이진 트리를 빨간색-검정색 나무로 채색

일반적인 인터뷰 질문은 주어진 이진 트리가 높이 균형을 이루는 지 확인하는 알고리즘을 제공하는 것입니다 (AVL 트리 정의).

Red-Black 나무와 비슷한 것을 할 수 있는지 궁금합니다.

임의의 채색되지 않은 이진 트리 (NULL 노드 포함)가 주어지면, 노드가 Red-Black 트리의 모든 속성을 만족시킬 수 있도록 Red / Black 노드를 채색 (및 채색 할 수 있는지) 여부를 결정할 수있는 "빠른"알고리즘이 있습니까? (이 질문 에서 정의 )?

초기 생각은 NULL 노드를 제거하고 결과 트리가 레드-블랙 트리가 될 수 있는지 재귀 적으로 확인하려고 시도했지만 아무데도 가지 않는 것 같습니다.

나는 논문에 대한 (간단한) 웹 검색을했지만이 문제를 다루는 것으로 보이는 것을 찾지 못했습니다.

간단한 것이 누락되었을 수 있습니다.

— 아리 아바타
소스

나는 나무가 각 노드마다 붉고 검은 색의 iff 가 될 수 있다고 확신합니다 . 충분히 빠르나요?

— Karolis Juodelė

트리의 각 노드에 대해 트리에서 리프 노드까지의 가장 긴 경로가 가장 짧은 경로보다 두 배 이상 길지 않으면 트리는 빨간색 검정색으로 표시됩니다.

다음은 모든 노드의 색상을 파악하는 알고리즘입니다 n

if n is root,
    n.color = black
    n.black-quota = height n / 2, rounded up.

else if n.parent is red,
    n.color = black
    n.black-quota = n.parent.black-quota.

else (n.parent is black)
    if n.min-height < n.parent.black-quota, then
        error "shortest path was too short"
    else if n.min-height = n.parent.black-quota then
        n.color = black
    else (n.min-height > n.parent.black-quota)
        n.color = red
    either way,
        n.black-quota = n.parent.black-quota - 1

여기에 n.black-quota당신이 노드에서, 잎에 갈 것으로 예상 검은 색 노드의 수 n와 n.min-height가장 가까운 잎까지의 거리입니다.

간결한 표기법을 위해 , 및 이라고하자 . $b(n) =$ n.black-quota $h(n) =$ n.height $m(n) =$ n.min-height

정리 : 이진 트리 수정하십시오 . 모든 노드 , 및 노드 경우 $T$ $n \in T$ $h(n) \leq 2m(n)$ $r = \text{root}(T)$ ,는루트에서 잎까지 모든 경로에정확히검은 색 노드가있는 적-흑색을 띤다. $b(r) \in [\frac{1}{2}h(r), m(r)]$ $T$ $b(r)$

증명 : 대한 유도 . $b(n)$

높이가 1 또는 2 인 4 개의 나무가 모두 정리를 만족하는지 확인하십시오 . $b(n) = 1$

레드 블랙 트리의 정의에 따르면 루트는 검은 색입니다. 하자 검정 부모 노드와 수 되도록 $n$ $p$ . 이어서,및. $b(p) \in [\frac{1}{2}h(p), m(p)]$ $b(n) = b(p) -1$ $h(n) = h(p)-1$ $h(n) \geq m(n) \geq m(p)-1$

정리가 루트 , 모든 트리에 대해 정리를 가정합니다 . $r$ $b(r) < b(q)$

경우 다음 유도 가정하여 컬러 레드 - 블랙 일 수있다. $b(n) = m(n)$ $n$

만약 , $b(p) = \frac{1}{2}h(p)$ . 은 귀납적 가정을 만족시키지 않으므로 적색이어야합니다. 하자가의 자식. 및 $b(n) = \lceil \frac{1}{2}h(n) \rceil - 1$ $n$ $c$ $n$ $h(c) = h(p)-2$ . 그러면는 귀납적 가정에 의해 적이 될 수 있습니다. $b(c) = b(p)-1 = \frac{1}{2}h(p)-1 = \frac{1}{2}h(c)$ $c$

동일한 추론으로 , 다음 두과의 하위유도 가정을 만족시킨다. 따라서은 어떤 색이든 가질 수 있습니다. $b(n) \in (\frac{1}{2}h(r), m(r))$ $n$ $n$ $n$

— 카롤리스 주 델레
소스

@Aryabhata, 부모가 자녀보다 먼저 보는 한 모든 순회가 좋습니다. 공식적인 증거는 없지만, 어떻게 보일지에 대한 아이디어가 있습니다. 할 수있을 때 뭔가 써보도록하겠습니다.

— Karolis Juodelė

@Aryabhata, 나는 증거를 추가했다. 너무 오래 걸려서 죄송합니다.

— Karolis Juodelė

@Aryabhata, 일부 노드

의

가 특정 범위를 사용하는 경우

의 자식 또는 손자

는 동일한 범위 내에서

가질 수 있습니다 . 이들 경계에

을 갖는 것은

이 흑색 인 것에 대응할 수 있다. 대부분의 증거는 부모 나 조부모의

와

이 주어지면 아이 또는 손자의

와

을 경계 짓는 것 입니다. 당신의 나무는 확실히 착색 가능합니다.

b (p)

$b(p)$

p

$p$

c

$c$

p

$p$

b (c)

$b(c)$

b (n)

$b(n)$

n

$n$

h

$h$

m

$m$

h

$h$

m

$m$

, 왼쪽 자식은 검은 색이고 오른쪽 자식은 빨간색, 길이 16의 경로는

, 길이 8의 경로는

, 9 및 12의 경로는 여러 유효한 착색.

b (r o o t) = 8

$b(root) = 8$

b r b r b r \dots

$brbrbr\dots$

b b b b b b b b

$bbbbbbbb$

— Karolis Juodelė

이 답변에 대한 질문이 있습니다.

— David Richerby

Karolis의 대답은 정확하고 ( 시간 알고리즘을 제공하는 빨강-검정 나무의 훌륭한 특성화 다른 대답을 추가하고 싶었습니다. $O(n)$

한 가지 방법은 동적 프로그래밍을 사용하는 것입니다.

$n$ $S_R(n)$ $S_B(n)$ $n$ $S_R(n)$ $n$ $S_B(n)$ $n$

$n.Left$ $n.Right$ (i.e direct children of $n$ ), we can compute the corresponding sets for $n$ , by taking appropriate intersections and unions (and incrementing as needed).

I believe this comes out be an $O(n \log n)$ time algorithm.

— Aryabhata
소스