내고 차가운 재료를 첨가해야합니다 ... " 쿡 로봇 문제 ":-)

이 문제는 W. Yu, H. Hoogeveen 및 JK Lenstra (2004)의 "지연 및 단위 시간 작업을 사용하는 2 개의 기계류 플로우 샵에서 제조 시간을 최소화하는 NP-Hard " 에서 NP-hard로 입증되었습니다 . 이것은 논문의 섹션 9에서 입증되었습니다.

정리 24. 임의의 중간 지연으로 작업 당 두 개의 단위 시간 작업으로 단일 기계에서 makepan을 최소화하는 문제는 NP-hard입니다.

여기 공부 정확한 모델은 그 일입니다 걸릴 단위 시간이 약간 지연 시간에 의해 분리 된 두 개의 작업으로 구성되어 T 내가 . 문제는 정확한 지연의 값을 모두 할 때 강하게 NP-완료 T i가 각 작업에 대해 지정된 때, 그리고 일부 최소 지연 시간은 각 작업에 대해 지정됩니다.$i$$T_i$$T_i$

이것은 Sahni에 의해 도입 된 소위 마스터-슬레이브 스케줄링 모델 과 같습니다 . 특히, 문제는 단일 마스터 마스터-슬레이브 시스템에 해당합니다. 여러 경우를 구별 할 수 있습니다.

1) 작업 실행 순서에 대한 추가 제약 조건을 추가하지 않으면 (문제 와 같이) 제한되지 않은 최소 마무리 시간 문제 (UMFT) 라고 하며 NP-hard 인 것으로 나타났습니다.

$O(n \log n)$

$NP$$P$

추가 관련 문제는 다음과 같습니다.

$σ$$σ$

4) 대기 중이 아닌 제약 :

a) [MFTNW] 처리 대기 중이 아닌 제약 조건에 따라 완료 시간을 최소화합니다. b) [OP-MFTNW] MFTNW의 주문 보존 버전입니다. 즉, 처리 대기 중이 아니며 주문 보존 제약 조건에 따라 완료 시간을 최소화합니다. c) [RO-MFTNW] 비 처리 중 및 역차 제약 조건에 따라 완료 시간을 최소화합니다.

$a$$b$$c$

스케줄링 핸드북 , 17 장의 추가 세부 사항 .