K2가 뒤집힌 K 결합기 인 경우 SK2 미적분이 완전한 기초입니까?

즉, I 새로운 정의 경우 $K_2$ 로

내 추측은 "아니오"입니다. 단지 , 및 콤비 에서 일반 K 콤비 를 구성 할 수없는 것처럼 보이지만 따라야 할 알고리즘이 없거나 직관력이 없습니다. 이 결합기에서 물건을 만드는 것에 대해.$S$$I$$K_2$

정규 미적분을 사용하여 를 정의 할 수있는 것처럼 보이지만 와 나머지 측면에서 를 도출하기 위해 그 뒤로 거꾸로 작업 할 수는 없습니다 .

기능적으로 완전하지 않다는 증거에 대한 나의 시도는 본질적으로 어떤 조합기를 사용하든 막 다른 길 (이전에 본 기능)에 도달했음을 나타 내기 위해 이들 조합기에서 얻을 수있는 모든 기능을 철저히 구성하려고 시도했습니다. 나는 이것이 기능적으로 불완전한 콤비 네이터 세트에 반드시 해당되는 것은 아니라는 것을 알고 있습니다 (예를 들어 콤비 네이터는 그 자체로 적용될 때 절대 막을 수 없습니다). 나는 항상 결합기 를 사용하여 마침내 막 다른 골목이라고 생각한 것을 몰래 빠져 나올 수 있었으므로 더 이상이 접근법의 가능성을 확신하지 못합니다.$K$$S$

StackOverflow 에서이 질문을 했지만 여기에 게시하도록 권장되었습니다. 그 게시물에 대해 몇 가지 의견을 받았지만 제대로 이해했는지 잘 모르겠습니다.

보너스 : 완전하지 않은 경우에도 결과 언어가 Turing-complete입니까?

$S,K_2,I$ 미적분 의 용어를 트리로 간주하십시오 (응용 프로그램을 나타내는 이진 노드와 $S, K_2$ 는 결합자를 나타냅니다).

예를 들어, 용어 $S(SS)K_2$ 는 트리로 표시됩니다.

        @
       / \
      /   \
     @    K2
    / \
   /   \
  S     @
       / \
      /   \
     S     S

각 나무 $T$ 에 가장 오른쪽의 잎을 연결합니다 @. 예를 들어, 위 나무의 가장 오른쪽 잎은 $K_2$ 입니다.

아래의 ASCII 기술에서 볼 수 있듯이 $S, K_2, I$ 미적분의 모든 축소 규칙 은 가장 오른쪽 잎을 유지합니다.

         @                           @
        / \                         / \
       /   \                       /   \
      @     g    [reduces to]     @     @
     / \                         / \   / \
    /   \                       e   g f   g
   @     f                 
  / \
 /   \
S     e

      @
     / \
    /   \
   @     f    [reduces to]   f
  / \
 /   \
K2    e

거기에서 어떤 용어 $T$ 가 $T'$ 로 $T$ 다면 T 와 $T'$ 는 가장 오른쪽에있는 잎을 가지고 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 . 따라서, 어떤 용어가없는 $T$ 에서 $S, K_2, I$ 되도록 수학 $TK_2S$ 로 감소 $K_2$ . 그러나 $KK_2S$ 는 $K_2$ 감소 하므로 $K$ 는 $S,K_2, I$ 미적분학 으로 표현 될 수 없습니다 .

편집 : 의견에서 지적했듯이 이것은 단순히 유형이 지정된 $S,K_2,I$ 미적분학 에만 적용되기 때문에 부분 답일뿐입니다 (또는 오히려 포함되지 않은 K에 대한 가능한 정의가 없음을 보여줍니다 잘못된 유형의 하위 용어). 이의가 없으면 유형 설정에 대해 매우 생산적인 증명 기술을 제공하므로 삭제하지 않습니다.

결합기는 다음과 같은 유형을 갖습니다 (Curry 스타일, $A,B,C$ 는 가변적 임).

• $K: A \rightarrow B \rightarrow A$
• $K_2: A \rightarrow B \rightarrow B$
• $S: (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$
• $I: A \rightarrow A$

$K$$I,S,K_2$$A \rightarrow B \rightarrow B, (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C), A \rightarrow A$$A$$A \rightarrow B$$B$$A \rightarrow B \rightarrow A$

t,f,u$\rightarrow$$A \rightarrow B \rightarrow B$$(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$$A \rightarrow A$t

A B | A -> B
t t | t
t f | f
f t | t
f f | t
t u | f
f u | t
u t | t
u f | f
u u | t

$K_2, S, I$tt$A \rightarrow B \rightarrow A$fu$A$t$B$$S, K_2, I$