부분 집합 : 일반적인 경우에 특수 감소

Wikipedia 는 하위 집합 합계 문제가 주어진 정수의 여러 하위 집합을 찾는 것으로서 그 합계는 0입니다. 또한 그것은 합 서브셋 발견에 해당한다고 $s$ 주어진 위해 $s$ .

그래서 나는 그것들이 동등하다는 것을 믿습니다. 중 하나 $s$ 제로를 설정하여 사소한 $s = 0$ . 그러나 나는 0에서 감소 찾는 운이 없었다 $s$ , 정수의 집합 주어진 즉 $A$ , 정수의 집합 구성 $B$ 합 일부 포함 $s$ (어떤을위한 $s$ ) 경우에만의 부분 집합으로이 경우 와 합계 0.$A$

당신은 몇 가지 포인터를 줄 수 있습니까?

실제로 이미 특별에서 일반으로 축소되었습니다. 을 설정 하면 기본적으로 일반적인 알고리즘을 사용하여 특수 문제를 해결합니다.$s=0$

다른 방법으로 (일반에서 특수으로 축소) :

한 세트의 주어진 가정 및 개수 K 하면 어떤 서브 세트가 있는지 확인해야 S 에 합산 K가 .$S = \{x_1, \dots, x_n\}$$K$$S$$K$

이제 일부 하위 집합의 합이 인지 확인할 수있는 알고리즘을 고려하여이 문제를 해결하려고합니다 .$0$

이제 경우 : 우리는 쉽게 감소가 S를 ' = { X 1 , X 2 , ... , X N , - K } .$x_i \gt 0$$S' = \{x_1, x_2, \dots, x_n, -K\}$

합계 서브 세트 가지고 0 IFF에 S는 합계의 서브 세트 갖고 K가 .$S'$$0$$S$$K$

우리가 할 수있을 때 문제가 발생 의 일부 난을 .$x_i \le 0$$i$

이라고 가정 할 수 있습니다 (왜?).$K \gt 0$

양의 의 합 이 P 이고 음의 x i 가 N 이라고 가정합니다 .$x_i$$P$$x_i$$N$

이제 새로운 세트 을 구성하십시오.$S' = \{y_1, y_2 \dots, y_n\}$

여기서 M = P + | N | + K .$y_i = x_i + M$$M = P + |N| + K$

각 입니다.$y_i \gt 0$

이제 세트에서 zero-subset-sum 알고리즘을 실행하십시오.

$S' \cup \{-(K+M)\}$

$S' \cup \{-(K+2M)\}$

$S' \cup \{-(K+3M)\}$

$\dots$

$S' \cup \{-(K+nM)\}$

에 합계 K 의 부분 집합이있는 경우 , 위 세트 중 하나 이상에 합계 0의 부분 집합이 있음을 쉽게 알 수 있습니다.$S$$K$

나는 당신에게 다른 방향의 증거를 남길 것입니다.

Aryabhata의 답변 은 모든 숫자에 큰 $c$ 곱한 다음 각 숫자에 작은 것을 추가하여 "프레즌스 태그"처럼 작동 한 다음 추가 할 수있는 숫자를 제공함으로써 해결할 수 있습니다. 우리가 그들없이 c K에 도달 할 수 있다면 우리는 0에 도달해야 한다. 특히 존재 태그로 c = 2 ( n + 1 ) 및 1을 사용합니다.$cK$$c=2(n+1)$

대상 값 K 에 대한 일반 문제 의 인스턴스 $(S = \{x_1, \dots, x_n\}, K)$ 가 주어지면 다음을 포함하는 특정 문제의 인스턴스 (대상 값 0)를 작성합니다.$K$

• $Y = \{y_1, \dots, y_n\}$ , 여기서$y_i = 2(n+1)x_i + 1$ 입니다.
• 번호 $z = -2K(n+1)-n$ .
• $n-1$"풀업 (Pull-up)"번호라고하는 숫자 1의 n − 1 개.

나는 Aryabhatta가 $K$ 가 긍정적 이라고 가정 합니다. (6 년이 지났으므로 독자를위한 그의 운동에 대답 할 것입니다. 우리가 할 수있는 이유는 K를 포함한 일반적인 문제의 인스턴스에서 모든 숫자 의 부호를 바꾸면 우리는 새롭고 동등한 문제 인스턴스 즉, 양의 K 인스턴스 를 해결하는 알고리즘은 문제를 해결하기에 충분합니다. 음의 K 를 가진 인스턴스를 해결하려면 이 부호 교환을 수행하고 해당 알고리즘을 실행하며 다음과 같이 답변을 전달할 수 있습니다. 원래 질문에 대한 답입니다. 물론 K = 0 인 경우$K$$K$$K$$K=0$ 우리는 일반적인 경우를 특별한 경우로 변환 할 필요가 없습니다!)

먼저 일반적인 문제의 주어진 사례에 대한 YES 대답은 특별한 문제의 구성된 사례에 대한 YES 대답을 의미한다는 것을 보여 주자. 여기에서 우리는 가정 할 수있는 몇 가지 솔루션 $\{x_{j_1}, \dots, x_{j_m}\}$ 일반적인 문제는 존재한다 : 즉,이 비어 있지 않은 모음 $m$ 의 숫자 합계 $K$ . 우리가 대응 취할 그렇다면 $y$ -values $\{y_{j_1}, \dots, y_{j_m}\}$ 구성된 경우에 우리의 용액에, 그들은 합계로한다 $2K(n+1)+m$ 입니다. 우리는 다음을 포함하도록 선택할 수 있습니다$-2K(n+1)-n$ 솔루션에서의 합으로 우리를 떠나$m-n$ . $1 \le m \le n$ 이기 때문에$[-n+1, 0]$ 범위에 있으며 풀업 번호의 일부를 포함하여 0까지 올릴 수 있습니다.

$2(n+1)$

$\{y_{j'_1}, \dots, y_{j'_{m'}}\}$$m'$$Y$$[1, n-1]$$z$$z = -2K(n+1)-n \le -n$$n-1$

$z$$Y$$2(n+1)$$n$$Y$$n-1$$Y$$n + n-1 = 2n-1$$2(n+1)$$z$$2(n+1)$$Y$$2(n+1)$$2(n+1)$$z = -2K(n+1)-n$

$z$

$(-2K(n+1) - n) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}} + 1) + \sum {\text{pull-ups}} = 0$

용어를 재정렬 할 수 있습니다.

$-2K(n+1) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}}) - (n + \sum_{i'=1}^{m'} 1 + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$-2K(n+1) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}}) - (n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$2(n+1)(-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}}) - (n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$2(n+1)$$2(n+1)$

$-(n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

이것은 이전 방정식으로 직접 대체되어 얻을 수 있습니다.

$2(n+1)(-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}}) = 0$

마지막으로 양쪽을 으로 나눕니다.$2(n+1)$

$-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}} = 0$

원래의 일반적인 문제 인스턴스에 대한 솔루션을 제공합니다.