2 차원 케이크의 공정한 분할

토지의 공정한 분할 (즉, 부러움없는 분할 또는 적어도 비례 분할) 절차에 관심이 있습니다.

잘 연구 된 케이크 분할 문제와 대조적으로, 토지 분할은 2 차원 적이다. 즉, 사용자의 선호도는 수평 및 수직으로 변할 수있다. 따라서 알고리즘을 병렬 컷으로 제한하는 것은 실용적이지 않습니다.

내가 지금까지 찾은 유일한 참조는 Karthik Iyer와 Michael Huhns, 2007 입니다. "우리는 지금까지 일반적인 토지 분할 문제에 대해 건설적인 (알고리즘) 솔루션을 찾지 못했습니다. 모든 논문은 문제의 자격을 갖춘 버전에 대해 실존 적 솔루션을 제공했습니다."

그것들은 특정 제한을 가지고 비례 토지 분할에 대한 O (n ^ 2) 알고리즘을 증명합니다 (예 : 각 n 에이전트는 유틸리티 1 / n으로 n 개의 사각형 영역을 표시해야하며 사각형이 너무 겹치지 않으면 알고리즘 각 에이전트가 사각형 중 하나를 얻도록 보장합니다).

이 문제에 대한 최신 참고 자료를 알고 있습니까? 실제 알고리즘에 특히 관심이 있으며 대략적인 것일 수 있습니다.

당신이 인용 한 저자들은 그 주제에 관한 다른 논문을 가지고 있습니다 .

할당 할 표면의 특성을 임의로 크지 만 유한 한 1 차원 매개 변수 세트 (길이, 깊이, 최북단, 최동단 등)로 요약 할 수 있다고 가정하는 모델에 만족하십니까? 당신이 원하는만큼 유한하지만 유한)?

이것이 만족스럽고 사람들이 이러한 매개 변수의 값으로 설명 된 표면보다 선호 사항이 있다고 가정하면 괜찮습니다. 여러 상품 묶음의 공정한 배분 이론에서 유용한 통찰력을 찾을 수 있습니다. 훌륭한 (무료) 소개는 William Thomson의 "Fair Allocation Rules" 입니다.

물론 차원이 할당 할 모양을 설명하는 매개 변수를 나타내는 경우 작업하기 어렵고 기존 결과와 잘 맞지 않는 특이한 기본 설정이있을 수 있습니다. 그래도 시도해 볼 가치가있을 수 있습니다 ...

문제의 차원을 줄임으로써 문제를 해결할 수 있다고 가정합니다. 예를 들어, 토지를 별도의 영역으로 분할 할 수 있습니다 (수동 또는 적절한 알고리즘 사용). 그런 다음 http://www.colorado.edu/education/DMP/fair_division.html에 설명 된 봉인 입찰 방법과 같은 이산 1 차원 알고리즘을 사용할 수 있습니다 .

적절한 답을 찾지 못해서 직접 답 을 써야했습니다 . 제 박사 과정의 첫 부분이었습니다. 명제. 이 분야에는 여전히 많은 미해결 질문이 있습니다.